2 дәріс. Топтар. Жартылай топтар және моноидтар. Циклдік топтар

(І) a+0*t=a, 0+bt=bt

F алаңындағы t-дан басталатын барлық жолақтық көпмүшелердің жинақтарын К арқылы белгілейік:

K={a+bt|a, b

К жинағымен +, -, * операцияларын келесі формулалар арқылы анықтаймыз:

(II) (a+bt)+(c+dt)=(a+b)+(b+d)t

(III) -(a+bt)=(-a)+(-b)t

(IV) (a+bt)*(c+dt)=(ac-bd)+(ad+bc)t.

K = {K, +, -, *, 1}, мұндағы 1 – F өрістің бірлігі, алгебрасын жолақтық көпмүшелер алгебрасы деп атайық.

ТЕОРЕМА 7.1. 1) F=(F, +, -, *, 1) – алаң. K = {K, +, -, *, 1} F өрістің жолақтық көпмүшелер алгебрасы коммутативті шеңбер болып табылады, ал F өрісін оның шеңбершесі болады.

Дәлелдеу. K алгебрасының басты операциялары Fөрісінің сәйкес басты операцияларының жалғасы болып табылады. Шынымен, (І) – (IV) формулаларға байланысты кез келген a мен b F-дан

a+b=(a+0*t)+(b+0*t)=(a+b)+ 0 *t=a+b;

-a=-(a+0*t)=(-a)+0*t=-a;

a*b=(a+0*t)*(b+0*t)=a*b+0*t=a*b;

Сонымен қатар, K алгебрасының 1 элементі F өрісінің бірлігі болып табылады. Сәйкесінше, F алаңы K алгебрасының подалгебрасы болып табылады.

F K

(К, +, -) алгебрасы – абелев тобы. Шынымен, K алгебрасындағы қосынды ((ІІ) формула бойынша) коммутативті және ассоциативті, себебі F алаңында коммутативті және ассоциатвті қосынды болып табылады. F алаңының нөлі K алгебрасындағы қосындыға қатысты бейтарап болып табылады, себебі (І), (ІІ) формулаларға байланысты K -дағы a+bt кез келген элементі үшін

K -дағы a+bt кез келген бөлшегі қарама-қарсылыққа ие, себебі (a+b*t) + ((-a) + (-b)*t)=0+0*t=0. Осылайша, (К, *, 1) алгебрасы абелев тобы екендігі анықталды.

(К, *, 1) алгебрасы коммутативті моноид болып табылады. Шынымен де, K -дағы көбейтінді ((ІV) формула бойынша) F алаңындағы көбейтіндінің коммутативтілігіне байланысты коммутативті. Ассоциативті көбейтіндіні тексереміз Алгебрадағы K үшін:

(a+b*t)*[(c+dt)*(e+ft)]=(a+bt)[(ce-df)+(cf+de)t]=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)t;

[(a+bt)*(c+dt)]*(e+ft)=[(ac-bd)+(ad+bc)t](e+ft)=(ace-bde-adf-bcf)+(acf-bdf+ade+bce)t.

Сәйкесінше,

(a+bt)*[(c+dt)*(c+ft)]=[(a+bt)(c+dt)](e+ft).

F алаңының бірлігі K алгебрасындағы көбейтіндіге қатысты бейтарап элемент, себебі:

(a+bt)*1=(a+bt)(1+0*t)=a+bt.

Осылайша, (К, *, 1) алгебрасы коммутативті моноид екені анықталды.

K алгебрасындағы көбейтінді косындыға қатысты дистрибутивті болып табылады. Шынымен де:

[(a+bt)+(c+dt)]*(e+ft)=[(a+c)+(b+d)t](e+ft)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)t;

(a+bt)*(e+ft)+(c+dt)*(e+ft)=[(ae-bf)+(af+be)t]+[(ce-df)+(cf+de)t]=(ae-bf+ce-df)+(af+be+cf+de)t.

Сәйкесінше,

[(a+bt)+(c+dt)]*(c+ft)=(a+bt)*(e+ft)+(c+dt)*(e+ft).

Сонымен, K алгебрасы кoммутативті шеңбер екендігі дәлелденді. (1)-ге байланысты F өрісін K шеңберінің шеңбершесі болып табылады.

(1) F K -ныңөрістің өрісшесі;

(2) K -дамынадай элемент бар u, ол u²=-1;

(3) K өрістің әрбір элементі z z=a+bu түрінде беруге болады, мұндағы a,b