Қайырбаев Қ.Қ. Классикалық механика негіздері

 
135 
2
2
2
0
max
2
2
2
1
1
arccos
1
arccos
2

































x
x
 
бұдан  
2
sin
1
2
1
2
2
2
2












.                              (32) 
Осыдан 
)
(


тәуелділігін  алу  үшін  (30)  өрнегін  белгілі 


2
2
cos
1
ec
ctg


   тригонометриялық  теңдеуімен  салыстырайық. 
Нәтижесінде  
2
2
2
2
2




ctg








                                 (33) 
табамыз.  
 
(33)  өрнегін  χ  бұрышы  бойынша  дифференциалдап  және 
алынған  нәтижені  (2)  формуласына  қойып  ц-жүйесінде  кулондық 
шашыраудың ізделінді дифференциалдық қимасын  




2
2
2
3
2
2
cos
1
cos
1
2
2
sin
2
cos






























d
d
d
, 
  (34) 
немесе 
2
sin
2
4
2
2













d
d
.                                   (35) 
алуға болады.  
 
(34)  және  (35)  өрнектер  Резерфорд  формуласы  деп  аталады. 
Бұл  формуладан  кулондық  шашыраудың  дифференциалдық  қимасы 
осы жағдай үшін бөлшектердің траекториясы әртүрлі болатындығына 
қарамастан  зарядталған  бөлшектердің  тартылуы  мен  тебілуіне 
байланысты емес. 
 
Кулондық 
шашыраудың 
ерекшелігі 
кіші 
бұрыштарға 
шашырайтын  бөлшектер  үшін  дифференциалдық  қиманың  күрт  өсуі 
болып  табылады: 
0


болғанда 

d
d

 дифференциалдық  қиманың  өзі 
де және оның бірінші туындысы да шексіздікке  айналады. Бұл артқа 
қарай  шашырайтын  бөлшектердің  бір  бөлігінің  соншалықты  аз 
болуына,  ал  шашыраудың  толық  қимасының  шексіз  үлкен  болуына 
әкеледі,  бұған  тікелей  көз  жеткізуге  болады.  Шынында  да,  (34) 

 
136 
өрнегін χ-ның барлық мәндері бойынша 0-ден π-ге дейін интегралдай 
отырып 



























0
0
2
2
2
1
cos
1
cos
1
cos
1
2
2
1
d
.                (36) 
өрнегін  аламыз.  (34),  (35)  эффективті  қималараның  осындай 
болуының  себебі 
r
r
U


)
(
 кулондық  өрісінің  алыстан  әсер  ету 
сипаттамасы болып табылады.  
 
Енді 
2
1
m
m

және 
2
1
m
m

 неғұрлым  қызықты  жағдайлармен 
шектеліп, л-жүйесіне көшелік.  
 
л-жүйесіне  ұшып  келген  m
1
  бөлшектердің  шашырауының 
дифференциалдық  қимасын 
2
1
m
m

болғанда  алу  үшін,  (34)  немесе 
(36) формулаларында 





,
1
m
 алмастыруын жасасақ жеткілікті. 
Нәтижесінде мынаны аламыз:  
2
sin
2
1
4
1
2
2
1
1













d
m
d
,                                   (37) 
сонымен  қатар  эффективті  қима 
0
2


d
 болады  (нысана-бөлшектер 
соқтығысқаннан кейін де тыныштықта болады). 
 
(37)  формуланы  алғаш  рет  1991  жылы  Резерфорд  ашқан 
болатын.  Осы  формуланы  α-бөлшектердің  шашырауы  бойынша 
алынған  эксперименттік  мәндермен  салыстыру  негізінде  Резерфорд 
атомдық ядроны ашты. Осы зерттеуде келесі жағдай маңызды орынға 
ие  болды:  кулондық  шашыраудың  дифференциалдық  қимасы, 
кейіннен  релятивистік  құбылыстарды  ескермей  есептелініп  алынған 
кванттық механикалық қимамен дәлме-дәл келеді. Атомдық ядроның 
ашылуы  көп  жылдарға  созылар  еді,  егер  оның  бар  екендігінің, 
классикалық  дәләлдің  дұрыстығын  көрсеткен  осы  бір  таңғаларлық 
жағдай болмаса.  
 
