§3. Виртуальды орын ауыстыру және идеалдық байланыстар

 
72 
 
Жүйе 
нүктелерінің 
ықтималдық 
және 
шын 
орын 
ауыстыруларының  арасындағы  айырмашылықты  мынандай  мысал 
арқылы  түсіндіруге  болады.  Материалдық  нүкте  белгілі  бір  бетте 
қозғалатын  болсын,  сонда  оның  ықтималдық  орын  ауыстыруы  осы 
бетке  жанама  жазықтықта  жатады  да,  солардың  ішіндегі  біреуі,  атап 
айтқанда  нүктенің  траекториясына  жүргізілген  жанаманың  бойымен 
бағытталған  ықтималдық  орын  ауыстыруы  шын  орын  ауыстыру 
болады. 
 
Енді кез келген нүктенің шексіз аз қашықтықта жатқан 
i
r


 және 
i
r


/
  екі  ықтималдық  орын  ауыстыруларын  қарастырайық.  Осындай 
орын  ауыстырулардың    айырмасын  нүктенің  виртуальды  орын 
ауыстыруы деп атайды да оны 
i
r


 деп белгілейді.  
i
i
i
r
r
r







'

.                                           (7) 
 
Нүктенің 
i
r


/
  және 
i
r


 ықтималдық  орын  ауыстырулары  үшін 
(6)  –қатысты  жазып,  шыққан  өрнектің  біріншісінен  екіншісін  алсақ, 
онда 
0
1





n
i
i
i
r
r
f




,          (α = 1,2,…, k).                            (8) 
 
Егер  жүйеге  түсірілген  байланыс  стационарлық  болса 









0
t
f

 
онда 
i
r


 ықтималдық  орын  ауыстыру  қанағаттандыратын  (6)  –қатыс 
мынандай түрге келеді; 
0
1







i
n
i
i
r
r
f



,       (α = 1,2,…, k).                            (9) 
 
Осы  (9)  және  (8)  -өрнектерді  салыстыра  отырып,  нүктенің 
виртуальды  орын  ауыстыруы,  жүйеге  түсірілген  стационарлық 
байланыстардың  әсерінен  болатын  ықтималдық  орын  ауыстыруға 
пара-пар  екендігін  көреміз.  Сондықтан,  нүктенің  виртуальды  орын 
ауыстыруы  тұрақты  уақыт  мезетіндегі  (t=тұрақты)  байланыстардың 
әсерінен  мүмкін  болатын  орын  ауыстыру,  ол  жүйеге  түсірілген 
күштердің  әсерінен  болмайды,  сондықтан  оның  ұзақтығы  да 
болмайды.  Стационарлық  байланыста  тұрған  жүйелер  үшін 
ықтималдық 
және 
виртуальдық 
орын 
ауыстырулардың 
мағынасы бірдей.  
 
Математика курстарынан белгілі, (7) -өрнекке ұқсас қатыстарды 
функцияның  вариациялары  дейді.  Сонда  (7)  -өрнектегі 
i
r


 жүйе 
нүктесінің 
i
r

 радиус-векторының  вариациясы  болады  да  оны  былай 
жазуға болады; 
i
i
i
i
z
к
y
j
x
i
r










.                                    (10) 

 
73 
Мұндағы  δx
i
,  δy
i
,  δz
i
  –  x
i
(t),  y
i
(t),  z
i
(t)  функцияларының 
вариациялары.  Сонда,  x
i
(t)  функциясының  δx
i
  вариациясы  деп  уақыт 
өзгерісіне тәуелсіз (t=тұр), нүктенің x
i
(t)  функциясына  жақын  жатқан 
x
i
/
(t)  функциясына  өткен  кездегі  орын  ауыстыруын  айтады.  x
i
(t) 
функциясының 
dx
i
 
дифференциалымен 
δх
i
 
вариациясының 
арасындағы айырмашылықты мына 21-суреттен көруге болады. Жүйе 
нүктелерінің 
координаттарын 
вариациялағанда, 
кез 
келген 


t
r
r
r
f
n
;
...,
,
2
1




 тәріздес  функциялардың  өсімшесі  пайда  болады. 
Сондықтан  (8)  –теңдіктің  сол  жағын 


n
r
r
r
f



,...,
,
2
1

 функциясының 
вариациясын  есептеу  ережесі  ретінде  қолдануға 
болады, яғни  




f
r
r
f
i
n
i
i








1
,          (α = 1,2,…, k).        (11) 
 
 Механикалық 
жүйенің 
i 
–нүктесіне 
түсірілген 
i
F

 белсенді 
күштер 
мен 
i
R

 
байланыстар 
реакциясы 
күшінің 
әсерінен 
нүктенің 
i
r


 виртуальдық  орын  ауыстыруы  кезіндегі  істелетін 
жұмысты,  виртуальдық  жұмыс  деп  атайды.  Ол 
F
A

 белсенді 
күштердің  виртуальды  жұмысы  және 
R
A

 байланыстар  реакциясы 
күштерінің виртуальды жұмыстарының қосындысына тең. 
δA= δA
F
 + δA
R
.                                          (12) 
Мұндағы 
,
1
i
n
i
i
F
r
F
A







 
 
i
n
i
i
R
r
R
A








1
                       (13) 
 
Виртуальдық  орын  ауыстыру  және  байланыстар  реакциясы 
күшінің  виртуальды  жұмысы  туралы  ұғымды  пайдаланып  идеалдық 
байланыстың анықтамасын былай беруге болады; 
 
Жүйенің  кез  келген  виртуальдық  орын  ауыстыруында  барлық 
байланыстар  реакциясы  күшінің  виртуальдық  жұмыстарының 
қосындысы  нольге  тең  болса,  ондай  байланыстарды  идеалды  және 
ұстамды байланыстар деп атайды, яғни  
0
1





i
n
i
i
R
r
R
A




.                                         (14) 
Осы  тұжырымды  кейде  идеалдық  байланыстар  постулаты  деп  те 
атайды.  
 
Идеалдық  байланыстар  шарты  (14)-өрнекті  пайдаланып, 
голономдық  механкалық  жүйенің  қозғалысын  анықтайтын  теңдеулер 
жүйесін  алуға  болады.  Оны  (8)-өрнектен  нүктелердің  к  тәуелді 
координаттарының  вариацияларын  жою  арқылы  табуға  болады.  Ол 

 
74 
үшін  (8)-өрнектің  әрбір  мүшесін  белгісіз  (-λ
α
)  көбейтеміз  де  шыққан 
теңдіктерді (14)-теңдікпен қосамыз. Сонда,  
0
1
1














i
n
i
k
i
i
r
r
f
R








.                                    (15) 
Мұнда,  к-координаттар  вариациясы  тәуелді;  ал  қалған  (3n-k) 
координаттар вариациясы тәуелсіз. 
 
λ
α
  белгісіз  көбейткішті,  к  тәуелді  координаттар  вариациясының 
алдындағы  коэффициенттер  нольге  тең  болатындай  етіп  таңдап 
аламыз,  сонда  (15)-теңдеуде  тәуелсіз  координаттар  вариациясына 
байланысты    (3n-k) мүше қалады. Сондықтан (15)-теңдік орындалуы 
үшін 
тәуелсіз 
координаттар 
вариацияларының 
алдындағы 
коэффициенттер  нольге  тең  болуы  керек.  Осыдан  идеалдық 
байланыстар реакциясы күшін табамыз,  





k
i
i
r
f
R
1






, 
(i=1,2,…, n).                           (16) 
Осы  (16)-өрнекпен  анықталатын  байланыстар  реакциясы  күшінің 
мәнін (4)-өрнекке қойып, мынандай теңдеулер жүйесін аламыз,  




















.
,...,
2
,
1
,
0
;
,...,
,
.
,...,
2
,
1
,
2
1
1
k
t
r
r
r
f
k
i
r
f
F
r
m
n
a
k
i
a
i
i











                        (17) 
Осы  теңдеулер  жүйесі  Лагранж  теңдеулерінің  бірінші  түрі  деп 
аталынады.  Бұл  теңдеулердің  саны  (3n+k),  сондықтан  механикалық 
жүйе  нүктелерінің  3n  координаталарын  және  к  белгісіз  λ
α
 
көбейткіштерді анықтауға болады. 
 
§4. Виртуальдық орын ауыстыру принципі 
 
 
Виртуальдық  орын  ауыстыру  принципі,  идеалдық  және 
стационарлық  байланыстардың  әсеріндегі  голономдық  механикалық 
жүйенің тепе-теңдік шарттарын қарастырады. Бұл принципті былай 
тұжырымдауға болады. 
 
Голономдық,  идеалдық,  стационарлық,  және  ұстамды 
байланыстағы  механкалық  жүйенің  тепе-теңдікте  болуы  үшін,  осы 
жүйеге  әсер  ететін  барлық  белсенді  күштердің  виртуальдық 
жұмыстарының қосындысы кез келген виртуальдық орын ауыстыруда 
нольге  тең    болуы  қажет  және  жеткілікті,  яғни  жүйе  тепе-теңдікте 
болады  сол уақытта, егер  
0
1



n
i
i
i
r
F



.                                             (18) 

 
75 
 
Ең  алдымен  (18)–шарттың  орындалуының  қажеттілігін 
дәлелдейік.  Ол  үшін  n  материалдық  нүктелер  жиынынан  тұратын 
механикалық жүйе тепе-теңдікте тұр деп есептейік. Сонда жүйенің кез 
келген  M
i
  нүктесіде  тепе-тендікте  болады,  басқаша  айтқанда  осы 
нүктеге әсер ететін 
i
F

 белсенді күштер мен 
i
R

 байланыстар реакциясы 
күшінің тең әсерлі күші нольге тең, 
0


i
i
R
F


,        (i = 1,2,… n).                                (19) 
Осы  теңдіктің  әрбір  мүшесін  нүктелер  радиус-векторларының 
i
r


 
вариациясына көбейтіп, шыққан теңдеулерді сәйкес қоссақ,  






n
i
n
i
i
i
i
i
r
R
r
F
1
1
0






.                                       (20)  
Идеалдық  байланыстар  постулаты  (14)  -өрнекті  ескерсек  (20)  -
өрнектен (18) –шарттың орындалуы қажет екендігі дәлелденеді.  
 
Енді (18)–шарттың орындалуы жеткілікті екенін дәлелдейік. 
Ол  үшін  қарастырылып  отырған  жүйе  (18)–шарттың  орындалуына 
қарамастан,  тепе-теңдік  қалпынан  шығып  қозғала  бастайды  деп 
жорамалдайық. Олай болса dt уақыт мезетінде нүктелердің шын орын 
ауыстырулары 
i
F

 белсенді  күштер  мен 
i
R

 байланыстар  реакциясы 
күштерінің 


i
i
R
F



 тең  әсерлі  күштерінің  бағыты  мен  бағыттас 
болады. Сондықтан,  






n
i
i
i
i
r
d
R
F
1
0



.                                        (21) 
 
Стационарлық  байланыстар  үшін 
i
i
r
r
d




 болатындықтан  (21)–
ші өрнекті былай жазамыз, 


0
1




i
n
i
i
i
r
R
F




. 
Идеалдық байланыстар постулаты бойынша 



n
i
i
i
r
R
1
0



. 
сондықтан, 
0
1



i
n
i
i
r
F



.                                             (22) 
Бұл (18)-шартқа қайшы келеді, сондықтан  біздің жорамалымыз 
дұрыс  болмағаны.  Сонымен  (18)–шарттың  орындалуы  голономдық 
жүйенің тепе-теңдігінің қажетті және жеткілікті шарты болады. 
 
Дербес  мысал  ретінде  виртуальдық  орын  ауыстыру  принципін, 
қарапайым  механикалық  жүйе,  еркін  материалдық  нүктенің  тепе-
теңдік  шартын  анықтау  үшін  қолданайық.  Бұл  жағдайда  (18)  -
өрнекпен анықталатын шартты былай жазамыз,  

 
76 
0



z
F
у
F
х
F
z
y
x



.                                          (23) 
 
Еркін  материалдық  нүктені  қарастырып  отырғандықтан,  оның 
координаттарының вариациялары бір-біріне тәуелсіз, сондықтан (23)–
теңдік  орындалуы  үшін  осы  тәуелсіз  вариациялардың  алдындағы 
коэффициенттер нольге тең болуы керек, 
F
x
 =0, F
y
 =0, F
z
 =0.                                           (24) 
Бұл  физикадан  белгілі  еркін  материалдық  нүктенің  тепе-теңдік 
шарты. 
 
§5. Еркін емес механикалық жүйенің тепе-теңдік шарттары.  
Жалпыланған координаттар және жалпыланған күштер 
 
 
Виртуальдық  орын  ауыстыру  принципі  бойынша  еркін  емес 
механикалық  жүйенің  тепе-теңдік  шарттарын  анықтау  үшін, 
жалпыланған  координаттар  және  жалпыланған  күштер  деген 
ұғымдар енгізу керек. 
 
Механикалық 
жүйенің 
жалпыланған 
(немесе 
тәуелсіз) 
координаттары деп, жүйенің кеңістіктегі орнын бір мәнді анықтайтын 
q
1
,  q
2
,  …,  q
s
  кез  келген  (3n-k)  шамаларды  айтады.  Жалпыланған 
координаттар  саны  S=3n–k    жүйенің  еркіндік  дәрежесіне  тең  болады 
да,  олардың  өлшем  бірліктері  кез  келген  болуы  мүмкін.  Механикада 
жалпыланған координаттар өлшем бірлігіне ұзындық өлшемін немесе 
өлшем бірлігі жоқ шаманы (бұрыштық айнымалылар) алады. 
 
Жалпыланған координаттар мынадай екі шартты  
қанағаттандырады:  
1.
 
Жүйе  нүктелерінің  декарттық  координаттары  және 
радиус-векторлары  жалпыланған  координаттарға  тәуелді  бір  мәнді 
функциялар  болуы  керек яғни, стационарлық емес байланыстар үшін 


t
q
q
q
r
r
s
i
i
;
,...,
,
2
1



,                                         (25) 
ал стационарлық байланыстағы жүйелер үшін,  


s
i
i
q
q
q
r
r
,...,
,
2
1



.                                          (26) 
2.
 
Жүйенің  жалпыланған  координаттары  оған  түсірілген 
байланыстармен  сыбайлас  болуы  керек.  Басқаша  айтқанда  (2)–
байланыстар 
теңдеуіндегі 
радиус-векторларды 
жалпыланған 
координаттармен алмастырғанда ол теңдеу нольге тең болуы керек. 
Енді  идеалдық,  стационарлық  және  голономдық  механикалық 
жүйенің тепе-теңдік шарттарын анықтауға көшейік. Ол үшін q
1
, q
2
, …, 
q
s
  жалпыланған  координаттары  белгілі  және  жүйенің  барлық 
нүктелерінің радиус-векторлары (26)  - өрнек сияқты анықталады деп 
есептейік.  Сонда  жүйенің  тәуелді  координаттар  вариациясын,  оның 

 
77 
тәуелсіз  δq
1
,  δq
2
,  …,  δq
s
  виртуальды  орын  ауыстырулары  арқалы 
былай  алмастыруға болады. 





s
i
i
q
q
r
r
1







,           (i=1,2,… n).                           (27) 
Осы  табылған  шамаларды  (18)  –  виртуальдық  орын  ауыстыру 
принципіне қойсақ,  
0
1
1








s
i
n
i
i
q
q
r
F






, 
қосындылардың орын ауыстырсақ,  
0
1
1









 


s
i
n
i
i
q
q
r
F






.                                  (28) 
Мұндағы  






















n
i
i
iz
i
iy
i
ix
i
n
i
i
q
z
F
q
y
F
q
x
F
q
r
F
Q
1
1







.                (29) 
(α=1,2,…, s). 
Q
α 
  тәуелсіз  жалпыланған  координаттарға  сәйкес  жалпыланған  күш 
деп атайды.  
 
Сонымен,  жалпыланған  координаттар    арқылы  (18)  – 
виртуальдық  орын  ауыстыру  принципін  (28)  және  (29)  өрнектерге 
сәйкес былай жазамыз, 



s
q
Q
1
0




.                                         (30) 
Мұндағы  δq
α
–виртуальды  орын  ауыстырулар  өзара  тәуелсіз 
болғандықтан,  (30)-өрнектегі  қосынды  нольге  тең  болуы  үшін, 
тәуелсіз  виртуальдық  орын  ауыстырулардың  алдында  тұрған  барлық 
коэффициенттер жеке-жеке нольге тең болуы қажет, яғни  
Q
α
 = 0,             (α=1,2,…, s).                               (31) 
Осы  (31)  -өрнекпен  берілген  теңдеуге  байланыстар  реакциясы 
күші 
кірмейді 
де, 
оны 
идеальдық 
және 
стационарлық 
байланыстардағы кез келген голономдық механикалық жүйенің тепе-
теңдігінің қажетті және жеткілікті шарты деп атайды. 
 
Мысал  ретінде,  механикалық  жүйеге  әсер  ететін  белсенді 
күштер потенциалды болатын дербес жағдайды қарастырайық, яғни  
i
i
r
U
F






,            (i =1,2,…, n).                             (32) 
Мұндағы 


n
r
r
r
U
U



,...,
,
2
1

 -жүйенің толық потенциалдық энергиясы.  
 
Осы 


n
r
r
r
U



,...,
,
2
1
 потенциалдық  энергияны  (26)  өрнекке  сәйкес 
q
1
,  q
2
,  …q
s
  жалпыланған  координаттарға  да  тәуелді  деп  есептеп 
туынды алатын болсақ, онда 

 
78 










n
i
i
i
q
r
r
U
q
U
1




.                                        (33) 
 
Осы  (33)  және  (32)  өрнектерді  пайдаланып,  (29)  өрнекпен 
анықталатын жалпыланған күшті былай анықтауға болады, 



q
U
q
r
r
U
Q
i
n
i
i















1
.                                  (34) 
 
Сондықтан,  (31)  -өрнекпен  берілген  тепе-теңдік  шарттарын 
мына түрде жазуға болады: 
0
...
2
1










s
q
U
q
U
q
U
.                                   (35) 
Осыдан мынадай қорытынды шығады: 
 
Потенциалдық күштер өрісінде тұрған механикалық жүйе тепе-
теңдікте  тұруы  үшін,  оның  потенциалдық  энергиясы  белгілі  бір 
стационарлық мәндер қабылдауы қажет.  
 
Осы  (35)  –теңдеулер  жүйесін  шешіп,  механикалық  жүйенің 
бірнеше  тепе-теңдік  орындарда  тұратындығын  табуға  болады, 
басқаша  айтқанда,  потенциалдық  энергияның  стационарлық  күйлері 
сәйкес  келетін  жалпыланған  координаттардың  бір  немесе  бірнеше 
мәнін  q
0
  (q
10
,  q
20
,  …q
s0
)  табамыз.  Бұл  потенциалдық  энергияның  ең 
кіші  немесе  ең  үлкен  мәндері  болуы  міндетті  емес,  үйткені  (35)  көп 
айнымалыдан тәуелді функцияның экстремумын зерттеудің жеткілікті 
шарты емес, тек қана қажетті шарты.  
 
Тепе-теңдік  күйдің  төрт  түрі  болады:  орнықты,  орнықсыз, 
талғамсыз және ертоқым тәріздес.  
 
Тепе-теңдік  күйінің  орнықты  түріне  потенциалдық  энергияның 
ең  аз  мәні  сәйкес  келеді.  Егер  тепе-теңдік  қалыпта  тұрған 
механикалық жүйені бір аз шамаға орын ауыстырғанда пайда болатын 
күш бұрынғы тепе-теңдік қалпына қарай бағытталатын болса, жүйенің 
ондай тепе-теңдік күйін орнықты деп атайды.  
 
Тепе-теңдік күйінің орнықсыз түріне потенциалдық энергияның 
ең  көп  мәні  сәйкес  келеді.  Егер  тепе-теңдік  қалыпта  тұрған 
механикалық жүйені бір аз шамаға орын ауыстырғанда пайда болатын 
күш  жүйені  осы  тепе-теңдік  қалпынан  алыстатуға  бағытталатын 
болса, жүйенің ондай тепе-теңдік күйін орнықсыз деп атайды.  
 
Егер тепе-теңдік қалыпта тұрған механикалық жүйені кез келген  
бағытқа  орын  ауыстырған  кезде  оның  потенциалдық  энергиясы 
өзгермейтін  болса,  жүйенің  ондай  тепе-теңдік  күйін  талғамсыз  деп 
атайды. Механикалық жүйенің талғамсыз тепе-теңдік күйінің мысалы 
ретінде,  горизонталь  жазықтықта  жатқан  біртекті  шарды  алуға 
болады.  

 
79 
 
Егер механикалық жүйенің тұрған тепе-тендік күйінің орнықты 
немесе  орнықсыз  болуы,  осы  қалыптан  жүйені  орын  ауыстыру 
бағытына  байланысты  болса,  жүйенің  ондай  тепе-теңдік  күйін 
ертоқым тәріздес деп атайды. 
 
Механикалық  жүйенің  тұрған  орны  тепе-теңдік  күйінің  қай 
түріне жататынын анықтау үшін, осы орынның айналасында U=U(q
1
, 
q
2
,…, q
s
) потенциалдық беттің түрін анықтау қажет. Мына төменгі 22-
суреттерде,  мысал  ретінде  еркіндік  дәрежесі  S=2  тең  механикалық 
жүйенің әртүрлі тепе –теңдік күйлеріне сәйкес келетін потенциалдық 
беттері көрсетілген. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
80 
а)  –орнықты,  б)  –ор-
ықсыз,  в)  –талғамсыз, 
тепе-теңдік күйлері, г) 
ертоқым 
тәріздес 
тепе-тендік  түрі,  мұн-
ағы АА –орнықты, ВВ 
–орнықсыз және СС  –
талғамсыз  тепе-тендік 
түрлеріне  сәйкес  ке-
еді. 
 
 
 
 
 
 
 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: