№6 Дәріс Үлестiрiм параметрлерiн статистикалық бағалау

Бас жиын қалыпты үлестiрiмдi деп жорып теориялық жиiлiктер

n_i^

i
есептелген болсын. Маңыздылық деңгейi ^ болғанда бас жиын қалыпты үлестiрiмдi деген болжамды тексеру қажет болсын. Нольдiк болжамды тексеру

критерийi ретiнде

 ² 
_n_i
 n^²
алынады. Еркiндiк дәрежесi саны k=s-1-r

n_i^
теңдiгiнен табылады. Мұнда s- таңдамадағы топтар саны, r – үлестiрiм параметрлерiнiң саны. Нольдiк болжам дұрыс болса, онда критерийдiң ол
облысқа түсу ықтималдығы берiлген ^ маңыздылық деңгейiне тең болатын оң

2 кр

кр
жақты кризистiк облыс Р^ ²   ^{2 }; к^  құрамыз.  ²   ^{2 }; к^ кризистiк

аймақ,
 ²   ² ; к

болжам қабылдау аймағы. Бақылау мәлiметтерi бойынша

кр
есептелген критерийдiң мәнiн
2


бак

деп белгiлеймiз.

2

i

Ереже: Берiлген маңыздылық деңгейiнде бас жиын қалыпты үлестiрiмдi деген нольдiк болжамды Н₀ тексеру үшiн теориялық жиiлiктердi есептеу қажет, содан

бак
соң критерийдiң бақыланған мәнiн  ²
_{= }n_i  n^

кр
n_i^
есептейдi. Кестеден кризистiк

кр
нүктенi
 ² ; к
табамыз. Егер
2


бак

<  ^{2 }; к^
болса, онда нольдiк болжамды

кр
терiске шығаруға негiз жоқ. . Егер терiске шығарылады.
2


бак

>  ^{2 }; к^
болса, онда нольдiк болжам

№7 Практикалық жұмыс


Мысал 1. Эмпирикалық және теориялық жиіліктер берілген:

Берілген

  0,05
маңыздылық деңгейінде бас жиын қалыпты үлестірімді

деген болжамды тексер.

Шешуі: Критерийдің бақыланатын мәнін анықтау үшін төмендегі кестені құрамыз:

si	ni	ni0	0 ni - ni	(ni - ni0)2	(ni - ni0)2/ ni0
1	5	3	2	4	1,333
2	13	15	-2	4	0,267
3	39	41	-2	4	0,097
4	75	80	-2	25	0,3125
5	105	101	4	16	0,158
6	83	77	6	36	0,468
7	32	38	-6	36	0,947
8	14	13	1	1	0,077
					 3,66

Сонымен
^{ 2  3,66} , ал критерийдің еркіндік дәрежесі k = s-1-r = 5, себебі s =

бак
8, r = 2 (қалыпты үлестірім екі параметр арқылы анықталады). Онда кестеден


2

сын
0,05;5  11,1^{. Сонымен}
2


бак

2

 
сын

. Ендеше нольдік болжамды жоққа

шығаруға негіз жоқ.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар

1. Статистикалық болжам дегеніміз не?

   
   

2. Статистикалық болжамның қандай түрлері болады?

   
   

3. Статистикалық болжамды тексерудiң негiзгi принципi қандай?

   
   

4. Статистикалық критерий және кризистік аймақ дегеніміз не?

   
   

5. Үлестірім заңы туралы болжамды тексеруге  ² критерийі қалай қолданылады?

   
   

Жаттығулар

1. Кәсіпорында белгілі бір өнім өндіріледі. Осы өнімнің ай сайын шығарылу көлемі кездейсоқ шама болып табылады. Оның сипаттамасы ретінде мына көрсеткіштік үлестірім заңы қабылданған

   
   

f (x)  e^x
(х≥0).

Алты ай бойы шығарылған өнім көлеміне өлшеу жүргізілді, одан мына мәліметтер алынды:

Ай	1	2	3	4	5	6
Шығарылу көлемі	20	24	25	28	27	32

λ параметрінің бағасын тап.

^e^x ,
f (x)  _
егер
x  0

_0 егер
x  0

одан таңдама алынды.

хі	4	3	10	12	15
ni	3	3	6	4	4

λ параметрінің бағасын тап.

3. Х кездейсоқ шамасы бірқалыпты үлестірімді болғанда

   
   

 ¹ _,

егер x  (a, b),


f (x)  ^_{b  a}

^_0, егер


x  (a, b).

одан таңдама алынды

хі	2	3	4	5	6
ni	4	6	5	12	8

a және b параметрлерінің бағасын тап.

4. Х кездейсоқ шамасы бірқалыпты үлестірімді болғанда одан таңдама алынды

   
   

f (x) 
¹ _e ( xa )² /( 2 ² )

σ = , а= М(Х) болатыны белгілі. Таңдама алынды

хі	3	5	7	9	11	13	15
ni	6	9	16	25	20	16	8

а параметрінің бағасын және σ параметрінің жылжымайтын бағасын тап.

7. 
   
   Х кездейсоқ шамасы биномдық заң бойынша үлестірімді. Таңдаманың статистикалық үлестірімі кестеде келтірілген:
   

хі	0	1	2	3	4	5	6	7
ni	2	3	10	22	26	20	12	5

Кездейсоқ шаманың (r =10) берілген үлестірім заңында р параметрінің нүктелік бағасын тап.

8. Х кездейсоқ шамасы белгісіз λ параметрімен Пуассон заңы бойынша үлестірімді. Таңдаманың статистикалық үлестірімі кестеде келтірілген:

   
   

хі	0	1	2	3	4	5	6	7
ni	199	169	87	31	9	3	1	1

λ параметрінің нүктелік бағасын тап.

9. Шыныдан жасалға біртекті бұйымдар 1000 контейнермен Мәскеуден Новосибирскіге жіберілді. Тауар келгеннен соң әр контейнердегі қираған бұйымдар саны анықталды. Нәтижесі кесте түрінде келтірілген

   
   

λ параметрінің нүктелік бағасын тап.

11. Егер орташа квадраттық ауытқуы σ_х = 4, таңдамалық орташасы

    
    

^x_Т = 16

және таңдама көлемі n=16 болса, онда қалыпты үлестірімді Х кездейсоқ шамасының математикалық үмітін 0,95 сенімділікпен бағалау үшін сенімділік интервалын тап.

Шешуі: γ=0,95 сенімділігі бойынша Ф(z)= γ/2 қатынасынан Лаплас функциясының мәнін табамыз: Ф(z)= 0,475. Лаплас функциясының мәндерінің кестесінен z=1,96 болатынын табамыз. Математикалық үміттің интервалын бағалайтын теңсіздікті қолданамыз:
16 - 1,96 ∙ 4/4 < M(Х) < 16 +1,96 ∙ 4/4,
немесе
14,04 < M(Х) < 17,96.

2,01 < σ_х < 5,88.

16. 4.2.25 Көлемі n =20 таңдама бойынша қалыпты үлестірімді Х кездейсоқ шамасының таңдамалық орташа квадраттық ауытқуының жылжымаған бағасы s =2 табылды. Кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуын 0,95 сенімділікпен бағалау үшін сенімділік интервалын тап.

    
    

17. 4.2.26 Бірнеше шағын дүкендерде 100 бұйымның сапасы тексерілді, содан кейін алынған мәліметтер өңделді. Нәтижесінде таңдамалық орташа квадраттық ауытқудың жылжымаған мәні s = 4 алынды. Сапалы бұйымдар қалыпты үлестірімді деп есептеп орташа квадраттық ауытқуды 0,95 сенімділікпен бағалайтын сенімділік интервалын тап.

    
    
18. 
    
    Х кездейсоқ шамасы қалыпты үлестірімді. Таңдаманың статистикалық үлестірімі кестеде келтірілген:
    

хі	3	5	7	8	10	12	14
ni	3	7	4	6	7	5	8

Математикалық үмітті 0,97 сенімділікпен, ал орташа квадраттық ауытқуды 0,95 сенімділікпен бағалайтын сенімділік интервалдарын тап.

19. Х кездейсоқ шамасы қалыпты үлестірімді. Таңдаманың статистикалық үлестірімі кестеде келтірілген:

    
    

хі	1	3	5	7	9
ni	2	5	4	6	3

Математикалық үмітті 0,95 сенімділікпен, ал орташа квадраттық ауытқуды 0,99 сенімділікпен бағалайтын сенімділік интервалдарын тап.