1-Лекция. Математиканы оқыту әдістемесінің, негізгі мәселелері мен мақсаттары
жүктеу/скачать 157 Kb.
|
| 6-Лекция. Математикалық сөйлем
Математикалық сөйлем – математикалық нысандар жөніндегі пайымды (немесе пікірді) өрнектейтін логикалық сөйлем. Сөйлемнің субеъекті мен объекті, сәйкесінше математикалық сөйлемнің шарты (негізі, сілтемесі) және қорытындысы (салдары, нәтижесі) делінеді. Математикалық сөйлемдерге: теорема, аксиома, постулат, анықтама, формулалар, теңдеулер мен теңсіздіктер, есептер т.б. жатады. Ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданған математикалық сөйлем – аксиома деп атадады. Аксиома – гректің axioma – «бедел», «құрмет» деген сөзінен шыққан. Аксиомалар жиыны мен алғашқы ұғымдар (нүкте, түзу, жазықтық, жиын) математикалық теорияның іргетасын құрайды. Ғылыми теориялардың бастамасы болатын аксиомалар жүйесіне олардың байланыссыздығы, қарама-қайшылықсыздығы, толықтығы сияқты талаптар қойылады. Кез келген ұғымды немес ұғымдар арасындағы қатысты қанағаттандыратын талаптарды баяндайтын сөйлемдер постулаттар деп аталады. Постулат – латынның pospulatum – «талап», «ұсыныс» деген сөзінен шыққан. Қисынды пайымдаулар арқылы дұрыс немесе бұрыстығы дәлелдеу нәтижесінде белгілі болатын пайым (сөйлем) теорема, деп аталады. Математикалық сөйлемдер математикалық символдар арқылы да түсінікті өрнектеледі. Мысалы, Есеп. Параметрі бар теңдеулер жүйесін шешіңіз. Шешуі: немесе Жауабы: Көбінесе символдардың көмегімен жазылғанмен, математиканың символдарымен таныс оқушы, бұл сөйлемді еркін оқып, есептің шығарылуын оңай түсінеді. Анықтамаға қойылатын маңызды талаптар: Кез келген анықтама өлшемде болуы, яғни анықтаушы нысанның көлемі анықталған ұғымның көлемінен аспауы керек. Анықталушы ұғымды сол ұғымның өзімен тікелей анықтауға болмайды. Анықтамалар мүмкіндігіне қарай нысанды түрде кері анықталмауы керек. Жаңа ұғымды ендіру барысында мұғалім оның белгілеріне назар аударуы керек. Егер мұғалім ұғымның анықтамасын тұжырымдап, кітаптағы берілген сызбаны көрсетумен шектелсе, онда оқушылар бұл ұғымды дұрыс меңгермейді. Математикалық ұғымдарды саналы түрде меңгеруге мақсатты түрде қойылатын ауызша жаттығулар мен сұрақтар жүйесінің зор маңызы бар. Мысалы, қате анықтамалардан мысалдар келтіруге болады. Сақтандыру жұмыстары: жаңа ұғымды формальді түрде ендірмеу керек; оқушыларды ұғымдар анықтамасын өзбетінше үйренуге баулу керек; ендірілген ұғымның, сөздің, анықтаманың тұжырымдамаларын табу (пайдалануға келтіру); әр сабаққа қажетті ұғымның анықтамасын қайталау; жаңа ұғым мен ескі ұғымның арасында байланысты орнату; анықтамаларды анық, дәл, қысқа, қатаң тұжырымдауды талап ету; 1-6 пункттер біртіндеп, сатылап орындалуы тиіс. Қажетті және жеткілікті шарттарға мысалдар 1-кестеде келтірілген. 1-кесте – Қажетті және жеткілікті шарттардың орындалуына мысалдар Пікірлер Сөзбе-сөз тұжырымдау Тұжырымдар Басқаша тұжырымдау 1 Егер натурал сан жұп болса, онда ол 6-ға бөлінеді. Натурал сан 6-ға бөлінуі үшін оның жұп болуы қажетті. 2 Егер натурал сан 6-ға бөлінсе, онда ол жұп Натурал сан болуы үшін ол 6-ға бөлінуі жеткілікті. 3 Егер натурал сан жұп болса, онда ол 2-ге бөлінеді Натурал сан 2-ге бөлінуі үшін ол санның жұп болуы қажетті және жеткілікті 4 Егер натурал сан 2-ге бөлінсе, онда жұп болғаны Натурал сан жұп болуы үшін ол санның 2-ге бөлінуі қажетті және жеткілікті. . Қажетті, жеткілікті шарттарды анықтау Анықтамалар. Егер пікірі ақиқат болса, онда пікірі үшін қажетті шарт деп аталады. Егер пікірі ақиқат болса, онда үшін пікірі жеткілікті шарт деп аталады. Егер және импликациялары бір мезгілде ақиқат болса, онда шарты шартының қажетті және жеткілікті шарты деп аталады, яғни эквиваленттілік орындалады. Ақиқаттығы тікелей дәлелдеу (талқылау) арқылы көз жеткізілетін математикалық сөйлем теорема деп аталады. Теоремада мыналар анық көрсетілуі керек: - белгілі бір нысандар (теореманың шарты) қандай шарттарда қарастырылады; - бұл нысан туралы не тұжырымдалады (теореманың қорытындысы). Теореманың шарты мен қорытындысын оңай анықтау үшін оны логикалық жалғауды қолдана отырып «егер, ..., онда...,» деген импликация түрінде жиі тұжырымдалады. Мысалы, «параллелограмның диагоналдары қиылысады, және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді» деген теореманы былай тұжырымдауға болады: Егер төртбұрыш параллелограм болса, онда оның диагоналдары қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. Егер төртбұрыш параллелограмм болмаса, онда оның диагоналдары қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінбейді. Кері теорема: егер төртбұрыштың диагоналдары қиылысса және қиылысу нүктесінде қақ бөлінсе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм. Егер төртбұрышта диагоналдары қиылысcа және қиылысу нүктесінде қақ бөлінбесе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм емес. Конструктивті және рекурсивті анықтамалар Нысанның қасиеттері, оны конструкциялау, нысанға жасалатын амал-дарды көрсету жолымен беріледі. Яғни, нысанның өзіндік ерекшеліктері амалдар түрінде беріледі. Мысалы, формуласымен берілген функцияны сызықтық функция дейміз. Термин – сызықтық функция. Туыс ұғым – функция. Өзіндік ерекшелігі – – бірінші дәрежелі тәуелсіз айнымалы, мен – сандар және Яғни, егер сандармен айнымалылар арасында осындай амалдар берілген болса, онда сызықтық функция бар деп есептеледі. Егер амалдар (айнымалының дәрежесі) басқа болса, онда сызықтық функция болмайды. Мысалы, арифметикалық прогрессияны анықтау. Екінші мүшесінен бастап өзінің алдындағы мүшеге тұрақты бір санды қосудан шығатын сан тізбегін арифметикалық прогрессия деп атаймыз. Туыстығы – тізбек. Термин – арифме-тикалық прогрессия, өзіндік ерекшелігі беріледі; (– жалпы түрі), . Егер алдындағы амалдардың белгілі бір және өзіндік ерекшеліктері көрсетілген болса, онда келесі мүшелерді алуға болады. Теріс анықтама (қарама-қарсы анықтама). Қарама-қарсы анықтама нысанның қасиетін білдіре алмайды. Ол жіктеуші функцияның ролін атқарады. Егер нысандар класы топтарға бөлінсе, әрбір топтың белгілі бір қасиеттері болса, оған ат қойылса және өзіне тән емес қасиеттері көрсетілсе, онда бұл бір класқа жататын нысандарға қарама-қарсы анықтама беріледі. Мысалы, бір жазықтықта жатпайтын және қиылыспайтын түзулерді айқас түзулер дейміз. Термин атауы – айқас түзулер, туыстығы – түзулер. Өзіндік ерекшелігі: 1) бір жазықтықта жатпайды; 2) қиылыспайды. Сонымен, мектептегі анықтамалардың негізгі типологиясы – нысандардың өзіндік ерекшеліктерін көрсететін амалдардың ерекшелігін түсіну. Математикалық нысанды анықтауға мысалдар 2-кестеде көрсетілген. 2-кесте – Математикалық нысанды анықтау Сипаттамалық қасиетін жазу жолмен берілген анықтама Консруктивті анықтама Қарама-қарсы анықтамалар Айқындалмаған анықтамалар теңдеу (V сынып.) 2) ромб (VII сынып.) О нүктесінде симметриялы фигуралар (VI сынып.) Пропорционал сандар (VII сынып.) Нүкте және түзу (VII сынып) Тапсырмалар 1. Анықтамаларға логикалық талдаулар жасаңыздар, яғни ұғымның туыстық аты және өзіндік ерекшеліктерін атаңыздар. Таңдап алынған әрбір анықтаманың өзіне тән әртүрлі ерекшеліктерін сипаттаңыздар. 2. Келесі анықтама анықтамаға қойылатын талаптарды орындай алатындығын немесе орындай алмайтындығын анықтаңыздар: 1. «Үшбұрыштың төбесі мен оған қарама-қарсы жатқан қабырғасының ортасын қосатын кесінді үшбұрыштың медианасы деп аталады». 2. «Бірлік шеңбердің нүктесін радианға бұрудан шыққан нүктесінің ординатасын бұрыштың синусы деп атайды». 3. «Бір-бірінен өзгешелігі тек таңбасында болатын екі санды қарама-қарсы сандар деп атайды». Өзіндік ерекшеліктері конъюнктивті (барлық қасиеттері бір мезгілде біреуінен табылатын) болатын және болмайтын нысандарға мысал 3, 4-кестелерде келтірілген. 3-кесте – Өзіндік ерекшеліктері конъюнктивті болатын нысандарға мысал № Мысалдар Үшбұрыш (иә «+», жоқ «–») Екі қабырғалары бір-бірімен тең +, – Қорытынды: берілген нысан тең бүйірлі үшбұрыш. 1 2 3 4 2,5 – + + + – – + + – – + + 4-кесте – «Алымы бөлімінен артық немесе тең болатын бөлшекті бұрыс бөлшек дейміз» – анықтамасына мысалдар Нысандар Бөлшек Алымы бөлімінен көп Бұрыс бөлшек 1 2 4 100 + – + + – – + – – – – + – – + + Өзіндік ерекшеліктері дизъюнктивті түрде біріктірілген, туыстық қасиет-тері сақталған, ең кем дегенде бір өзгешелігі айтылған. Тапсырмалар. Келесі анықтамалардың эквивалентті (мәндес) екенін анықтаңыздар: 1. а) -қа тең бұрыш тік бұрыш деп аталады. б) жазық бұрыштың жартысын тік бұрыш дейміз. 2. а) Белгісіз саны әріппен белгіленген теңдік теңдеу деп аталады. б) Айнымалыдан тұратын теңдік теңдеу деп аталады. жүктеу/скачать 157 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|