§ 4 Сфералық координат әдісі

 
15 
Қозғалыстағы М нүктесінің радиус-векторы былай өрнектеледі  
r
e
r
r



                                             (33) 
 
Осы  өрнектен  уақыт  бойынша  туынды  (бірінші  және  екінші) 
алып  және  (32)-ші  өрнекті  пайдаланып,  М  нүктесінің  жылдамдығы 
мен үдеуін аңықтаймыз, 





e
r
e
r
e
r
r












sin
,                               (34) 






2
2
2
2
2
2
sin






r
r
,                               (35) 




e
w
e
w
e
w
w
r
r







,                                   (36) 
мұндағы  


 

















,
sin
sin
1
,
cos
sin
1
,
sin
2
2
2
2
2
2
2



















r
dt
d
r
w
r
r
dt
d
r
w
r
r
w
r
                              (37) 
тең  болады  да, 
r
w
 -  үдеудің  радиалдық, 

w
 -  меридианалдық, 

w
 - 
азимутальдық құраушылары деп аталады. 
 
§5. Табиғи әдісі 
 
 
Нүктенің  қозғалысын  табиғи  әдісті  пайдаланып  анықтау  үшін 
сол нүкте қозғалысының траекториясының түрі берілген болуы керек. 
Осы  траекторияның  түрі  білгілі  болғанда,  нүкте  қозғалысын  былай 
анықтайды: 
1.
 
Сол  траекторияның  бойынан бір  нүктені  белгілеп  аламыз 
да, оны қозғалыстың бас нүктесі деп есептейміз (6-суретте 
O
-нүктесі). 
2.
 
Қозғалыстың бағытын анықтаймыз (оны стрелкамен 
көрсетеміз). 
3.
 
O
 нүктесінен  бастап, 
ОМ
 доғаның  ұзындығын  есептейміз 
де  оны 
S
 деп  белгілеп  арақашықтық  деп  атаймыз. 
М
 нүктесі 
траектория  бойымен  қозғалғанда, 
S
 арақашықтығы  уақыт  бойынша 
өзгереді, басқаша айтқанда  
 
t
S
S

                (38) 
Осыны  нүктенің  қозға-
лыс  теңдеуі  немесе  қозғалыс 
заңы  деп  атайды.  Егер 
S
 
белгілі  болса,  жылдамдықтың 
алгебралық  шамасын  анықтау-
ға болады: 
dt
ds


               (39) 

 
16 
Жылдамдық  векторлық  шама  болғандықтан  және  оның  бағыты 
траекторияның кез келген нүктесіне түсірілген жанаманың бағытымен 
бағыттас болатындықтан, былай жазуға болады: 
0






                                               (40) 

0


жанаманың бірлік векторы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Осы  әдісте  қозғалыстағы  нүктенің  үдеуін  анықтау  үшін  табиғи 
санақ  жүйесін  енгізуіміз  керек.  Осы  санақ  жүйесі  қозғалыстағы 
нүктемен  бірге  траектория  бойымен  қозғалыста  болады.  Осындай 
санақ  жүйесін  енгізу  үшін  траекторияның 
М
 нүктесіне  жанама 
жүргізейік,  оның  бірлік  векторын 
0


 деп  білгілейік.  Осы 
М
 нүктесі 
арқылы 

0


ге перпендикуляр жазықтық жүргіземіз, бұл жазықтықты 
нормаль жазықтық деп атаймыз (7-сурет). 
М
 нүктесі арқылы өтетін кез келген сызық 
0


-ге перпендикуляр 
болады. 
t

 уақыт  мезетінде  қозғалыстағы  нүкте  траектория  бойымен 
М
 нүктесінен 
1
M
 нүктесіне  орын  ауыстырды  дейік.  Осы  нүктеге 
жанама жүргізейік те оның бірлік векторын 
0
1


 деп белгілейік. Осы 
0
1


 
векторын  өзін  өзіне  параллель  етіп 
M
 нүктесіне  жылжытайық  та 
0
1


 
және 
0


 векторылары  арқылы 


0
0
1




M
 жазықтығын  жүргізейік.  Сонда 
1
M
 нүктесі 
М
 нүктесіне  шексіз  жақындаған  жағдайда 


0
0
1




M
 
жазықтығы  белгілі  бір  шекке  ұмтылады.  Осы  кезде  пайда  болған 
жазықтық  түзеткіш  жазықтығы  (нүктенің  қозғалатын  жазықтығы) 
болады. Осы түзеткіш жазықтықпен нормаль жазықтығының қиылысу 
сызығын  бас  нормаль  деп  атайды  да  оның  бірлік  векторын 
0
n

 деп 
белгілейді.  Түзеткіш  жазықтықта  жатқан 
0
в

 бірлік  векторының 
бағыты 


0
0
0
в
n




 векторлары  өз  ара  перпендикуляр  координаттар 
жүйесін  құрайтындай  етіп  таңдап  алынады.  Осындай  координаттар 
жүйесін  табиғи  координаттар  жүйесі  деп  атайды.  Мұндағы 


0
0
0
в
n




 
табиғи ұшбұрыш деп аталады. Табиғи координат жүйесі қозғалыстағы 
нүктемен  бірге  траектория  бойымен  қозғалып  отырады.  Сондықтан 
табиғи координаттар  жүйесінің  бірлік векторы  траекторияның  түріне 
байланысты бағыты жағынан өзгеріп отырады (7-сурет).  

 
17 
 
Қозғалыстағы  нүктенің  үдеуің  табу  үшін  /40/-шы  өрнектен 
туынды аламыз.  
dt
d
dt
d
dt
d
w
0
0












                                    (41) 
Аналитикалық  геометриядан  белгілі  Фрэне  өрнегі  бойынша 
dt
d
0


 былай түрлендіруге болады: 
0
0
0
0
1
n
ds
d
ds
d
dt
ds
dt
d














 
мұндағы, 
0
n

- нормаль жазықтығының бірлік векторы; 
                 

-траекторияның қисықтық радиусы. 
Соңғы өрнекті (41)-ші өрнекке қойсақ,  
0
2
0
n
dt
d
w









                                      (42) 
Осы  өрнек  үдеу  векторын  анықтайды.  Енді  үдеу  векторының 
табиғи өстерге проекциясын табайық: 
 




2
0



n
w
w
n


                                      (43) 


dt
d
w
w






0


                                      (44) 
 
0
0



b
w
w
b


                                         (45) 
(43)-ші  өрнекпен  анықталатын  үдеудің  құраушысын  нормаль 
үдеу деп, (44)-ші өрнектегі 

w
- тангенсиаль үдеу деп атайды. ‡деудің 
нормаль және тангенсиаль құраушылары белгілі болса, толық үдеудің 
шамасын таба аламыз: 
2
2
2
2
2
















dt
d
w
w
w
n




.                           (46) 
Енді бірнеше дербес жағдайларды қарастырайық: 
1)
 
Егер 
0
,
0


n
w
w

 болса,  ондай  қозғалыс  үдемелі  қисық  сызықты 
болады (8-сурет).  
2)
 
Егер 
0
,
0


n
w
w

 болса,  ондай  қозғалыс  кемімелі  қисық  сызықты 
қозғалыс болады (9-сурет). 
 

 
18 
3)
 
Егер 
0
,
0


n
w
w

 болғанда,  бірқалыпты  қисық  сызықты  қозғалыс 
болады. 
4)
 
Егер 
0
,
0


n
w
w

 болғанда,  бірқалыпты  түзу  сызықты  қозғалыс 
болады.  Осы  дербес  жағдайлардан  үдеудің  нормаль  құраушысы 
жылдамдық 
векторының 
бағыт 
бойынша 
өзгеруін 
сипаттайтындығын,  ал  тангенсиаль  құраушысы  жылдамдық 
векторының шама жағынан өзгерісін сипаттайтындығын көреміз. 
 
 
§6. Қатты денелердің ілгерілемелі қозғалысы 
 
Қатты  денелер  қозғалысының  кинематикалық  сипаттамасына 
көшпес  бұрын  алдымен  еркін  қозғалыстағы  қатты  дененің  еркідік 
дәрежесін анықтайық.  
 
Денелердің  еркіндік  дәрежесі  деп,  осы  денелердің  еркін 
қозғалысының  санын  айтады.  Басқаша  айтқанда,  денелердің  еркін 
қозғалысын анықтайтын координаттар санын айтады. 
 
Бізге  белгілі  денелердің  қозғалысын  анықтау  үшін  бір  түзудің 
бойында  жатпайтын  дененің  үш  нүктесінің  қозғалысын  анықтасақ 
жеткілікті.  Әрбір  нүктенің  қозғалысы  декарттық  координаттар 
жүйесінде  (x,  y,  z)  координаттары 
бойынша 
анықталатындықтан 
қатты  дененің  кез  келген  үш 
нүктесінің  А  (х
А
,  у
А
,  z
A
),  B  (x
B
,  y
B
, 
z
B
),  және  C  (x
C
,  y
C
,  z
C
)  қозғалысын 
анықтау керек (10-сурет). 
Қатты  дененің  анықтамасы 
бойынша  оның  кез  келген  екі 
нүктесінің  арақашықтығы  тұрақты 
болып  қалатындықтан  аналитика-
лық  геометриядан  белгілі  екі 
нүктенің  арақашықтығын  анық-
тайтын  мына  төмендегідей  үш 
теңдеу жазуға болады. 

 
 








2
B
A
2
B
A
2
B
A
Z
Z
Y
Y
X
X
AB
тұр. 

 
 








2
C
B
2
C
B
2
C
B
Z
Z
Y
Y
X
X
BC
тұр. 

 
 








2
C
A
2
C
A
2
C
A
Z
Z
Y
Y
X
X
AC
тұр. 
Осы  тендеулерді  шешу  арқылы  үш  белгісізді  анықтаймыз. 
Сонда, тоғыз белгісіздің үшеуін анықтағанда, алтауы қалады. Осыдан 

 
19 
еркін  қозғалыстағы  дененің  еркіндік  дәрежесі  алтыға  тең.  Егер 
денелердің  қозғалысы  белгілі  бір  шарттарға  сәйкес  шектелген  болса, 
онда оның еркіндік дәрежесінің саны азаяды.  
Мысалы: Егер қатты дене бір нүктесінен бекітілген болса, онда 
оның  еркіндік  дәрежесі  үшке  тең,  өйткені  ол  (x,  y,  z)  өстерінің 
айналасында  үш  тәуелсіз  айналмалы  қозғалыс  жасай  алады.  Егер 
қарастырылып  отырған  дене  қозғалыс  кезінде  бір  жазықтықта 
жататын  болса,  оның  еркіндік  дәрежесі  екіге  тең,  өйткені  ол  осы 
жазықтықта  (x,  y)  өстерімен  екі  ілгерлемелі  қозғалыс  жасай  алады. 
Егер  қозғалыстағы  қарастырып  отырған  дене  екі  нүктесі  арқылы 
бекітілген болса, онда оның еркіндік дәрежесі бірге тең, өйткені осы 
екі нүктені қосатын түзудің айналасында ғана айнала алады. 
Жалпы  алғанда  қатты  дене  қозғалысын  екіге  бөлуге  болады: 
ілгерілемелі және айналмалы. 
 
Біз  осы  тақырыпта  қатты  денелердің  ілгерілемелі  қозғалысын 
қарастырайық.  
 
Ілгерілемелі  қозғалыс  деп  қатты  дененің  кез  келген  екі 
нүктесін  қосатын  түзу  өзіне-өзі  параллель  қозғалғандағы  қозғалысты 
айтады.  
 
Осы  қозғалысты  сипаттау  үшін, 
оны  екі  санақ  жүйесіне  қатысты 
қарастырайық  (11-сурет).  Біреуі 
oxyz
 
қозғалмайтың  санақ  жүйесі  болсын, 
екіншісі  қозғалыстағы  дененің  0
/
 
нүктесіне  бекітілген 
z
y
x
О




 жылжы-
малы  санақ  жүйесі  болсын.  Осы 
дененің  кез  келген  бір  М  нүктесінің 
қозғалысын  қозғалмайтын  oxyz  санақ 
жүйесіне 
қатысты 
r

 радиус-
вектормен,  ал  жылжымалы 
z
y
x
О




 
санақ жүйесіне қатысты 


 радиус-векторымен анықтайық. 
Жылжымалы 
z
y
x
О




санақ жүйесінің бас нүктесі 0
/ 
қозғалмайтын 
oxyz  санақ  жүйесіне  қатысты 
0
r

 радиус-векторымен  анықталатын 
болсын. Сонда, ОМО
' 
векторлық үшбұрыштан  
0
r
r






                                             (47) 
Қатты  дененің  және  оның  ілгерілемелі  қозғалысының 
анықтамасына сәйкес: 


 = тұрақты 
Сондықтан  


c
b
a ,
,


 векторының проекциялары да тұрақты, яғни  
(a=тұр. b=тұр. c=тұр.). 

 
20 
(47) өрнектің (x,y,z) өсьтеріне проекцияларын табайық: сонда 
Oz
M
Oy
M
Ox
M
r
c
z
r
b
y
r
a
x






,
,
                                        
(48) 
(47)  өрнектен  уақыт  бойынша  туынды  алсақ  ілгерілемелі 
қозғалыстағы  қатты  дененің  кез  келген  М  нүктесінің  жылдамдығын 
және үдеуін былай табамыз: 





'
'
o
M
о
М
w
w






                                            (49) 
Осы  өрнектен  қатты  дененің  ілгерілемелі  қозғалысы  кезінде 
оның  кез  келген  екі  нүктесінің  жылдамдықтары  мен  үдеулерінің 
бірдей  болатының  көреміз,  сондықтан  қатты  дененің  ілгерілемелі 
қозғалысының кинематикалық сипаттамасын анықтау  ұшін  оның бір 
нүктесінің  кинематикалық  сипаттамасын  анықтау  жеткілікті,  оны 
өткен тақырыпта келтірілген әдістер бойынша табамыз. 
 
§7. Қатты денелердің айналмалы қозғалысы.  
Лездік бұрыштық жылдамдық 
 
Айналмалы  қозғалыс  деп, 
айналу  өсі  деп  аталатын  бір 
түзудің бойында жатқан нүктелер 
қозғалмайтын,  ал  қалған  нүкте-
лердің 
барлығы 
да 
шеңбер 
бойымен 
қозғалатын 
қатты 
дененің қозғалысын айтады.  
Айналмалы  қозғалысты  алу 
үшін  дененің  кез  келген  екі 
нүктесін 
бекітсек 
болғаны. 
Дененің 
осындай 
айналмалы 
қозғалысын  қарастырайық.  Сонда 
осы дененің барлық нүктелері OZ 
өсінің 
айналасында 
шеңбер 
бойымен 
қозғалады. 
Сондай 
дененің бір М нүктесінің радиусы 
а
 шеңбер  бойымен  қозғалысын  қарастырайық.  Осы  М  нүктенің 
қозғалысы  ОМ
/
ММ
//
 
жазықтығының 

 бұрылу 
бұрышымен 
сипатталады. Сонда, осы  
φ=φ(t)                                               (50) 
айналмалы қозғалыс заңы болады.  

 
21 
Осы  қарастырып  отырған  нүктеміз  Δt  уақыт  ішінде  траектория 
бойымен  М
1
  нүктесіне  орын  ауыстырды  дейік.  Сонда 
r


 радиус-
вектордың өзгерісі шамасы бойынша 



sin
r
a
r







 
 Осы өрнектің оң жағы екі вектордың векторлық көбейтіндісінің 
модуліне  ұқсас  екіндігін  көреміз.  Егер 



 вектор  деп,  оны  айналу 
өсімен  бағытталған  деп  есептесек,  онда  бұл  өрнекті  былай  жазуға 
болады, 


r
r








                                             (51) 



 векторының Δt - ға қатынасының Δt→0 ұмтылғандағы щегін 
лездік бұрыштық жылдамдық деп атайды да, оны 


 деп белгілейді, 












dt
d
t
t
0
lim
,                                           (52) 
 
ал 
t
r



 қатысының  Δt→0  ұмтылғандағы  шегін  нүктенің 


 
сызықтық жылдамдығы деп атайды. Сонда (51) өрнектің екі жағын 
t

 бөліп,  шекке  көшсек,  бұрыштық  және  сызықтық  жылдамдықтар 
арасындағы байланысты табамыз. 


r
r
t
t
r
dt
r
d
тур
r
t
тур
r
t












































0
0
lim
lim
                       (53) 
 
Осы (53) өрнекті бағыты жағынан өзгеріп 
отыратын  кез  келген  А

 векторы  үшін  жазуға 
болады, 
 
,
A
dt
A
d
тур
А














                     (54) 
 
Егер 
жылжымалы 
санақ 
жүйесі 
айналмалы  қозғалыстағы  денемен  байланыста 
болса  және  оның  бірлік  векторлары 


0
0
0
,
,
k
j
i



 
болса, онда (54) өрнек бойынша 
 
 


 
0
0
0
0
0
0
,
,
k
dt
k
d
j
dt
j
d
i
dt
i
d
















.                    (55) 
осы өрнекті Пуассон теңдігі деп атайды. 
(53) өрнектен уақыт бойынша туынды алып үдеуді анықтаймыз,  
 
 
 
 


r
r
r
r
w























                          (56) 
мұндағы 





 - бұрыштық үдеу деп аталады. 
 

 
22 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: