§8. Бір санақ жүйсінен екінші санақ жүйесіне өткен кездегі

 
58 
 
 



n
1
i
i
m
M
 -  қарастырылып  отырған  механикалық  жүйенің 
массасы, ал 
/
/
/
0
n
1
i
i
0
0
V
M
m
V
P








.                                    (48) 
(48)  -  қарастырылып  отырған  механикалық  жүйенің  К
/
  санақ 
жүйесінің бас нүктесіне қатысты импульс векторы. 
Осы белгілерді пайдаланып (*) теңдеуді, былай жазамыз 
/
0
/
V
M
P
P





.                                          (49) 
 
Қарастырылып  отырған  қандай  да  болмасын  механикалық 
жүйенің  ішінде  бір  жалғыз  нүкте  болады,  оны  С  әрпімен  белгілейік. 
Егер  осы  нүктеге  қозғалмалы  К
/
  санақ  жүйесінің  бас  нүктесін 
орналастырсақ, онда 
0
P
/


. 
 
Осы  нүктені  механикалық  жүйенің  инерция  центрі  немесе 
массалар  центрі  деп  атайды,  ал  жылжымалы  санақ  жүйесін 
центральный  немесе  Ц-санақ  жүйесі  деп  атайды.  Сонымен  (49)-ші 
өрнекті былай жазуға болады, 


0
P
V
M
P
c
/
c






.                                       (50) 
осыдан  




n
1
i
i
i
c
m
M
1
M
P
V




.                                       (51) 
 
Бұл  теңдік  механикалық  жүйенің  инерция  центрінің  қозғалыс 
жылдамдығын  анықтайды.  Осы  өрнектен  мынандай  қорытынды 
шығады:  тұтас  механикалық  жүйенің  ілгерілемелі  қозғалысы  оның 
инерция центрінің қозғалысына пара-пар. 
 
(51)-ші 
өрнекпен  берілген  жүйенің  инерция  центрінің 
қозғалысын дифференциал түрінде жазып, шыққан өрнектен интеграл 
алатын  болсақ,  онда  механикалық  жүйенің  инерция  центрін 
анықтайтын радиус-векторды былай табамыз; 
dt
r
d
m
M
1
dt
R
d
i
n
1
i
i
c





. 
 
Осы  теңдеуді  интегралдау  арқылы  инерция  центрінің  радиус-
векторын Л-жүйесінде анықтайтын өрнекті табамыз, 





n
1
i
i
n
1
i
i
i
c
m
r
m
R


.                                            (52) 
Осы  (52)-ші  өрнек  механикалық  жүйенің  инерция  центрінің 
немесе массалар центрінің координаттарын анықтайды. 

 
59 
§9. Механикалық жүйенің инерция центрінің  
қозғалысы туралы теорема. Кенига теоремасы 
 
 
Механикалық  жүйенің  инерция  центрі  туралы  ұғымды 
енгізгеннен  кейін  және  осыған  байланысты  (50)-ші  өрнек  бойынша 
импульс  векторын  анықтауға  болатындықтан  6-ші  тақырыпта 
көрсетілген тұйық емес жүйенің импульс векторының өзгеруі туралы 
теорема 
 



n
1
i
e
i
F
dt
P
d


                                           (42) 
былай жазылады, 
 



n
1
i
e
i
c
F
dt
V
d
M


.                                       (53) 
 
Осы  (53)-ші  өрнекті  механикалық  жүйенің  инерция  центрінің 
қозғалысын  анықтайтын  теорема  деп  атайды.  Бұл  теореманы  былай 
тұжырымдауға болады: Механикалық  жүйенің  инерция  центрінің 
қозғалысын, массасы қарастырылып отырған жүйенің  масассына тең 
және осы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің геометриялық 
қосындысына  тең  күштің  әсерінен  болатын  бір  фиктивті  нүктенің 
қозғалысындай  деп  қарастыруға  болады.  Егер  сыртқы  күштердің 
геометриялық  қосындысы  0-ге  тең  болса, 
 
0
F
n
1
i
e
i




 онда  (53)  -ші 
өрнектен 
,
const
V
c


 
бұдан механикалық жүйеге әсер ететін ішкі күштер жүйенің қозғалыс 
жылдамдығын өзгерте алмайтындығын көреміз. 
Механикалық  жүйенің  инерция  центрі  туралы  ұғымды  енгізуге 
байланысты,  жүйенің  кинетиклық  энергиясының  өзгерісі  туралы 
мынандай  бір  ерекше  теорема  дәлелдеуге  болады.  Оны  Кенига 
теоремасы дейді. 
 
Бұл  теорема  бойынша  механикалық  жүйенің  кинетикалық 
энергиясын  екі  түрлі  кинетикалық  энергияның  қосындысы  түрінде 
қарастыруға  болады.  Оның  біріншісі  -  тұтас  жүйенің  ілгерілемелі 
қозғалысының  кинетикалық  энергиясы,  екіншісі  -  жүйені  құрайтын 
бөлшектердің  бір-біріне  қатысты  қозғалысы  кезінде  пайда  болатын 
энергия, 
 




n
1
i
2
/
i
i
2
c
k
2
m
2
MV
E

.                                (54) 
 
Бұл  теореманы  дәлелдеу  үшін  Ц-жүйесіне  қатысты  жазылған 
(47)-ші  өрнекті  пайдаланып  қарастырылып  отырған  механикалық 

 
60 
жүйенің  толық  кинетикалық  энергиясын  есептесек  жеткілікті. 
Шынында да 


 
















n
i
n
i
i
c
n
i
i
i
c
n
i
i
i
n
i
c
i
i
i
i
k
m
V
m
V
m
V
m
m
E
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2











. 
Мұндағы Ц-жүйесіне қатысты 
0
m
n
1
i
i
i
/





, 
M
m
n
i
i



1
. 
Сондықтан  
 




n
1
i
2
i
i
2
c
k
2
m
2
MV
E

.                                  (54) 
Теорема дәлелденді. Егер осы Кенига теоремасын ескерсек, онда 
кез  келген  механикалық  жүйенің  толық  энергиясын  былай  жазуға 
болады, 
iш
c
n
k
E
MV
E
E
E




2
2
.                           (55) 
Мұндағы 
 








n
i
n
j
ij
n
i
i
i
ішкі
U
m
E
1
1
1
2
2
1
2

.                              (56) 
 
Кванттық  механика  курсын  оқыған  кезде  ұсақ  бөлшектердің 
толық энергиясының үздіксіз болмай, үзілісті болатындығын көреміз. 
Сонда  ұсақ  бөлшектердің  толық  энергиясының  үзілісті  болуы  осы 
(56)-ші  өрнекпен  анықталынған  ішкі  энергияның  үзілісті  болуының 
салдарынан болады. 
 
§10. Тұйық механикалық жүйе үшін импульс моментінің сақталу 
заңы, оның кеңістіктің изотроптық қасиеті мен және  
Ньютонның III-ші заңымен байланысы 
 
 
Тұйық механикалық жүйенің қозғалысы кезінде, оның қозғалыс 
мөлшерінің  моменті  (импульс  моменті)  сақталады.  Импульс 
моментінің  бұл  сақталу  заңы  кеңістіктің  изотроптық  қасиетінің 
салдарынан  болады,  басқаша  айтқанда  кеңістікте  тұтас  механикалық 
жүйені  кез  келген  бағытқа  бұрған  кезде,  жүйенің  механикалық 
қасиеттерінің  өзгермеуіне  байланысты,  (оның  ішінде  потенциалдық 
энергиясы да өзгермейді). 
 
Тұтас механикалық жүйені кез келген Δφ -бұрышқа бұру үшін, 
ол 2-тараудағы, 7-тақырыпта қарастырған қатты денелердің белгілі бір 
тұрақты  осьтен  айналғаны  тәрізді.  Сондықтан  сол  тақырыпта 
айтылғанды  ескере  отырып  қарастырылып  отырған  механикалық 

 
61 
жүйені 



 бұрышына  бұрған  кезде,  оның  әрбір  нүктесінің  радиус-
векторы мынандай өсімше алатындығын көреміз, 


i
i
r
r








.                                          (57) 
 
Механикалық  жүйені 



 -бұрышына  бұрған  кезде  оның 
потенциалдық  энергиясы  өзгеретін  болса,  онда  ол  өзгерісті  былай 
табамыз: 
 
 
 
 









































n
i
i
i
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
i
r
U
r
r
r
U
r
r
U
U
U
1
1
1










. 
 
Кеңістіктің 
изотроптық 
қасиеті 
бойынша, 
жүйенің 
потенциалдық энергиясы өзгермейді, яғни ΔU=0. Сондықтан,  
 
0
r
U
r
n
1
i
i
i
i























. 
Осыдан  



 нольге тең болмағандықтан, 
 


















n
i
i
i
i
r
U
r
1
0


.                                       (58) 
Енді  тұйық  жүйе  қозғалысын  анықтайтын  дифференциалдық 
тендеуді жазайық: 
 
i
i
i
r
U
dt
P
d






. 
 (i=1,2,… n),                               (59) 
Осы  тендеудің  екі  жағын  массасы  m
i
  -нүктені  анықтайтын 
i
r

 радиус-
векторға векторлық түрде көбейтсек, 
 
























i
i
i
i
i
r
U
r
dt
P
d
r




. 
(i=1,2,… n),                      (60) 
Осы  теңдеуді  әрі  қарай  түрлендірместен  бұрын  алдын-ала  мынандай 
қатыстың дұрыстығын қарастырайық, 
   











dt
P
d
r
P
r
P
r
dt
d
i
i
i
i
i
i






. 
Мұндағы 
 

  
0
r
r
m
m
r
P
r
i
i
i
i
i
i
i
i














. 
өйткені 
i
i
r




 -колленияр векторлар. 
Сонда 
 









dt
P
d
r
P
r
dt
d
i
i
i
i




.                                        (61) 
Сондықтан (60)-шы өрнекті былай жазуға болады, 

 
62 
 
 

















i
i
i
i
i
r
U
r
P
r
dt
d




. 
Осындай  теңдеуді  механикалық  жүйенің  әрбір  нүктесі  үшін 
жазып, шыққан тендеуді өзара сәйкес қосатын болсақ, онда 
 


 






















n
1
i
i
i
i
n
1
i
i
i
r
U
r
P
r
dt
d




. 
Осы  теңдеудін  оң  жағы  (58)-ші  шартқа  сәйкес  нольге  тең 
болады. Сондықтан 
 


0
P
r
dt
d
n
1
i
i
i






. 
Осыдан  тұйық  жүйе  қозғалысы  кезінде 
 



n
1
i
i
i
P
r


 шаманың 
тұрақты  болып  қалатындығын  көреміз,  оны  L

 әрпімен  белгілесек, 
онда 
 





n
i
i
i
P
r
L
1



тұр.                                         (62) 
 
Мұндағы  L

 векторын  импульс  моменті  немес  жүйенің 
кинетикалық моменті (немесе жүйенің механикалық моменті) деп 
атайды.  (62)-импульс  моментінің  сақталу  заңының  векторлық  түрі. 
Осы векторлық теңдікті x,y,z координаталарына проекцияласақ, онда 
мынандай үш скалярлық теңдеу аламыз: 







n
1
i
i
i
i
i
i
X
y
z
z
y
m
L


тұр, 







i
i
i
i
n
1
i
i
Y
z
x
x
z
m
L


тұр,                                (63) 







i
i
i
i
n
1
i
i
Z
x
y
y
x
m
L


тұр, 
 
Осы (63) өрнек импульс моментінің сақталу заңының скалярлық 
өрнегі  болып    табылады  да,  жүйе  қозғалысын    анықтайтын 
дифференциалдық  теңдеудің  бірінші  интегралы болады. Сонымен 
механикалық  жүйенің  қозғалысын  анықтайтын  дифференциалдық 
теңдеудің  жеті  бірінші  интегралының  бар  екендігін  көреміз.  Ол  (27) 
өрнекпен  анықталатын  энергияның  сақталу  заңы;  (40)  өрнекпен 
анықталатын  скалярлық  түрде  жазылған  үш  қозғалыс  мөлшері 
векторының x,y,z осьтеріне проекцияларының сақталу заңы және (63) 
өрнекпен анықталатын үш импульс моментінің сақталу заңы.  
 
Импульс  моментінің  сақталу  заңы  Ньютонның  III-ші  заңымен 
байланысты екендігін дәлелдейік. Шынында да тұйық тізбек үшін 
 
ij
n
j
i
i
i
F
r
U
r
U



/
1










. 

 
63 
Осыны пайдаланып (58) шартты былай жазуға болады. 
 






n
i
ij
i
n
j
F
r
1
1
0


.                                        (64) 
Мұндағы 
 
ij
i
ij
F
r
N





,                                            (65) 
тәрізді  теңдік  күш  моменті  деп  аталады.  Сонда  (64)  өрнектен 
механикалық  жүйеге  әсер  ететін  ішкі  күштер  моментінің 
геометриялық  қосындысы  нольге  тең  болады  деген  қорытынды 
шығады. (64) өрнекке ішкі күштер моменті қос-қостан кіреді, 
  

JI
j
ij
i
ij
F
r
F
r
N









. 
Ньютонның III-ші заңы бойынша 
ij
ji
F
F




 сондықтан, соңғы теңдікті 
былай жазуға болады: 




ij
j
i
ij
F
r
r
N






. 
Мұндағы 


ij
j
i
F
r
r





 
болғандықтан соңғы өрнек нольге тең болып шығады. Сонда 




0



ij
j
i
ij
F
r
r
N




. 
Сондықтан  (62)  өрнекпен  анықталатын  импульс  моментінің 
сақталу  заңының  Ньютонның  III-ші  заңымен  байланыстылығы 
дәлелденді. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: