§1 Бөлшектің шашырауы туралы есептің қойылымы

 
126 
 
Сондықтан, жеткілікті түрде сиретілген m
1
 бөлшектердің шоғы, 
соншалықты  сиретілген  m
2
  нысана-бөлшектерге  шашырауы  туралы 
есеп  жалған 

-бөлшектердің  қозғалмайтын  күштік  центр  өрісімен 
шашырауы  туралы  есепке  келтіріледі.  Сондықтан,  нақты  шашыраған 
бөлшектердің  бұрыштық  үлестірулерін  іздемес  бұрын,  алдымен 
жалған 

-бөлшектер  үшін  арналған  осындай  есепті  алдын-ала  шешу 
қажет.    
 
§2 

-бөлшектердің шашырауының тиімді қимасы. 
 
 
Массасы 
)
(
2
1
2
1
m
m
m
m



 және  жылдамдығы 



болатын 

-
бөлшектердің  біртекті  шоғының  қозғалмайтын  О  күштік  центр 
арқылы  шашырауын  қарастырайық  (фиктивті 

-бөлшектің 
жылдамдығы  m
1
  және  m
2
  нақты  бөлшектердің 
2
1





 салыстырмалы 
жылдамдығымен  сәйкес  келуі  керек).  Айталық 


r
үшін 

-
бөлшектің потенциалдық энергиясы нөлге ұмтылады; сондықтан оның 
толық энергиясын 
2
2





E
 түрінде беруге болады. 
 

-бөлшектің 
ағынын  оның  интенсивтілігімен  (немесе 
тығыздығымен)  сипаттаймыз,  яғни  бірлік  уақытта  шашыратқыш 
күштік  центрден  өте  алыс  қашықтықтан  таңдап  алынған  шоқтың 
көлденең  қимасының  бірлік  ауданы  арқылы  өтетін  бөлшектердің 
санымен. 
 
О  күштік  өріс  арқылы 

-бөлшектің  шашырауы  гиперболалық 
типті траектория бойымен өтеді (16-сурет). Осы суретте 
)
(r
U
-тебіліс 
өрісіндегі  екі 

-бөлшектің  шашырау  траекториясы  көрсетілген.  Әр 

-бөлшектің  шашырау  траекториясы  екі  параметрмен  сипатталады: 
 
16-сурет 

 
127 
белгілегіш  параметр  ρ  және  χ  шашырау  бұрышы.  Белгілегіш 
параметр  дегеніміз  күштік  өріс  болмағанда  бөлшек  ең  жақын 
қашықтықта  шашыратқыш  центрді  айналып  өтуін  айтамыз. 

-
бөлшектің шашырау бұрышы траекторияға түсірілген асимптоталар 
арасындағы бұрыш (бұл бұрыш бір уақытта ц-жүйесіндегі m
1
 және m
2
 
нақты  бөлшектер  үшін  де  шашырау  бұрышы  болады).  ρ  және  χ 
параметрлері  арасында  функционалды  тәуелділік  бар  болады 
)
(




,  сонымен  қатар 


d
d
 туындысы  ереже  бойынша  теріс  шама 
болады,  яғни  ρ  параметрі  өскен  сайын  кез  келген    жерде  орналасқан 
бөлшекке әсер ететін күш азаяды да, нәтижесінде χ бұрышы кішірейе 
бастайды. Кейбір жағдайда 
)
(


 
функциясы көпмәнді болуы мүмкін.  
 
Орталлық-симметрия  өрісіндегі  шашырау  процесі  бөлшектер 
шоғының  аксиалды  симметриясын  бұза  алмайды.  Сондықтан 

-
бөлшектердің  шашырауы 

-бөлшектің  бастапқы  жылдамдығының 
векторына  параллель  өріс  центрі  арқылы  өтетін  OZ  түзуі  бойымен 
қатысатын  барлық  жазықтықтарда  бірдей  болады.  Осыдан  (χ,  χ+dχ)  
интервалында орналасқан χ бұрышында белгілегіш ρ параметрлері (ρ, 
ρ+d ) интервалында жататын бөлшектер ғана шашырайды. Сондықтан 
бірлік уақыт ішінде χ және χ+dχ мәндері арасынан алынған χ бұрышқа 
шашырайтын 

-бөлшектің  саны  шоқ  тығыздығы  n  мен  радиустары  ρ 
және    ρ+d  болатын  шеңберлер  арасындағы  сақинаның  ауданына 
көбейткенге тең, яғни 


d
n
dN
2

. 
 
Бірақ алынған dN саны шашырау процесін сипаттауға ыңғайсыз, 
өйткені ол түсетін шоқ тығыздығына тәуелді. Сондықтан dN санының 
орнына  



d
n
dN
d
2


                                       (1) 
қатынасы енгізіледі. 
 
Ауданның  өлшеміне  ие  болатын  dσ  шамасын  шашыраудың 
эффективті  дифференциалдық  қимасы  деп  атайды.  Ол  бірлік 
уақытта  шексіз  аз  шашырау  бұрышының  (χ,  χ+dχ)  интервалында 
шашырайтын 

-бөлшектердің  салыстырмалы  санын  көрсетеді. 
Шашыраудың  эффективті  қимасы  dσ  толығымен 
)
(r
U
шашыратқыш 
өрістің  түрімен  анықталады  да  шашырау  процесінің  шашырау 
процесінің маңызды сипаттамасы болып табылады.  
 
Егер  ρ  және  χ  параметрлері  арасындағы  байланыс  өзара  бір 
мәнді болса, онда 

-бөлшектердің  шашырауының  дифференциалдық 
қимасын  

 
128 







d
d
d
d
)
(
)
(
2

 
 
 
 
   (2) 
түріне келтіруге болады, немесе  





d
F
d
sin
2
)
(

    
 
 
 
   (3) 
мұндағы                        









d
d
d
d
F
sin
sin
)
(



.                                  (4) 
 
Егер 
)
(


 
функциясы көпмәнді болса, онда (2) теңдігінің оң жақ 
бөлігіндегі  осы  функция  бойынша 



d
d
2
 өрнектерінің  қосындысын 
алу қажет. 
 

F
 функциясының физикалық мағынасы бар болады, егер 
(3) өрнегінде шашырау бұрышының өрнегінен dχ элементінен өрістің 
О  центрі  арқылы  2χ  және  2(χ+dχ)  бұрыштарына  ие  болатын 
конустарымен  кесіліп  алынған  бірлік  радиусты  сфера  бетінің  шексіз 
аз  элементі  көрінетін 



d
d
sin
2


денелік  бұрыш  элементіне 
көшетін болсақ. Онда 


d
d
d
d






sin
)
(
, 
 
 
 
  
(5) 
)
(


F
d
d


.                                              (6) 
 
Осыдан 
)
(

F
 функциясы  бірлік  уақытта  бір  денелік  бұрышқа 
шашырайтын  бөлшектердің  салыстырмалы  санын  анықтайтындығын 
көреміз.  Сонымен  қатар,  егер  шашыраудың  эффективті  қимасы 
түсетін бөлшектер шоғының тығыздығынан тәуелсіз екенін ескерсек, 
онда 

d
F
)
(

шамасын  dΩ  денелік  бұрыштың  элементіне  жекеленген 
бөлшектердің шашырау ықтималдығымен сәйкестендіруге болады, ал 
)
(

F
функциясын оның тығыздығымен сәйкестендіруге болады. Егер 
шашырау  бұрышы  χ  О-ден  бастап  π-ге  дейін  өзгеретін  болса,  онда 
келесі теңдеу орындалады 









d
F
sin
)
(
2
)
(
2
.                                    (7) 
Мұны  тексеру  оңай,  егер 
0
)
(



(маңдайлас  соқтығысуда 
0


және 
0


болады) болса. 
 
Дифференциалдық  қимадан  басқа,  шашыраудың  толық 
эффективті  қимасын  қарастырады.  Оны  (2)  немесе  (3)  өрнектерін  χ-
ның  мүмкін  болатын  мәндері  бойынша  интегралдау  арқылы  алуға 
болады, яғни  







d
F
sin
)
(
2
.                                      (8) 
 
Шашыраудың  толық  қимасы  барлық  бағыт  бойынша  бірлік 
уақытта  шашырайтын  бөлшектердің  жалпы  dN  санының  n 

 
129 
тығыздығына  қатынасына  тең.  Осы  жағдайда,  яғни 

-бөлшектердің 
шашыратқыш  центрімен  өзара  әсерлесуін  ескермейтін  жағдайда, 
қандай да бір 
эфф
r
r

 қашықтықтан шашыраудың толық қимасы 
2
)
(
эфф
r



                                            (9) 
тең  болады, 
эфф
r
 шамасын  өзара  әсерлесудің  эффективті  радиусы 
деп атайды.  
 