Егер  ұшып  келген  бөлшектер  мен  нысана-бөлшектердің 
массалары  бірдей  болса  (яғни 
2
/
;
2
1
m
m
m
m




),  онда  χ 
бұрышының  ұшып  келген  бөлшектердің  шашырау  бұрышы 
1

 мен 
алғашында  тыныштықта  тұрған  бөлшектердің  кері  қайту  бұрышы 
2

 
арасындағы 
байланыс: 
2
1
2
,
2








 қатыстарымен 
анықталынады. Осы қатыстардың (34) формуласына қойғанда   ұшып 
келген және алғашында тыныштықта тұрған бөлшектердің эффективті 
қималарының келесі өрнектерін береді: 

 
137 
1
1
4
1
2
2
1
sin
cos
2









d
m
d





,                                (38) 
және  
2
3
2
2
2
2
2




сos
d
m
d









.                                  (39) 
 
Егер екі бөлшектің тек қана массасы емес, сонымен қатар басқа 
да  сипаттамалары  ұқсас  болса,  яғни  бөлшектер  өзара  бара-бар 
бөлшектер  болса,  онда  шашыраудан  кейін  ұшып  келген  және 
алғашында  тыныштықта  тұрған  бөлшектерді  жеке  қарастырудың 
мағынасы  жоқ.  Демек,  барлық  бөлшектер  үшін  ортақ  шашыраудың 
эффективті  қимасын 
1

d
 және 
2

d
шамаларын  қосып  және  де 
2
1
,


бұрыштарын  ортақ 

 бұрышымен  алмастыра  отырып,  алуға 
болады.  Осы  жағдайда  алынған  бара-бар  бөлшектердің  кулондық 
шашырауының эффективті қимасы мынаған тең болады:  


















d
m
d
клас






cos
cos
1
sin
1
2
4
4
2
2
.   
   (40) 
Бірақ осы формуланы эксперименттік мәндермен салыстырғанда 
дәрменсіз.  Осындай  процестің  дифференциалдық  қимасы  шынында 
(40) өрнегінен ерекшелінетін формуламен өрнектеледі:  
































d
tg
m
d
квант











cos
cos
sin
ln
cos
2
cos
1
sin
1
2
2
2
2
2
4
4
2
2

.    (41) 
(41) 
кванттық 
механика 
формуласында 
қосымша 
интерференциалық  мүшенің  пайда  болуы  кванттық  механикадағы 
бара-бар  бөлшектерді  толықтай  айыруға  болмайтын  жағдайға 
негізделген 
(классикалық 
механикада 
бірдей 
бөлшектерді 
траекториялары бойынша айыруға болады). Бұл бара-бар бөлшектерді 
алмасатын әсерлесу деп аталатын кванттық эффектің пайда болуына 
түрткі болды. (40) формуласындағы қосымша мүшемен сипатталатын 
интерференция  шашыраудың  дифференциалдық  қимасының  өсуіне 
әкеледі (мысалы 45
0
 – екі есе ).  
 
 
 
 
 
 
 

 
138 
§6 Күштік центрмен бөлшектерді басып алу қимасы 
 
 
Күштік сингулярлы тартылыс өрісінде  
)
2
,
0
(
)
(




n
r
r
U
n


, 
 
 
   (42) 
шексіз  үлкен  қашықтықтан  күштік  өрістің  бөлшектерді  басып  алуы 
мүмкін. Бөлшектердің шашырауы секілді, көрсетілген процесті басып 
алудың эффективті қимасы арқылы сипаттауға болады.  
 
Басып  алудың  толық  қимасы 
алу
басып

 күштік  центрден 
жеткілікті  алыс  қашықтықта  бірлік  уақытта  күштік  центрмен  басып 
алынған  берілген  шоқтың  бөлшектер  санының  осы  шоқтың 
тығыздығына қатынасы түрінде, шашыраудың толық қимасына ұқсас 
анықталынады.  
 
Егер күштік центрге шоқтың тек көздеу параметрлері  
max
0




                                          (43) 
теңсіздігін  қанағаттандыратын  бөлшектер  ғана  құлайтын  болса,  онда 
күштік центрмен бөлшектерді басып алудың толық қимасы 
2
max



алу
басып
                                         (44) 
тең болады.  
 
)
2
,
0
(
)
(




n
r
r
U
n


өрісінің 
центріне 
құлайтын, 
масссалары  m
 
және  жылдамдықтары 



 болатын  бөлшектердің 
біртекті шоғы үшін басып алудың толық қимасын есептейік. Осындай 
өрістегі шоқ бөлшегінің жинақы потенциалы  
n
n
жин
r
r
m
mr
L
r
r
U










2
2
2
2
2
2
2
)
(
                       (45) 
түрде  болады. 
2
1
2
2
0









n
m
n
r



нүктесінде  көрсетілген  потенциалдың 
мынаған 


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
max
2
)
2
(
2































n
n
n
n
n
жин
n
m
n
n
m
n
m
m
U
U












                     (46) 
тең максимумы болады.  

 
139 
 



















d
m
d
клас






cos
cos
1
sin
1
2
4
4
2
2
 өрісінің  центрі  арқылы 
шексіз  үлкен  қашықтықтан,  толық  энергиясы 
0
U
E

болатын 
бөлшектер ғана басып алынуы мүмкін. 
 
Бөлшектердің  басып  алынуы  мүмкін  болатын  көздеу 
параметрінің 
max

 максимал  мәнін
 
0
2
2
U
m



 теңдеуін  шеше  отырып,
 
табуға болады. Осыдан  


n
n
n
m
n
n
2
2
2
2
max
2













,                                 (47) 
табамыз, демек, басып алудың ізделінді қимасын  
n
n
алу
басып
m
a
n
n
a
1
2
2
2
2
,
)
2
(















,                     (48) 
түрінде жазуға болады.  
 
n=2  ,  болғанда  алынған  өрнектің  оң  жақ  бөлігі  0
0
  түріндегі 
анықталмағандыққа  айналады.  Бірақ,  осы  анықталмағандықты 
шешудің  орнына,  есепті  қайтадан  басынан  бастап  шешкен  жеңіл 
болар еді.  
 
2
)
(
r
r
U



өрісінің  центріне  бөлшектердің  құлауы  тек  сол 
жағдайда  мүмкін  болар  еді,  егер 
2
2
L
m


 немесе 
2
2
2




m
 шарты 
қанағаттандырылатын болса, яғни өрістің центрімен тек қана көздегіш 
қашықтығы 
2
max
/
2





m
 -тен  аспайтын  бөлшектер  ғана  басып 
алынады. Сондықтан n=2 үшін (42) өрісінің басып алу қимасы 
2
2





m
алу
басып
                                        (49) 
тең болады.  
 
Нүктелік  көздер  арқылы  пайда  болатын  n<2  үшін  әлсіз 
сингулярлы  тартылыс  өрісінде, 
0


болатын  бөлшектердің  басып 
алынуы мүмкін емес. Бірақ жағдай негізінен өзгереді, егер өріс көзі – 
алыстатылған дене болса.  
 
Мысал 
ретінде 
Жердің 
метеориттік 
бөлшектерді  басып  алуын 
қарастырайық.  
Құлау  шарты  ретінде 
бұл 
жағдайда 
өрістің 
центрінен 
бөлшектердің 
0 
R 
P 



 
max

 
19-сурет 

 
140 
гиперболалық траектория-сының перигеясына дейінгі қашықтық Жер 
радиуысы-нан кіші болсын деген талап болады. Бөлшектер-дің басып 
алынуы  мүмкін  болатын 

-ның  максимал  мәндері 
R
r

min
 шарты 
бойынша анықталынады.  
 
 
Бұл  
E
R
U
жин

)
(
,                                      (50) 
немесе                                     
2
2
2
2
2
max
2







m
mgR
R
m
                           
теңдеуін шешуге әкеледі. 
Осыдан 
2
max

 шамасын анықтай отырып,  
R
алу
басып

















2
2
2
1




, 
 
 
(104) 
өрнегін  табамыз,  мұндағы 
gR
2
2


-  екінші  космостық  жылдамдық. 
2




үшін  алынған  қима  Жердің  геометриялық  қимасының 
ауданына жақындайды.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
141 
 
 
 
 
 
 
 
 
ІХ ТАРАУ 
МАССАСЫ АЙНЫМАЛЫ НҮКТЕ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ 
НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ 
 
КІРІСПЕ 
 
Массасы  айнымалы  денелер  механикасы  –  теориялық 
механиканың  аумақты  зерттеу  саласы.  Механика  дамуының  осы 
бағытының негізгі мәселесі болып массасы уақыт бойынша өзгеретін 
денелердің  қозғалысы  мен  тепе-теңдігін  зерттеу  саналады.  Массасы 
айнымалы денелер қозғалысын зерттеу идеясы ХІХ ғасырдың соңына 
қарай  туындады.  Бұл  кездегі  зымырандық  техниканың,  бақылағыш 
астрономияның  және  электродинамиканың  дамуы  механиканың 
бірқатар  жаңа  есептерін  қарастыруға  әкелді.  Мұндай  есептерде 
қозғалатын  дененің  массасы  уақыт  функциясы  немесе  жылдамдық 
функциясы болып келеді.  
 
Классикалық  механика  негізінде  Ньютон  тұжырымдаған 
материалдық  нүкте  қозғалысының  заңдары  қарастырылады.  Бұл 
салада  қозғалысты  сипаттайтын  барлық  өрнектер  –  материалдық 
нүктенің  үдеуі,  массасы  және  оған  әсер  ететін  күштің  арасындағы 
байланысты көрсететін Ньютонның 2-ші заңының салдары. 
 
Алайда,  Ньютонның  2-ші  заңы  массасы  тұрақты  материалдық 
нүкте  қозғалысын  қарастырғанда  ғана  орынды.  Ал  егер  қозғалыс 
барысында  нүктенің  массасы  өзгеретін  болса,  онда  қозғалыс  заңын 
көптеген мәселелерді ескере отырып жалпы түрде жазу қажет. 
 
Қозғалыс кезінде массасы өзгеретін денелердің мысалы ретінде 
әртүрлі  басқарылатын  зымырандарды,  реактивті  қозғалтқышы  бар 
ұшақтарды,  реактивті  снарядтар,  миналарды  және  торпедаларды 
келтіруге 
болады. 
Осындай 
қозғалысты 
көптеген 
табиғи 
құбылыстарда  да  байқауға  мүмкіндік  бар.  Мысалы,  Күннің  массасы 
ғарыштық  шаң-тозаңның  қосылуынан  артса,  сәулелену  салдарынан 
кемиді.  Массасы  айнымалы  денелер  механикасының  планеталар 
қозғалысын зерттеуде де маңызы зор.  

 
142 
Массасы  өзгеретін  нүкте  динамикасының  негізгі  заңын  1897 
жылы  Ленинград  политехникалық  институтының  профессоры 
И.В.Мещерский өзінің  магистрлік  диссертациясында  ашқан  болатын. 
Айтылған  қозғалыс  жайлы  Мещерскийдің  алған  негізгі  теңдеуі  әр 
түрлі  дербес  есептер  үшін  олардың  заңдылықтарын  орнатуға 
мүмкіндік 
берді. 
Мещерский 
еңбегінің 
негізін 
құрайтын 
гипотезалардың  бірі  –  жақын  әсер  гипотезасы.  Жоғарыда  айтылған 
Ньютонның 2-ші заңы Мещерский теңдеуінің дербес жағдайы болып 
келеді.  1904  жылы  Мещерский  бөлшектердің  бір  уақытта  қосылуы 
мен ажырауын ескере отырып массасы айнымалы нүкте қозғалысына 
қатысты үлкен, кең көлемді еңбегін жарыққа шығарды. 
 
Массасы  айнымалы  денелер  механикасына  атақты  орыс 
оқымыстысы Циолковскийдің қосқан үлесі зор болды. 1903 жылы ол 
өзінің  «Реактивті  құралдармен  әлемдік  кеңістіктерді  зерттеу»  атты 
еңбегін  жазды.  Мұнда  массасы  айнымалы  денелердің  түзу  сызықты 
қозғалысының  бірқатар  қызықты  жағдайлары  қарастырылған. 
Циолковский  қорытып  шығарған  зымыранның  жылдамдығы  мен 
массасын  байланыстыратын  өрнек  әлемдік  атаққа  ие  болды  және 
конструкторлық бюролардың алдын ала есептеулерінде кең қолданыс 
тапты.    Циолковский  алғашқы  болып  бөлшектердің  ажыратылу 
процесінің оңтайлылығына баға берді және зымырандардың пайдалы 
әсер коэффициентін анықтады. 
 
Массасы айнымалы денелер механикасында Циолковский уақыт 
өзгерісіне  байланысты  нүкте  массасы  үздіксіз  де  және  секірмелі  де 
өзгеретіндігі  жайлы  идеяны  ұсынды.  Циолковский  ортаның  үйкеліс 
күшінің  зымыран  жылдамдығына  әсерін  зерттеді.  Сонымен, 
Мещерский  мен  Циолковскийдің  еңбектері  бір-бірін  толықтыра 
отырып, осы айтылған теориялық механика саласының негізін қалады 
деп айтуға болады. 
 
Ендігі  кезекті  шетелдік  ғалымдарға  беретін  болсақ,  олардың 
қатарына  Годдардты,  Обертті,  Гоманды  және  Леви-Чивитаны 
жатқызуға  болады.  Годдард  теориялық  зерттеулер  жүргізе  отырып, 
келесі  бір  вариациялық  есепті  тұжырымдады:  берілген  массаны 
берілген  биіктікке  көтеру  үшін  зымыранның  ең  аз  жанармай  қоры 
қандай  болу  керек?  Осы  есепті  шешу  үшін  Годдардтың  1919  жылы 
ұсынған  әдісі  аса  қарапайым  және  айта  аларлықтай  мазмұнға  ие 
болған  жоқ.  Алайда,  Годдард  биіктікке  көтерілу  барысында  оңтайлы 
режімдер бар екендігі жайлы нақты дәлелдемелер берді. 
 
Годдард  есебінің  нақты  математикалық  шешімін  Гамель 
анықтады.  Кейін  бұл  есепті  белгілі  ғалымдар  Тзян,  Эванс  және 

 
143 
Лейтман  зерттеген  болатын.  Орыс  ғалымдары  Космодемьянский, 
Охоцимский да осы есепті шешу үшін өз үлестерін қосты. 
 
Оберт өзінің «Космостық кеңістіктегі зымыран» атты еңбегінде 
Годдард  есебінің  шешімін  ешбір  қозғалыс  теңдеуінен  шықпайтын 
кейбір  экстремалдық  принципке  негізделе  отырып  анықтауға 
тырысты. 
 
1950-ші  жылдардың  соңы  мен  1960-шы  жылдардың  басында 
зымыран  қозғалысының  оңтайлы  режімдерін  анықтау  мақсатында 
варияциялық  есептеулердің  қолданылуына  негізделеген  көптеген 
еңбектер шет елдерде жарық көре бастады. 
 
Леви-Чивита  өз  еңбектерін  ажыратылатын  бөлшектердің 
абсолют  жылдамдықтары  0-ге  тең  болған  жағдайдағы  массасы 
айнымалы нүкте қозғалысының негізгі теңдеуін анықтауға арнады. 
 
Массасы 
айнымалы 
денелер 
қозғалысының 
теориясын 
құрастыру,  негізгі  теоремаларды  тұжырымдау,  жалпыланған 
координаттарда  қозғалыс  теңдеуін  қорытып  шығару  және  бірқатар 
дербес есептерді шешу көптеген кеңес ғалымдарының жұмыстарында 
орын алды.  
 
Массасы  айнымалы  денелер  механикасы  –  ХХ-ғасырдың 
ғылымы.  ХХ-ғасырдың  басында  механиканың  бұл  бөлімін  негізінен 
астрономдар  мен  инженерлер  құрастырған  болатын.  Планета  аралық 
саяхат  идеясы  көптеген  ғалымдардың  осы  салада  зерттеулер 
жүргізулеріне талпындырушы күш болды деуге болады. 
 
Зымырандық  техника  біздің  заманымызда  өнеркәсіптің  басты 
саласы  болып  келеді.  Реактивті  қозғалыс  теориясын  массасы 
айнымалы  денелер  механикасының  негізгі  мазмұнды  бөлігі  ретінде 
қарастыруға болады. 
 
Массасы  айнымалы  денелер  механикасы  планета  аралық 
саяхаттар  жайлы  қиял-ғажайып  проектілер  әсерінен  қарқынды  дами 
бастады.  Алайда,  ол  Жерде  нақты  қолданыс  тапқаннан  кейін  ғана 
космосқа ұшудың ғылыми базасы болды. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: