Абай атындағы
Н.Б. Искакова, Д.К. Икрамбекова
жүктеу/скачать 5,39 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АЛГОРИТМОМ
Н.Б. Искакова, Д.К. Икрамбекова ОБ АЛГОРИТМАХ НАХОЖДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АЛГОРИТМОМ (г.Алматы, КазНПУ имени Абая) Ұсынып отырған мақалада кешігулі аргументті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін периодты шеттік есеп қарастырылады. Параметрлеу әдісі негізінде қарастырылып отырған периодты шеттік есептің жуықталған шешімін табудың алгоритмдерінің екі параметрлі әулеті ұсынылған. В статье рассматривается периодическая краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. На основе метода параметризации предложено двухпараметрическое семейство алгоритмов нахождения приближенного решения рассматриваемой периодической краевой задачи. In the work is considered the periodical boundary value problem for system of linear differential equations with delay argument. On the basis of the method parametrization’s is offered a two-parametric family of algorithms of finding solutions of the periodical boundary value problem. Түйін сөздер: параметрлеу әдісі, дифференциалдық теңдеулер, кешігулі аргументті. Ключевые слова: метод параметризации, дифференциальные уравнения, запаздывающий аргумент. Keywords: the method parametrization’s, the differential equations, the delay argument На отрезке ] , 0 [ T рассматривается периодическая краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом , ], , 0 [ ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n R x T t t f t x t B t x t A dt t dx (1) ] 0 , [ ), ( )] 0 ( [ ) ( z z x diag z x , (2) ), ( ) 0 ( T x x (3) где переменные ) ( n n матрицы ) ( ), ( t B t A и вектор-функция ) (t f непрерывны на ] , 0 [ T , ) (t – непрерывная вектор-функция, заданная на начальном множестве ] 0 , [ такая, что 0 , , 1 , 1 ) 0 ( n i i – постоянное запаздывание, , ) ( max ) ( 1 , 1 n j ij n i t a t A , ) ( t B где . , const , i n i x t x , 1 max ) ( . Решением задачи (1)-(3) является непрерывно дифференцируемая на ] , 0 [ T вектор- функция ) (t x , удовлетворяющая на ] , 0 [ T дифференциальному уравнению (1), совпадающая на ] 0 , [ с функцией ) ( )] 0 ( [ t x diag и, имеющая в точках T t t , 0 значения ), ( ), 0 ( T x x для которых справедливо равенство (3). В работе [1] разработан метод параметризации, на основе которого исследована разрешимость двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Данным методом в [2] установлены признаки однозначной разрешимости периодической краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. 96 Используя метод параметризации, с шагом : l h l T N , производится разбиение lN r r r l s s s t t t t T 1 1 1 1 ) , [ ) , [ ) , 0 [ ) 0 , [ , где 0 0 t , , sh t s l s , 1 , rh t r , lN r , 1 . Сужение функции ) (t x на r –ый интервал ) , [ 1 r r t t обозначим через ), (t x r lN r , 1 . Через ) (t s , l s , 1 обозначим сужения начальной функции ) (t на s –ый интервал ) , [ ) 1 ( s l s l t t . При ) , [ 1 r r t t t аргумент t изменяется на ) , [ 1 l r l r t t , причем, , 1 , 0 1 ), , [ , 1 , 0 1 ), , [ ) , [ ) 1 ( 1 1 l r l r если t t l r l r если t t t t r l r l l r l r l r l r поэтому функция ) ( t x совпадает с функцией ) ( t x l r . Введем дополнительные параметры ) ( 1 r r r t x и на каждом r -ом интервале ) , [ 1 r r t t произведем следующую замену r r r t x t u ) ( ) ( . Тогда задача (1)-(3) сведется к эквивалентной многоточечной краевой задаче с параметрами , , 1 ), , [ ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 l r t t t t f t t B t u t A dt du r r r r r r (4) , , 1 ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( lN l r t f t u t B t u t A dt du l r l r r r r (5) , , 1 , 0 ) ( 1 lN r t u r r (6) ), ( lim 0 1 t u lN T t lN (7) , 1 , 1 , ) ( lim 1 0 lN s t u s s t t s s (8) где ) ( t r есть матрица размерности ) ( n n вида )] ( [ t diag r , l r , 1 . Если ) (t x - решение задачи (1)-(3), то система пар ) ( , t u r r , lN r , 1 – решение задачи (4)-(8), и, наоборот, если система ) ( ~ , t u r r , lN r , 1 – решение задачи (4)-(8), то функция T t t u lN r t t t t u t x lN T t lN r r r r ), ( ~ lim ~ , 1 ), , [ ), ( ~ ~ ) ( ~ 0 1 будет решением задачи (1)-(3). В задаче (4)-(8) появились начальные условия (6), позволяющие определить неизвестные функции из интегральных уравнений Вольтера 2-го рода: - функцию ) (t u r , ) , [ 1 r r t t t , l r , 1 при фиксированном параметре r определяем из уравнения t t t t r t t r r r r r r ds s f ds s s B ds s u s A t u 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , (9) - функцию ) (t u r , ) , [ 1 r r t t t , lN l r , 1 при фиксированных ) ( , , t u l r l r r определяем из уравнения t t t t l r l r t t r r r r r r ds s f ds s u s B ds s u s A t u 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , (10) где пара ) ( , t u r r , l r , 1 удовлетворяет уравнению (9), а пара )) ( , ( t u l r l r , ) 1 ( ,..., 2 , 1 N l l l r удовлетворяет уравнению 97 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 2 2 t t t t l r l r t t l r l r l r l r l r l r ds s f ds s u s B ds s u s A t u ) , [ 1 l r l r t t t . В уравнении (9) вместо ) (s u r подставим правую часть этого уравнения и, повторяя процесс ,...) 2 , 1 ( раз, получаем представление функции ) (t u r ) , ( ) , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) ( 0 , 0 1 r r r r r r r u t G f t F t E t D t u , ) , [ 1 r r t t t , l r , 1 . (11) Аналогично поступаем с правой частью равенства (10). Тогда представление функции ) (t u j il имеет вид 1 , , , )] , ( , [ ) 0 , ( ) ( i t E t P t D t u j il i j il j il j il j il i k j l k i j il j il j il k j il k t D t P k t H t P 1 ) ( , , , 1 , )]] , ( , [ ) ) 1 ( , ( , [ (12) , , 1 , 1 , 1 , ) , [ )], , ( ) , ( , [ 0 1 , ) ( , , 1 , l j N i t t t u t G f t F t P i k j il j il k j l k i j il k j il k j il где , ... ) ( )... ( ) , ( 1 0 1 1 1 1 , 1 1 k t t s t k k j il j il k j il ds ds m s A m s A m t D 1 1 1 1 1 , 1 1 )... ( ) ( ) , ( k t t t t j il j il j il m s A ds m s B m t H 1 1 1 1 1 1 ... ) ( ) ( ... ds ds ds m s B m s A k j il k j il s t k k s t k k ... ) ( ) ( ) , ( 1 1 1 1 1 , 1 1 k t t t t m j il j il j il m s A ds m s f f t F , ... ) ( ) ( ... 1 1 1 1 1 1 ds ds ds m s f m s A k j il k j il s t k k s t k k , ... ) ( ) ( ) ( )... ( ) , ( 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , t t s t s t j il m j il j il j il j il j il ds ds ds s u m s A m s A m s A u t G 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 , ) 1 ( , 1 1 ... ) ) 1 ( ( ) ( ) ) 1 ( ( ) , ( k t t t t j l i m j l i j il j il j il m s A ds m s u m s B u t P 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 ... ) ( ) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( ... ds ds ds m s u m s B m s A k j il k j il s t k k k j l i s t k k , 1 1 1 1 1 1 , 1 1 ... ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) , ( k t t t t j j il j il j il m s A ds m s m s B m t E 1 1 1 1 1 1 1 ... ) ) 1 ( ( ) ( ) ( ... ds ds ds m s m s B m s A k j il k j il s t k k k j s t k k , i m , 0 , 1 , 1 N i , l j , 1 , , ] , [ 0 y y t P ]] , [ , [ ] , [ 1 y t P t P y t P k k . 98 Переходя в равенствах (11), (12) к пределам при и подставляя эти пределы в граничные условия (7) и условия склеивания (9), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров lN ,..., , 2 1 , которую запишем в векторно-матричном виде ) , ( ~ ) , ( ~ ) ( l u G l f F l Q , (13) где ) (l Q - матрица размерности nlN nlN , составленная из коэффициентов при неизвестных параметрах lN r r , 1 , системы алгебраических линейных уравнений, nlN lN R , , , 2 1 , nlN lN lN lN R t F t F t F T F l F ) ( ~ ),..., ( ~ ), ( ~ ), ( ~ ) ( ~ 1 1 , 2 2 1 1 , , nlN lN lN lN R t u G t u G t u G T u G l u G ) , ( ~ ),..., , ( ~ ), , ( ~ ), , ( ~ ) , ( ~ 1 1 , 2 2 1 1 , , i k k j il j il k j il j il j il f t F t P t F 0 , , , , , ) ( ~ , i k k j l k i j il j il k j il j il j il u t G t P t u G 0 , ) ( , , , , , ) , ( ~ , 1 , 0 N i , l j , 1 . Таким образом, имеем систему уравнений (9), (10) и (13) для нахождения пары t u , , где lN , , , 2 1 , ) ( , ), ( ), ( 2 1 t u t u t u t u lN . Решение задачи (4)-(8) пару t u , найдем как предел последовательности t u k k ) ( ) ( , , ,... 2 , 1 , 0 k по следующему алгоритму. жүктеу/скачать 5,39 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|