§3 Ұшып келген және бастапқыда тыныштықта болған 
бөлшектердің шашырауының эффективті қимасы 
 
Массалары  m
1
  болатын  бөлшектер  шоғының  m
2
  массалы  басқа 
бөлшектерге  шашырауы  туралы  негізгі  есепке  қайтып  келе  отырып, 
m
1
~m
2
 
жалпы  жағдайы  үшін  (2)-өрнек  осы  бөлшектердің 
шашырауының  эффективті  қимасын  анықтайды.  Осы  бөлшектердің 
шашырауы ц-жүйесінде χ шашырау бұрышына байланысты. Дәл осы 
жағдай  үшін  тек  қана  лабороториялық  санақ  жүйесінде  көрсетілген 
формуланы  χ-ны  соқтығысу  диаграммасының  көмегімен  Q
1
  және  Q
2
 
шашырау  бұрыштары  арқылы  өрнектеу  керек.  Сонымен  қатар  (3) 
өрнегін  




cos
)
(
2
d
F
d

                                   (10) 
формуласы түрінде жазып пайдаланған жөн.  
 
Алдымен  ұшып  келген  m
1
  бөлшектер  үшін  dσ
1
  шашыраудың 
дифференциалдық қимасын жазайық. Үш жағдай болуы мүмкін: 
1.
 
m
1
<  m
2
. 
)
(
1


тәуелділігі осы жағдай үшін мына формуласымен 
бір мәнді анықталады,  
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
sin
1
2
cos
1
cos
2
)
(
cos
2

































d
m
m
m
m
m
m
d






,               (11) 
мұндағы 
1
1
1
sin
2



d
d


. Демек, m
1
< m
2 
болғанда ұшып кірген 
бөлшектердің шашырауының эффективті қимасы dσ
1
 мынадай түрде 
жазылатын болады 


1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
sin
1
2
cos
1
cos
2
)
(


































d
m
m
m
m
m
m
F
d






.              (12) 
 
 

 
130 
2.
 
m
1
= m
2
. Бұл  
 
1
1
1
1
cos
4
)
(
cos
2
,
2




d
d






                      (13) 
болғанда ең қарапайым жағдай болады, демек,  
1
1
1
cos
)
2
(
4


d
F
d



.                                  (14) 
3.
 
m
1
> m
2
. Осы жағдайда 
)
(
1


функциясының екі тармағы болады: 
)
(
1
1


 мен 
)
(
2
2


тармақтар, сонымен қатар 
)
(
cos
2
1
1



d
 шамасы (11) 
өрнегімен анқталынады, ал  
 
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
sin
1
2
cos
1
cos
2
cos
2


































d
m
m
m
m
m
m
d






.               (15) 
dσ
1
  шашырау  қимасын  алу  үшін  (10)  өрнегінен 
 
1


функциясының 
екі тармағы бойынша қосынды алу қажет. Нәтижесінде  
 


 


1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
sin
1
2
cos
1
cos
2
sin
1
2
cos
1
cos
2






































































d
m
m
m
m
m
m
F
d
m
m
m
m
m
m
F
d











             (16) 
өрнегін аламыз. 
 
χ-ның 
1

 беріліс  бұрышынан  тәуелділігі  m
1 
және  m
2
  бөлшектер 
массаларының кез келген қатынасында 
1
2





болады, осыдан  
2
2
2
2
sin
2
)
(
cos




d
d

.                                  (17) 
Сондықтан 
бастапқыда 
тыныштықта 
болған 
m
2
 
бөлшектердің  шашырауының  dσ
2
  дифференциалды  қиманы 
әрқашанда  
2
2
2
2
cos
)
2
(
4



d
F
d




                                (18) 
түріне ие болады,  мұндағы 
2
2
2
sin
2



d
d


. 
 
 
 
 

 
131 
§4 Шашырау теориясының кері есебі 
 
Шашыраудың  дифференциалдық қимасын  есептеу  (2)-өрнектен 
көрініп  тұрғандай  белгілегіш  параметрінің  χ  шашырау  бұрышынан 
функционалдық тәуелділігін табуға келтіріледі. Осы мақсатпен қандай 
да  бір 

-бөлшектің  шашырауының  траекториясын  қарасытырайық. 
Орталық-симметрия  өрісінде  қозғалып  келе  жатқан  бөлшектің 
траекториясы оның ОР апсидасына қатысты симметриялы.  
Егер осы түзу мен түсетін шоқтың бағыты арасындағы бұрышты 
0

 
арқылы белгілесек, онда шашырау бұрышы χ  
0
2






   
 
 
 
  (19) 
түрінде  жазуға  болады,  мұндағы  жоғары  таңбалар  тебіліс  өрісіне,  ал 
төменгілері  тартылыс  өрістеріне  сәйкес  келеді. 
0

 бұрышы  (15) 
өрнекке сәйкес  
 







min
2
2
2
2
r
r
L
r
U
E
dr
r
L


 
 
 
  (20) 
интегралымен анықталынады.  
 
Бұдан 

-бөлшектің шашырау бұрышы оның Е толық энергиясы 
мен  L  импульс  моментінің  функциясы  болып  табылады,  яғни 
)
,
(
L
Е



. Сондықтан сол (19), (20) қатынастары айқын емес түрде 
анықталады  және  шығатын  тәуелділік 
)
(


болады.
 
ρ  және  χ 
арасындағы  осы  байланыс  нақтылы  болу  үшін,  импульс  моментін 
оның белгілегіш параметрі арқылы өрнектейік. 17-сурет арқылы  









sin
r
L
   
 
           (21) 
екендігін көрсетуге болады. Сонымен қатар жоғарыда көрсетілгендей  
2
2



Е
.                                            (22) 
μ 
z 
ρ 
α 
χ 
0

 



 
Р 
n. ось 
0 
n. ось 
 
Р 
 
 
0

 
 
 



 
0 
χ 
17-сурет 

 
132 
(20)  өрнегіне  (21),  (22)  өрнектерін  (19)  қатынастарын  ескере  отырып 
қоятын болсақ, мынадай нәтижені аламыз  






min
2
2
2
2
)
(
2
1
2
r
r
U
r
dr
r






,   
 
            (23) 
мұндағы  χ  алдында  тұрған  жоғарғы  таңба  тебіліс  өрістеріне  сәйкес 
келеді.  Осы  қатынаспен 
)
(


 
ізделінеді  және  функционалдық 
тәуелділік анықталынады. 
 
(23)  қатынасы 

-бөлшектің 
)
2
(
)
(



n
r
r
U
n

 әлсіз 
сингулярлы тартылыс өрісінде және кез келген 
)
0
(
2
)
(



n
r
r
U
n

 
тебіліс  өрісінде  қозғалғанда  ғана  орындалады.  Тек  қана  осы 
жағдайларда ғана  көрсетілген қатынастар  
)
(


бір мәнді тәуелділікке 
әкеледі.
 
2

n
бастап  тартылыс  өрісінде  жоғарыда  көрсетілгендей 
орбиталау  эффекті  (құбылысы)  байқалады,  яғни 

-бөлшектердің 
траекторияларының 
оралуы. 
Осы 
құбылысты 
ескергенде 
)
(


функциясының  көпмәнділігіне  әкеледі,  сонымен  қатар 
шашыраудың классикалық теориясының негізгі (2) формуласын  
 
 


k
k
k
d
d
d
d








2
,                                 (24) 
түрінде  жазуға  болады,  мұндағы  қосынды 
)
(


 
көпмәнді 
функциясының барлық тармақтары бойынша жүргізіледі. Жекеленген 
жағдайларда 
)
(


 
фунционалдық тәуелділігін, геометриялық тұрғыда 
(24) формуласына қарамай шешуге болады.  
 
Сондықтан, 

-бөлшектердің  қандай  да  m
1
  және  m
2
  жұп 
бөлшектердің  массалар  орталығымен  сәйкес  келетін  қозғалмайтын 
күштік центр өрісі арқылы шашырауының дифференциалдық қимасы 
толығымен  (2),  (22)  формулаларымен  анықталынады.  Егер  осы 
формулаларда 





m,
 алмастыруын  жасасақ,  онда  олар 
массалары  m  жеңіл    және  жылдамдықтары 



 массасы  M>>m 
болатын  белгілегіш-бөлшектердің  шашырауының  дифференциалдық 
қимасын анықтайды. Осыдан шашыраудың макроскопиялық қимасын 

 (яғни жекеленген m
 
бөлшектредің бірлік уақытта түсетін шоқтың 
бағытына  θ  бұрыш  жасай  отырып  шашырау  ықтималдығы)  алу  үшін 
(6)  толық  қимасын  1см
3
  келетін  шашырағыш  N  белгілегіш-
бөлшектердің санына көбейтсек жеткілікті, яғни  







d
F
N
sin
)
(
2
.                                (26) 

 
133 
 
m
1
  және  m
2
  бөлшектерінің  шашырауының  қималарын  есептеу 
туралы  тура  есеппен  қатар 
)
(r
U
 белгілі  әсерлесу  заңы  бойынша 
шашыраудың кері есебін шешу қателігі туады, яғни 
)
(r
U
 шашырағыш 
потенциалдың  түрін  бөлшектердің  серпімді  шашырауы  жөніндегі 
эксперименттік  мәндері  бойынша  анықтау  туралы  есептер. 
Соқтығысқан  бөлшектердің  (мысалы,  атомдар  немесе  иондар)  өзара 
әсерлесу  потенциалының  түрін  L-дің  берілген  мәнінде  шашырау 
бұрышының энергиядан тәуелділігі туралы белгілі тәжірибе бойынша 
және  де 
)
(r
U
 тебіліс  өрісінің  ізделінді  потенциалы 


r
 болғанда  r-
дің  монотонды  функциясы  болып  табылады  (Хойттың  шашырау 
туралы кері есебі). 
 
L-дің белгіленген мәні үшін бөлшектердің шашырауы бойынша 
өткізілген тәжірибеде тікелей L дифференциалды қиманың χ және Е-
ден  тәуелділігі  немесе 


d
d
E
F


)
,
(
 функциасы  анықталынатын-
дығын  ескере  кетелік.  Сонымен  қатар 
)
(E

 тәуелділігін  (
E
,

) 
жазықтығында  кейбір 
)
,
(
E
L
L


 қисықтарының 

L
тұрақты 
түзуімен  қиылысу  нүктелері  бойынша  табуға  болады;  көрсетілген 
қисықтар (4) өрнегінен шығатын  








d
E
F
E
L
sin
)
,
(
4
2
 
    
             (26) 
теңдеумен анықталады. 
 
Берілген 
)
(E

тәуелділігі арқылы ізделінді 
)
(r
U
 потенциал 
анықталатын теңдеу ретінде (21) қатынасы алынады. Осы қатынасты  
 
 
 
 














min
2
2
2
,
1
2
2
r
r
L
r
U
r
V
r
V
E
r
d
L
E




 
 
  (27) 
түрінде жазуға болады.  
 
)
(r
U
 ізделінді 
функция 
секілді  V(r)  жинақы  потенциалы 
да  r-дің  монотонды  функциясы. 
Сондықтан  V(r)  функциясы  кері 
r(V)  бірмәнді  функциясы  бар 
болады.  (27)  өрнегінде  жаңа 
тәуелсіз  V  айнымалысына  көше 
отырып,  
 











E
V
E
dV
r
d
L
E
0
1
2
2



   (28) 
       r(V)
 
0 
r
min 
V 
18-сурет 

 
134 
өрнегін аламыз. (28) теңдігі Абельдің интегралдық теңдеуіне келеді. 
Оның шешу жолы жеңіл. Нәтижесінде: 






V
E
V
dE
E
L
V
r
0
)
(
2
2
)
(
1




 
 
 
  (29) 
теңдеуін аламыз. 
Сонымен, 
)
(E

 тәуелділігін 
біле  отырып,  r-ді  V-ның 
функциясын 
2
2
2
)
(
r
L
r
V


 айырымы  ретінде  анықтауға  болады. 
Қарастырылған  әдістің  кемшілігі 

L
тұрақты  үшін  бөлшектердің 
шашырау экспериментін жүзеге асырудың қиындығында. Тәжірибелік 
мәндерді  эффективті  қиманың  Е-нің  берілген  мәнінде,  χ  шашырау 
бұрышынан  тәуелділігі  бойынша  алу  әлдеқайда  жеңіл.  Осы  жағдай 
үшін шашыраудың кері есебінің шешуін О.Б. Фирсов тапқан болатын. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: