§5. Кедергісі квадраттық заңмен өзгеретін ортадағы массасы

§5. Кедергісі квадраттық заңмен өзгеретін ортадағы массасы 
айнымалы нүктенің қозғалысы. 
 
Массасы  айнымалы  нүкте  түзу  сызықты  қозғалсын,  ортаның 
кедергі  күшін  жылдамдық  квадратына  пропорционал,  ал  массаның 
өзгеру заңын сызықты деп санаймыз. Осылай қойылған есеп массасы 
айнымалы  нүктенің  абсолют  тегіс  көлденең  жазықтықтағы 
қозғалысын сипаттайды. Мұнда нүкте салмағы жазықтықтың нормаль 
реакциясымен  теңестіріледі.  Қарастырылған  жағдай  үшін  алынатын 
қорытынды реактивті ұшақтың горизонталь бағытта ұшуын көрсетеді. 
Нүкте қозғалатын түзу 
Os
 өсі болсын. (5-сурет) 
Бұл жағдайда қозғалыс теңдеуі мынадай түрде болады:    
r
V
dt
dM
Q
dt
d
M



)
(
1


.   
 
 
(67) 
Жасалған болжамдарға сәйкес 
2
1
1

k
Q

,  
)
1
(
0
t
M
M



,  
0
M
dt
dM



. 
k
M
k

0
1
 деп алсақ, (67)-ші өрнектен келесі шығады: 
2
)
1
(




k
V
dt
d
t
r



. 
 
 
 
(68) 
Айнымалыларды ажыратып, интегралдағаннан кейін  
1
)
1
ln(
1
ln
2
1
C
t
k
V
k
V
kV
r
r
r













, 
 
(69) 
мұндағы 
1
C
 –  интегралдау  тұрақтысы.  t=0  болғанда 
0


 деп 
санаймыз, онда 
0
1

C
   
(69)-өрнекті 

 жылдамдыққа  қатысты  есептей  отыра  келесіні 
аламыз: 
n
n
r
t
t
k
V
)
1
(
1
)
1
(
1









,                                (70) 
мұндағы 

r
kV
n

.  Практикалық  қызықты  жағдайлар  үшін  n>10,  ал 
s 
M 
O 
Q
1 






r
V
dt
dM
 
s 
5-сурет 

 
167 
0
)
1
(
M
M
t



 –  дұрыс  бөлшек.  Сондықтан  уақыттың  кейбір 
*
t
t

 
мәнінен бастап,  




n
t)
1
(
 
болғанда,  мұндағы 

 –  аз  шама,  нүкте  жылдамдығы 

2
-ге  дейінгі 
дәлдікпен келесі тұрақты шамаға тең болады : 
g
k
V
P
k
V
r
r
1
0
*





,                                (71) 
мұндағы 
0
P
 – 
0

t
 уақыт  мезетіндегі  нүктенің  бастапқы  салмағы, 

g
ауырлық күшінің үдеуі. 
2
1
1

k
Q

 кедергі  күшін,  оның  тәжірибелік  аэродинамикадағы 
2
1
2
1


S
C
Q
x

 қарапайым  өрнегімен  салыстыра  отырып,  мынадай 
қорытындыға келеміз: 
S
C
k
x

2
1
1

.   
 
 
 
(72) 
(72)-ші  өрнектегі 
x
С
–кедергінің  аэродинамикалық  коэффи-
циенті, 

–қалыпты  жағдайдағы  техникалық  бірліктер  жүйесінде 
4
2
125
,
0
м
с
кГ

 шамаға  тең  болатын  ауаның  тығыздығы  және  S–
сипаттамалық аудан. 
(72)-ші  өрнекті  қолдана  отырып,  шекті  жылдамдықты  келесі 
түрде жазуға болады: 
gS
C
V
P
x
r



0
*
2

.                                        (73) 
Мысалы, 
егер 
,
8
1
,
005
,
0
,
6
,
/
2000
,
3000
4
2
2
0
м
с
кГ
С
м
S
c
м
V
кГ
P
x
r







 
2000
1
,
/
10
2



с
м
g
 (

 параметрінің мәнін біз келесі ойларға негізделіп 
алдық:  жану  1200с  созылады,  осы  уақытта  1800кГ  жанармай  жанып 
кетеді) болса, онда 
с
м/
400
*


 
немесе,  басқаша  айтқанда,  дене  1400км/сағ  шекті  жылдамдыққа  ие 
болады. 
Массасы айнымалы нүкте жылдамдығы 
*

 мәніне жетуге қажет 
*
t
 
уақытты есептейік. 
*

 жылдамдықты анықтау дәлдігін 4% деп алайық, 
онда (60)-шы өрнектен келесі шығады:  
96
,
0
1
1



n
n
f
f
. 

 
168 
Бұл өрнекті 
n
f
 шамасына қатысты шешетін болсақ, онда  
49
1
)
1
(
*



n
n
t
f

. 
Біз қарастырған дербес мысал үшін  
10
2
2
0


P
gSV
C
n
r
x


, 
сондықтан 
5
10
*
7
1
49
1
)
1
(



t

, 
осыдан 
с
t
644
7
1
1
1
5
*










. 
Сонымен,  егер  жылдамдықты  өлшейтін  құралдың  дәлдігі  4% 
болса,  онда  644с  уақыттан  кейін  ол  тұрақты  қозғалыс  жылдамдығын 
көрсетеді. 
(60)-шы  өрнекке  негізделе  отырып,  арақашықтықтың  өзгеру 
заңын анықтауға болады. Шынында да, 
n
n
f
f
dt
df
df
ds
dt
ds




1
1
*

, 
осыдан 






f
n
n
f
df
f
s
1
*
1
1


                                      (74) 
немесе 







1
*
*
1
2
1
f
n
f
df
f
s




. 
Кез-келген n үшін 


1
1
f
n
f
df
 
интегралы  белгілі  функциялар  арқылы  есептелмейтіндігі  белгілі.  Біз 
бұл  интегралды,  интеграл  астындағы  функцияны  қарапайым 
функциялармен алмастырып, жуықтап шешеміз. Сонда  
1
2
1
1
1
1




n
n
f
f
. 
Сонымен, ізделінді интегралдың жуық мәні мынаған тең: 
)
1
(
)
1
(
2
)
2
1
1
(
2
1
2
*
*
1
1
*
1
*
n
n
f
f
n
f
n
f
df
f
f
df


















. 
Қарастырып  отырған  есеп  үшін  нүктенің  өтетін  жолын  келесі 
түрде жазамыз. 

 
169 
)
1
(
)
1
(
*
*
n
f
n
f
s








.                                (75) 
Масса  қоры  берілген  болсын,  онда  активті  аймақтың  соңында 
f=f
Е
= const; сонымен қатар  



k
V
r

*
, 
.
2
1
2
*
k
kV
k
V
n
r
r







 
Сондықтан  s  жолды 

 параметрінің  функциясы  ретінде  келесі  түрде 
жазуға болады: 
)
1
(
2
1
)
1
(
n
r
f
k
f
k
V
s







.                             (76) 
Масса кемитін жағдайда f
Е
<1 болатындықтан, 
)
1
(
2
1
0
n
f
k
s



 
шамасы меншікті секундтық шығын 

 пен 0 аралығында өзгергенде 0 
мен 
k
2
1
 аралығында  өзгере  алады. 


0
s
s

 шамасы 

 артқанда 
монотонды азаяды. 
)
(

s
s

 функциясының  да 

 артқанда  монотонды  азаятындығын 
көрсетуге болады. Шынында да, s жолдан 

 бойынша  туынды  алсақ, 
онда 


.
ln
1
2
1
3
E
n
r
f
f
f
k
V
d
ds








. 
0-ден 

-ке  дейін  аралықтағы 

-ның  кез-келген  мәні  үшін 

d
ds
 
туындысы  теріс  екенін  дәлелдеу  үшін  квадрат  жақшаның  ішінде 
тұрған өрнектің оң екенін дәлелдесек жеткілікті.  
Есептің  шарты  бойынша 
E
f
-дұрыс  бөлшек.  Оны 
y
f
E
1

 деп 
алайық,  мұндағы  y>1;  n  көрсеткіші  0-ден 

-ке  дейін  өзгере  алады, 
егер  меншікті  секундтық  шығын 

-тен  0-ге  дейін  өзгерсе.  Жаңа 
белгілеулерді енгізе отырып, келесіні аламыз: 
)
ln
1
1
1
(
)
ln
1
(
y
y
y
f
f
f
Z
n
E
n
E
E






. 
)
1
(
ln


y
y
  немесе  
1


y
e
y
                              (77) 
болғандықтан, 

 
170 
)
ln
1
1
1
(
)
ln
1
1
1
(
y
y
y
y
y
y
n





 
және  
0
]
ln
)
1
[(
1



y
y
y
. 
болады. 
(77)-ші  теңсіздік  әрқашан  орындалады;  сондықтан 
0

Z
 (теңдік 
жағдайы 
0


 болғанға  сәйкес  келеді),  осыдан 
0


d
ds
;  осы  арқылы 
)
(

s
s

 –  монотонды  кемитін  функция  екені  дәлелденеді. 
0


 
болғандағы интервал шекарасында s өзінің ең үлкен мәніне жетеді. 
(76)-шы өрнектен 
0


 болғанда 


s
 болатынын көреміз. 
Сонымен,  егер  массасы  айнымалы  нүктенің  түзу  сызықты 
қозғалысы  екі  күштің,  яғни  реактивті  және  ортаның  кедергі 
күштерінің  әсерінен  болса,  онда  ең  оңтайлы  меншікті  шығын 
шексіз аз болу керек. 
Осы 
парадокстық 
нәтижені 
массасы 
тұрақты 
нүкте 
динамикасының  қарапайым  мысалы  арқылы  түсіндіруге  болады. 
Келесі  есепті  қарастырайық:  «Кедергісі  жылдамдықтың  квадратына 
пропорционал болатын ортада абсолют тегіс жазықтық бетінде нүкте 
түзу  сызықты  қозғалсын  және  бастапқы  жылдамдығы 
0

 болсын. 
Нүкте толық тоқтағанға дейінгі жолды табу керек».  
Массасы  М
0
  болатын  нүктенің  қозғалыс  теңдеуін  Ньютонның 
екінші заңына негізделіп келесі түрде жазуға болады: 
2
1
0


k
dt
d
M


 
немесе 
kdt
d


2


,                                          (78) 
мұндағы                                           
0
1
M
k
k

. 
(78)-ші  өрнекті  бір  рет  интегралдасақ  және  t=0  болғанда 
0



 
болатынын ескерсек, онда 
kt


0
1
1


. 
Екінші  рет  интегралдасақ,  онда  арақашықтықты  уақыт 
функциясы ретінде анықтаймыз: 
2
0
)
1
ln(
1
C
kt
k
s




. 

 
171 
t=0  болғанда  s=0  шартынан 
2
С
 тұрақты  шаманы  анықтаймыз; 
нәтижесінде келесі шығады: 
)
1
ln(
1
0
t
k
k
s



. 

 мен  s  шамаларына  арналған  өрнектерден 


t
жағдайда 



s
,
0

 болатынын  оңай  көруге  болады.  Егер  ортаның  кедергі 
күштері  жылдамдық  азайғанда  жеткілікті  тез  кемісе,  онда 
2
0
0
2
1

M
T

 
кинетикалық энергияның бастапқы қоры нүкте шексіз үлкен жол жүру 
үшін жеткілікті. 
(76)-шы  өрнекпен  анықталатын  массасы  айнымалы  нүкте 
қозғалысының заңымен сәйкестік жүргізе отырып массасы айнымалы 
нүкте  үшін 
0
Т
 бастапқы  кинетикалық  энегияның  рөлін  жанармай 
қорының энергиясы атқарады деп айта аламыз, себебі 
1
t

 шекті шама 
және  ажыратылатын  бөлшектердің  салыстырмалы  жылдамдығы  0-ге 
тең емес. 
Тәжірибелік  көзқарас  бойынша  алынған  нәтижеден  келесі 
қорытынды жасауға болады: сыртқы күштердің жалпы балансында 
ортаның  кедергі  күштерінің  мәндері  неғұрлым  үлкен  болса,  түзу 
сызықты  қозғалыстың  ең  үлкен  жолын  қамтамасыз  ететін 
жанармайдың оңтайлы шығыны соғұрлым кем болады. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
172 
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 
 
1. Айзерман  М.А.  Классическая  механика.  –  Москва:  Просвеще-ние,  1974  – 
367.  
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механи-ки. – Москва: 
Наука, 1980 – 552. 
3. Арцимович  Л.А.,  Лукьянов  С.Ю.  Движение  заряженных  частиц  в 
электрических магнитных полях. – Москва: Наука, 1972 – 486. 
4. Ветчинкин В.П. Вертикальное движение ракет. Избранные труды, т.І. 
5. Голубева  О.В.  Теоретическая  механика  //  Учебное  пособие  для  вузов.  – 
Москва: Высшая школа, 1976 – 350. 
6. Гольдстейн Г. Классическая механика. – Москва: Наука, 1980 – 552. 
7. Гурин  А.И.  Основы  механики  тел  переменной  массы  и  ракетодинамики, 
ч.І. 
8. Егоров  В.А.  О  решении  одной  вырожденной  вариационной  задачи  и 
оптимальном объеме космической ракеты, т. ХХІІ. 
9. Жирнов Н.И. Классическая механика. – Москва: Просвещение, 1982 – 302. 
10. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика. – Москва: Наука, 1973 – 455. 
11. Некрасов А.И. Курс теоретической механики, т.І. 
12. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет, т.Х. 
13. Терлецкий  Я.П.  Теоретическая  механика  //  Учебное  пособие  для 
университетов. – Москва: Издат. Университета дружба народов, 1987. – 158. 

 
173 
МАЗМҰНЫ 
 
І тарау 
 
Кіріспе  ............................................................................................... 3 
§1. Классикалық механика пәні және бөліктері  ............ 3 
§2. 
Классикалық 
механикада 
қарастырылатын 
денелер моделі  ............................................................................. 4 
§3. Кеңістік пен уақыт туралы ұғым  ............................................................................. 4 
§4. Санақ жүйесі  ............................................................................................................. 5 
 
 
ІІ тарау 
КИНЕМАТИКА 
БөЛШЕКТЕРДІҢ КИНЕМАТИКАЛЫҚ СИПАТТАМАСЫН АНЫҚТАУ 
ӘДІСТЕРІ 
 
§1. Векторлық әдіс  ...................................................................... 7 
§2. Декардтық координат әдісі  .............................................. 9 
§3. Цилиндрлік координат әдісі  .................................................................................. 10 
§4. Сфералық координат әдісі  ..................................................................................... 12 
§5. Табиғи әдісі  ............................................................................................................. 13 
§6. Қатты денелердің ілгерілемелі қозғалысы  .......................................................... .17 
§7. Қатты денелердің айналмалы қозғалысы.  
      Лездік бұрыштық жылдамдық  .............................................................................. 19 
§8. Материалдық нүктенің бір санақ жүйесінен  
      екінші санақ жүйесіне өткендегі жылдамдық 
      пен үдеу векторларының өзгерістері  .................................................................... 20 
 
 
ІІІ тарау 
НЬЮТОН МЕХАНИКАСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ 
 
§1. Күш және масса туралы түсінік.........................................................25 
§2. Ньютон заңдары..................................................................................27 
§3. Инерциялдық санақ жүйесі.  
      Галилейдің салыстырмалылық  принципі........................................28 
§4. Механикалық жүйе қозғалысының теңдеуі......................................30 
§5. Динамиканың негізгі есептері және оның алғы шарттары 

 
174 
      Классикалық механиканың себептік принципі  ................................................... 31 
 
 
IV 
тарау 
БӨЛШЕКТЕР ДИНАМИКАСЫ.  
ДИНАМИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ТЕОРЕМАЛАРЫ 
 
§1. Нүктенің қозғалыс мөлшері (импульс), қозғалыс мөлшерінің  
      моменті (импульс моменті) және кинетикалық энергиясы  ................................ 36 
§2. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгерісі туралы теорема  ................................... 38 
§3. Нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің  
      өзгерісі туралы теорема  ......................................................................................... 39 
§4. Нүктенің кинетикалық энергиясының  
      өзгерісі туралы теорема  ......................................................................................... 40 
§5. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің, қозғалыс мөлшері моментінің 
      және кинетикалық энергиясының сақталу заңдары  ............................................ 41 
 
 
V 
тарау 
БөЛШЕКТЕР Ж‡ЙЕСІНІҢ ДИНАМИКАСЫ 
 
§1. Қозғалыстың дифференциалдық теңдеуінің бірінші  
      және екінші интегралы туралы түсінік  ................................................................. 42 
§2. Күш жұмысы. Күш өрісінің потенциалдылығы  
      және потенциалдық энергия  .................................................................................. 43 
§3. Механикалық энергияның сақталу заңы және  
      оның уақыттың біртектілігімен байланысы  ......................................................... 48 
§4. Консервативті емес жүйенің кинетикалық 
      энергиясының өзгерісі туралы теорема  ................................................................ 50 
§5. Тұйық механикалық жүйе импульсының сақталу заңы.  
     Оның кеңістіктің біртектілігімен және  
     Ньютонның III-ші заңына байланыстылығы  ........................................................ 52 
§6. Тұйық емес жүйе импульсының өзгерісі туралы теорема .................................. 54 
§7. Сыртқы күштер өрісінің симметриялылығы және тұйық емес  
      жүйе импульсының кейбір құраушыларының  
      сақталуы туралы теорема  ....................................................................................... 55 
§8. Бір санақ жүйсінен екінші санақ жүйесіне өткен кездегі 
      механикалық жүйенің импульс векторының өзгерісі. 
      Инерция центрі  ....................................................................................................... 56 
§9. Механикалық жүйенің инерция центрінің  
      қозғалысы туралы теорема. Кенига теоремасы  ................................................... 58 
§10. Тұйық механикалық жүйе үшін импульс моментінің  
        сақталу заңы, оның кеңістіктің изотроптық қасиеті мен және  
        Ньютонның III-ші заңымен байланысы  ............................................................. 59 
§11. Тұйық емес механикалық жүйенің импульс моментінің  
        өзгерісі туралы теорема  ....................................................................................... 62 
§12. Сыртқы күштер өрісінің симметриялылығы және тұйық емес  
        жүйенің импульс моменті векторының  

 
175 
        кейбір құраушыларының сақталуы туралы теорема  ......................................... 63 
 
 
VI 
тарау 
АНАЛИТИКАЛЫҚ МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ 
 
§1. Байланыстар және олардың классификациясы.  
      Жүйенің еркіндік дәрежесі. Белсенді күштер және  
      байланыстар реакциясының күші  ......................................................................... 66 
§2. Байланысқан механикалық жүйелер 
      қозғалысының жалпы теңдеуі  ............................................................................... 69 
§3. Виртуальды орын ауыстыру және идеалдық байланыстар  
      анықтамалары (идеалдық байланыстар постулаты)  ............................................ 70 
§4. Виртуальдық орын ауыстыру принципі  ............................................................... 73 
§5. Еркін емес механикалық жүйенің тепе-теңдік шарттары.  
      Жалпыланған координаттар және жалпыланған күштер  ................................... 75 
§6. Лагранж теңдеуінің екінші түрі  
      (Даламбер принципі бойынша қорытып шығару)  ............................................... 79 
§7. Лагранж функциясы және әсер функциясы  ......................................................... 82 
§8. Лагранж функциясының энергияның  
      сақталу заңымен байланысы .................................................................................. 83 
§9. Механикалық жүйенің жалпыланған  
      импульсі және циклдік координаттары  ................................................................ 85 
§10. Функционал туралы ұғым және оның бірінші вариациясы  ............................. 86 
§11. Экстремальдық әсер принципі 
        (Остроградский – Гамильтон принципі)  ............................................................ 90 
§12. Лагранж теңдеулерін экстремалдық әсер 
         принципі  бойынша қорытып шығару  .......................................... 93 
§13. Вариациялық интегралдық принцип  .............................................. 94 
§14. Гамильтон теңдеулері және Гамильтон функциясы.  
        Гамильтон теңдеулерін экстремальдық әсер принципінен  
        қорытып шығару  .............................................................................. 96 
§15. Гамильтон теңдеулерін интегралдау әдістері. 
        Пуассон жақшасы  ........................................................................... 102 
 
 
VIІ 
тарау 
ОРТАЛЫҚ-СИММЕТРИЯ ӨРІСІНДЕГІ ҚОЗҒАЛЫС 
 
§1. Бір өлшемді (жинақы) эффективті потенциал  ................................................... 105 
§2. Орталық-симметрия өрісіндегі қозғалысты сапалы зерттеу  ............................ 109 
§3. Кеплер есебі  .......................................................................................................... 115 
§4. Рунге-Ленц векторы және Кулондық өрістің  
     «жасырын» симметриясы  ..................................................................................... 120 
 
 

 
176 
VIIІ 
тарау 
БӨЛШЕКТЕРДІҢ ШАШЫРАУЫНЫҢ 
КЛАССИКАЛЫҚ ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ 
 
§1. Бөлшектің шашырауы туралы есептің қойылымы  ............................................ 124 
§2. 

-бөлшектердің шашырауының тиімді қимасы  .............................................. 125 
§3. Ұшып келген және бастапқыда тыныштықта болған  
      бөлшектердің шашырауының эффективті қимасы  ................ 128 
§4. Шашырау теориясының кері есебі  ...................................................................... 130 
§5. Резерфорд формуласы  .......................................................................................... 133 
§6. Күштік центрмен бөлшектерді басып алу қимасы  ............................................ 136 
 
 
ІХ тарау 
МАССАСЫ АЙНЫМАЛЫ НҮКТЕ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ 
НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІ 
 
Кіріспе  ..................................................................................................... 140 
§1. Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы  ..................................... 142 
§2. Күштердің тәуелсіз әсерінің заңы  ....................................................................... 144 
§3. Мещерский теңдеуі  .............................................................................................. 146 
§4. Қозғалыстың скаляр теңдеулері  .......................................................................... 148 
 
 
Х тарау 
ЦИОЛКОВСКИЙДІҢ ЕКІ ЕСЕБІ 
 
§1. Циолковскийдің бірінші есебі. циолковский өрнегі  .......................................... 153 
§2. Массаның өзгеру заңдары .................................................................................... 155 
§3. Циолковскийдің екінші есебі  ............................................................................... 157 
§4. Циолковский  есептеріндегі қозғалыстың 
      оңтайлы режімдері  ................................................................................................ 159 
§5. Кедергісі квадраттық заңмен өзгеретін ортадағы  
      массасы айнымалы нүктенің қозғалысы  ............................................................. 164 
 
Қолданылған әдебиеттер  ......................................................................................... 171 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
177 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Қайырбаев Қ.Қ. 
 
КЛАССИКАЛЫҚ МЕХАНИКА НЕГІЗДЕРІ 
Оқулық 
 
Басуға қол қойылды 08.02.2006. 
Гарнитура Times. Форматы 29,7

42
2
1
. Офсеттiк қағазы. 
Көлемi 6,2 шартты б.т. Таралымы 300 дана. 
Тапсырыс № 0063. 
 
Павлодар мемлекеттiк педагогикалық институтының 
редакциялық-баспа бөлiмi 
140000, Павлодар қ., Мир көшесi, 60 
E-mail: rio@ppi.kz