2 дәріс. Топтар. Жартылай топтар және моноидтар. Циклдік топтар
жүктеу/скачать 1 Mb.
|
| Өрістің кешенді кеңеюі. F=(F, +, -, *. 1) – өріс және t – F алаңына жатпайтын элемент (белгі) болсын. a+bt түрін, мұндағы a мен b – F өрістің туынды элементтері, оларды F алаңының үстіндегі t-дан басталатын жолақтық көпмүше деп атайық (немесе форма). a және b бөлшектері a+bt көпмүшесінің коэффиценттері деп аталады.
t-дан басталатын жолақты көпмүше тең деп аталады, егер олар бір қосындыдан тұрса (бірдей коэффицент), мағынадан алынып тасталынуы мүмкін (форма үшін) нөлдік коэффицентті қосындыға дейін дәл болған жағдайда. Негізінен кез келген бөлшектер үшін a мен b F алаңында (І) a+0*t=a, 0+bt=bt F алаңындағы t-дан басталатын барлық жолақтық көпмүшелердің жинақтарын К арқылы белгілейік: K={a+bt|a, b К жинағымен +, -, * операцияларын келесі формулалар арқылы анықтаймыз: (II) (a+bt)+(c+dt)=(a+b)+(b+d)t (III) -(a+bt)=(-a)+(-b)t (IV) (a+bt)*(c+dt)=(ac-bd)+(ad+bc)t. K = {K, +, -, *, 1}, мұндағы 1 – F өрістің бірлігі, алгебрасын жолақтық көпмүшелер алгебрасы деп атайық.
Дәлелдеу. K алгебрасының басты операциялары Fөрісінің сәйкес басты операцияларының жалғасы болып табылады. Шынымен, (І) – (IV) формулаларға байланысты кез келген a мен b F-дан a+b=(a+0*t)+(b+0*t)=(a+b)+ 0 *t=a+b; -a=-(a+0*t)=(-a)+0*t=-a; a*b=(a+0*t)*(b+0*t)=a*b+0*t=a*b; Сонымен қатар, K алгебрасының 1 элементі F өрісінің бірлігі болып табылады. Сәйкесінше, F алаңы K алгебрасының подалгебрасы болып табылады. F K (К, +, -) алгебрасы – абелев тобы. Шынымен, K алгебрасындағы қосынды ((ІІ) формула бойынша) коммутативті және ассоциативті, себебі F алаңында коммутативті және ассоциатвті қосынды болып табылады. F алаңының нөлі K алгебрасындағы қосындыға қатысты бейтарап болып табылады, себебі (І), (ІІ) формулаларға байланысты K -дағы a+bt кез келген элементі үшін (a+b*t)+0=(a+b*t)+(0+0*t)=(a+bt) K -дағы a+bt кез келген бөлшегі қарама-қарсылыққа ие, себебі (a+b*t) + ((-a) + (-b)*t)=0+0*t=0. Осылайша, (К, *, 1) алгебрасы абелев тобы екендігі анықталды. (К, *, 1) алгебрасы коммутативті моноид болып табылады. Шынымен де, K -дағы көбейтінді ((ІV) формула бойынша) F алаңындағы көбейтіндінің коммутативтілігіне байланысты коммутативті. Ассоциативті көбейтіндіні тексереміз Алгебрадағы K үшін: (a+b*t)*[(c+dt)*(e+ft)]=(a+bt)[(ce-df)+(cf+de)t]=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)t; [(a+bt)*(c+dt)]*(e+ft)=[(ac-bd)+(ad+bc)t](e+ft)=(ace-bde-adf-bcf)+(acf-bdf+ade+bce)t. Сәйкесінше, (a+bt)*[(c+dt)*(c+ft)]=[(a+bt)(c+dt)](e+ft). F алаңының бірлігі K алгебрасындағы көбейтіндіге қатысты бейтарап элемент, себебі: (a+bt)*1=(a+bt)(1+0*t)=a+bt. Осылайша, (К, *, 1) алгебрасы коммутативті моноид екені анықталды. K алгебрасындағы көбейтінді косындыға қатысты дистрибутивті болып табылады. Шынымен де: [(a+bt)+(c+dt)]*(e+ft)=[(a+c)+(b+d)t](e+ft)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)t; (a+bt)*(e+ft)+(c+dt)*(e+ft)=[(ae-bf)+(af+be)t]+[(ce-df)+(cf+de)t]=(ae-bf+ce-df)+(af+be+cf+de)t. Сәйкесінше, [(a+bt)+(c+dt)]*(c+ft)=(a+bt)*(e+ft)+(c+dt)*(e+ft). Сонымен, K алгебрасы кoммутативті шеңбер екендігі дәлелденді. (1)-ге байланысты F өрісін K шеңберінің шеңбершесі болып табылады. АНЫҚТАМА. F=(F, +, -, *. 1) әрбір элементі квадраты -1-ден ерекше өріс болсын. Егер келесі шарттар орындалса, K алаңы F алаңының кешенді кеңейтілуі деп аталады: (1) F K -ныңөрістің өрісшесі; (2) K -дамынадай элемент бар u, ол u2=-1; (3) K өрістің әрбір элементі z z=a+bu түрінде беруге болады, мұндағы a,b жүктеу/скачать 1 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|