1. Теориялық механика пәнінің зерттейтін негізгі мәселелері мен тәсілдері

Теориялық механика – механикалық қозғалыс пен материалдық денелердің өзара механикалық әсерлесуінің ортақ заңдылықтары жайындағы ғылым.

Теориялық механика техникамен тығыз байланысты. Оның әр түрлі салалары архитектурада, инжерлік ғылымдарда кеңінен пайдаланылады.

Механиканың ең негізгі зерттеу объектісі – материалдық бөлшек. Қарастырылып отырған жағдайда өлшемдері мен пішінін ескермеуге болатын денені материалдық бөлшек деп атаймыз. Нүктенің өлшемі мен пішіні жоқ болғандықтан материалдық бөлшек орнына материалдық нүкте деген атау да қолданылады.

Механиканы кинематика және кинетика деп бөлуге болады. Кинематикада дененің қозғалысы тек геометриялық тұрғыдан қарастырылады, яғни қозғалысқа себеп болатын әсер немесе күш ескерілмейді.

Кинетика материалдық денелердің қозғалысын әсер етуші күшті ескере отырып қарастырады және статика (күштің әсерінен дененің тепе-теңдікте болуы) және динамика (күштің әсерінен болатын дененің қозғалысы) болып екіге бөлінеді. Динамикада денеге әсер еткен күш арқылы осы дененің қозғалысын табу немесе керісінше, берілген қозғалыс арқылы ол денеге әсер етуші күштерді табу сияқты теориялық механиканың есептері қарастырылады.

Классикалық механикада (Ньютон механикасында) кеңістіктің метрикалық қасиеттері ондағы қозғалыстағы материямен байланыссыз. Мұнда кеңістік – біртекті және изотропты үш өлшемді евклидтік кеңістік ретінде қарастырылады. Сол сияқты Ньютон механикасында уақыт та қозғалыстағы материямен байланысы жоқ, абсолютті, яғни, кеңістіктің кез келген нүктелерінде уақыт бірдей жүреді.

2. Кеңістікте берілген нүктенің орнын анықтау тәсілдері.

Кеңістікте берілген дененің орнын белгілі бір санақ жүйесіне қатысты анықтайды. Санақ жүйесі санақ денесі және сонымен қандай да бір заңдылықпен байланысқан координаттар жүйесінен құралады. Санақ денесі ретінде қарастырылып отырған қозғалысты сипаттауға ыңғайлы болатын, уақыт өте өзгермейтін денені таңдап алады. Яғни, қарастырылып отырған объектінің қозғалыс күйін анықтау үшін санақ денесі мен координаттар жүйесін таңдап алу қажет. Егер дененің орны таңдап алған санақ жүйесіне қатысты өзгермесе, онда бұл дене осы берілген санақ жүйесіне қатысты тыныштықта болады. Ал егер дененің орны осы таңдап алған санақ жүйесіне қатысты өзгерсе, онда бұл дене осы берілген санақ жүйесінде қозғалады. Дене берілген санақ жүйесіне қатысты қозғалғанда оның траекториясын кеңістікте сызып көрсетуге болады. Анықтама бойынша траектория үздіксіз, жазық немесе кеңістіктік қисық болып табылады.

Дененің орнын таңдап алған санақ жүйесіне қатысты кез келген уақыт мезетінде анықтай алсақ, оның қозғалысы белгілі деп есептейміз. Ал дененің орны сәйкес параметрлер (координаталар) арқылы таңдап алған санақ жүйесінде анықталады да, қозғалыс заңдары теңдеулер арқылы жазылады.

Нүктелер жиынының қозғалыс теңдеулері арқылы осы қозғалыстың бүкіл сипаттамаларын анықтау (әр түрлі нүктелердің траекториясын, жылдамдығын, үдеуін және т.б.) кинематиканың негізгі есептерінің бірі болып табылады. Егер нүктелер жиынын құрайтын әрбір нүктенің қозғалысы осы таңдап алған санақ жүйесінде белгілі болса, онда кез келген нүктелер жиынының қозғалысын да анықтауға болады. Осылайша кинематика нүкте кинематикасы және жүйе кинематикасы болып екіге бөлінеді.

Нүктенің қозғалысын анықтау дегеніміз осы нүктенің орнын кез келген уақыт моментінде таңдап алынған санақ жүйесіне қатысты анықтау болып табылады.

3. Жалпылама координаттар. Координаттық беттер, сызықтар. Ламэ коэффиценттері.

декарттық координаталар жүйесімен қоса қисықсызықты координаттар жүйесінің жиынтығын жалпылама координаттар жүйесі деп атайды. координатасының уақыт бойынша туындысы жалпылама жылдамдық деген ұғымды береді.

Осы жүйелердің координаттарының арасындағы өзара байланысы:

(1)

кеңістікте берілген кез келген нүкте не немесе координаталарымен анықталады. Егер координаттар жүйесінің басынан осы нүктеге дейін радиус вектор жүргізсек:

немесе қысқаша былай да жазуға болады:

Үш координаттың біреуі тұрақты , болғанда қалған екеуі айнымалы болып қалады да, координаттық бетті сызады. Декарттық координат жүйесі жағдайында бұл координаттық бет жазықтық болып табылады. Екі координаттық беттердің қиылысуынан координаттық сызықтар пайда болады. Оларды кейде сәйкесінше сызықтар деп атайды. Мысалы, декарт координаттар жүйесінде ол сызықтар түзу болады да, түзу сызықты координаттар жүйесі деп аталады. Ал басқа координаттар жүйелерінде ол сызықтар қисық сызықты болып, олар қисық сызықты координаттар деп аталады.

(5) ні (4) ға қойып, мынаны аламыз

Координаттық сызықтары өзара ортогональ болып келетін (яғни кез келген нүктеде координаттық сызықтар өзара перпендикуляр қиылысатын) координаттық жүйелерді ортогоналды деп атайды. Олар мына шартты қанағаттандыратын болуы керек:

сондықтан

Яғни ортогоналды координаттар жүйесінде өрнегіне координаттардың дифференциалдарының квадраттары ғана енеді.

Осындай жүйеде көлемнің шексіз аз элементі:

(3)

Мысал ретінде айтатын болсақ, біз білетін декарттық, сфералық, цилиндрлік координаттар жүйелері ортогоналды координаттар жүйелеріне жатады.

уақыт моментіндегі радиус-вектордың шамасы -ға тең. Ал уақыт моментіндегі радиус-вектордың шамасы:

Ендеше , яғни уақыт интервалында нүктесінің орын ауыстыруы:

Осы уақыт интервалындағы орын ауыстырудың өзгерісі орташа жылдамдық деп аталады:

Ал, болғанда берілген уақыт мезетіндегі орташа жылдамдық лездік жылдамдық деп аталады:

немесе

1 – сурет

радиус-векторын тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі проекциялары арқылы жазатын болсақ:

(6)

Олай болса, жылдамдықты осы берілген тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі проекциялары арқылы жазуға болады:

Тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі жылдамдықтың проекциялары осы координаттардан уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындыға тең:

Вектордың проекцияларының көмегімен жазылған модулі:

Немесе

Нүктенің кеңістіктегі қозғалысы кезінде оның радиус-векторы ұзындығы және бағыты бойынша өзгереді деп қарастыруға болады:

мұндағы – бағытындағы бірлік вектор болып табылады. Осы өрнекті уақыт бойынша дифференциалдасақ:

Яғни, жылдамдық екі құраушыдан тұрады:

1 – сурет

Сонымен бірлік векторы радиус-векторға перпендикуляр және оның бағытының өзгерісін көрсетеді.

Сонымен жылдамдық:

Мұндағы:

а)декарт координаттар жүйесі үшін.

б)полярлық координаттар жүйесі үшін.

в)цилиндрлік координаттар жүйесі үшін.

д)сфералық координаттар жүйесі үшін.

Механиканың негізгі ұғымдары арасындағы қатынастар қозғалыстың негізгі заңдары (Ньютонның заңдары) арқылы түсіндіріледі.

Ньютонның 1-заңы. Егер тыныштықтағы немесе бірқалыпты және түзу сызықты қозғалыстағы денеге сыртқы күштер әсер етпесе ол өзінің бастапқы қозғалыс күйін сақтайды.

Механиканың осы бірінші заңы инерция заңы деп аталады және мұндағы күш дененің инерттік күйін өзгертуші себеп ретінде түсіндіріледі. Осы заң бойынша, денеге сыртқы күштердің әсері болмаса, ол қарапайым, түзу сызықты инерциалды қозғалады немесе өзінің тыныштық күйін сақтайды. Яғни, дененің жылдамдығы мәні бойынша да, бағыты бойынша да сақталады, ал үдеуі нольге тең болады. Егер де денеге күш әсер етсе, жылдамдығы өзгереді де, үдеу пайда болады.

Ньютонның 2-заңы. Қозғалыс мөлшерінің өзгерісі әсер етуші күшке пропорционал және осы күштің бойымен бағытталған.

Ньютонның анықтамасы бойынша, Қозғалыс мөлшері: масса мен жылдамдықтың көбейтіндісіне пропорционал. Ал оның уақыт бойынша өзгерісін шамасы арқылы өрнектесек, Ньютонның 2-заңын төмендегіше жазуға болады:

Денеге әсер етуші күш – масса мен үдеудің көбейтіндісіне тең. Бұл үдеу мен массаның арасындағы байланысты береді және динамиканың негізгі заңы болып табылады.