§6. Лагранж теңдеуінің екінші түрі

 
81 
виртуальдық  орын  ауыстыруларына  скаляр  түрде  көбейтіп  шыққан 
теңдеулерді сәйкес қосатын болсақ, онда 










n
i
i
n
i
i
i
i
i
r
R
r
m
F
1
1
0








.                               (36) 
Идеальдық  байланыстар  постулаты  (14)-өрнекке  сәйкес  (36)-
теңдеудегі соңғы қосынды нольге тең, сондықтан, 


0
1




i
n
i
i
i
i
r
m
F





.                                       (37) 
Осы  теңдеулер  Лагранж-Даламбердін  дифференциалдық-
вариациалдық принципінің математикалық өрнегі болады 
 
Лагранж-Даламбер принципін былай тұжырымдауға болады: 
 
Голономдық, 
идеальдық 
және 
ұстамды 
байланыстағы  
механикалық  жүйеге  әсер  ететін  барлық  белсенді  күштердің  және 


i
i
m



 Даламбердің  «инерция  күші»  деп  аталатын  күштердің 
виртуальдық  жұмыстарының  қосындысы  кез  келген  виртуальдық 
орын ауыстыруда нольге тең. (37) –теңдеулерді голономдық жүйенің 
динамикасының  жалпы  теңдеуі  немесе  механиканың  әмбебап 
теңдеуі  деп  те  атайды.  Осы  теңдеулерді  пайдаланып  Лагранж 
теңдеулерін  анықтау  үшін  q
1
,  q
2
,  …q
s
  жалпыланған  координаттарға 
көшу керек және 
i
r


 тәуелді координаттар вариацияларын жою керек. 
Ол  үшін  жүйе  нүктелерінің  радиус-векторларын  жалпыланған 
координаттар арқылы өрнектейік, яғни 


t
q
q
q
r
r
s
i
i
;
,...,
,
2
1



, 
 
(i=1,2,…, n).               (38) 
Осыдан 





s
i
i
q
q
r
r
1







, 
 
(i=1,2,…, n).                  (39) 
(38)-өрнектен уақыт бойынша туынды алсақ, онда  








s
i
i
i
t
r
q
q
r
1








, 
         (i=1,2,…, n).                   (40) 
Мұндағы  скаляр  шама 
dt
dq
q




 жүйенің 
жалпыланған 
жылдамдығы  деп  аталады.  Егер  жалпыланған  координаттардың 
өлшем  бірлігіне  ұзындық  өлшем  бірілігі  алынса,  онда  жалпыланған 
жылдамдық  өлшем  бірлігі  сызықтық  жылдамдықтың  өлшем 
бірлігіндей болады. 
 
(40) –теңдіктен мынадай екі  тепе-теңдікті алуға болады.  
,



q
q
r
i
i








           



q
q
r
dt
d
i
i













.                        (41) 

 
82 
 
(37)–теңдеулерге 
(39) 
-өрнектен 
i
r


 виртуальдық 
орын 
ауыстырудың  мәндерін  қойып  шыққан  теңдеулердегі  i  және  α 
индекстері бойынша қосындылардың орынын ауыстырсақ, онда 
0
1
1
1












 










q
q
r
m
q
r
F
s
n
i
i
n
i
i
i
i
i




, 
 
 
  (42) 
немесе 


0
1









q
A
Q
s
.                                         (43) 
Мұндағы 


q
r
F
Q
i
n
i
i







1
, 
 
(α =1,2,…, s). 
 
    (29) 
жалпыланған күштер, ал 



q
r
m
A
i
n
i
i
i








1
,   
(α = 1,2,…, s). 
 
     (44) 
Жалпыланған  координаттар  вариациясы  δq
α
  өзара  тәуелсіз 
болғандықтан (43) –қосынды нольге тең болуы үшін δq
α 
 жалпыланған 
координаттар  вариацияларының  алдындағы  коэффициенттер  нольге 
тең болуы керек, сондықтан  
A
α
 =Q
α
, 
 
(α = 1,2,…, s). 
 
   (45) 
 
Осы  теңдеулерді  Лагранж  теңдеулері  деп  атауға  болады.  Бұл 
теңдеулерді  ашып  жазу  үшін  (44)  -өрнекпен  анықталған  А
α
 
шамасының физикалық мағынасын қарастырайық. Ол үшін мынандай 
түрлендірулер жасайық: 





























q
r
dt
d
m
q
r
m
dt
d
q
r
m
i
i
i
i
i
i
i
i
i






. 
Осыған (41) –тепе-теңдіктерді қолдансақ, онда 


































2
2
2
2
/
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
m
q
m
q
dt
d
q
m
q
m
dt
d
q
r
m




















. 
Сондықтан, (44) -өрнек бойынша 






















































n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
m
q
m
q
dt
d
m
q
m
q
dt
d
A
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2











. 
Осыдан  



q
T
q
T
dt
d
A







.                                      (46) 
Мұндағы 
 
q
q
T
T

,

 -жалпыланған 
координаттар 
мен 
жалпыланған 
жылдамдықтар 
арқылы 
өрнектелген, 
жүйенің 
кинетикалық энергиясы. 
 
Сонымен  жалпыланған  координаттарға  тәуелді  (45)  -өрнекпен 
берілген Лагранж теңдеулерін былай жазуға болады,  

 
83 



Q
q
T
q
T
dt
d







,   
(α = 1,2,…, S). 
 
    (47) 
 
Осы  алынған  Лагранж  теңдеулерін  пайдаланып  кез  келген 
голономдық,  идеальдық  және  ұстамды  байланыстағы  механикалық 
жүйенің  қозғалысын  анықтауға  болады.  Мұндағы  белгісіздер,  жүйе 
нүктелерінің  орнын  бір  мәнді  анықтайтын  q
α
  жалпыланған 
координаттар.  Осы  белгісіздер  мен  Лагранж  теңдеулерінің  саны 
бірдей және олар механикалық жүйенің еркіндік дәрежесіне тең. 
 
§7. Лагранж функциясы және әсер функциясы 
 
 
Лагранж  теңдеулерінің  структурасы  (47)  -өрнектерге  қарағанда 
Q
α
  жалпыланған  күшке  және  жүйе  нүктелерінің  жалпыланған 
координаттарына,  жалпыланған  жылдамдықтарына  тәуелді   


t
q
q
T
,
, 
 
кинетикалық энергиясына тікелей байланысты екіндігін көреміз.  
 
Енді  механикалық  жүйеге  түсірілген 


t
q
q
Q
,
, 

 жалпыланған 
күштерге  байланысты  Лагранж  теңдеулерінің  өрнегін  табайық. 
Қарастырылып  отырған  жүйеге  әсер  ететін  белсенді  күштер 
потенциалды болсын, яғни 
i
i
r
U
F






,  
(i=1,2,… n).  
 
    (48) 
Мұндағы,  U=U(q
1
,  q
2
,  …q
s
;  t)  –жүйенің  толық  потенциалдық 
энергиясы,  ол  жүйе  нүктелерінің  жалпыланған  жылдамдықтарына 
тәуелді емес, сондықтан 
0




q
U

, 
 
(α = 1,2,…S). 
 
     (49) 
Механикалық жүйеге түсірілген күштер потенциалды болғанда, 
Q
α
 жалпыланған күштер (34) -өрнекке сәйкес 


q
U
Q




.   
 
 
      (34) 
Осы  (34)  –және  (49)  -  өрнектерді  пайдаланып  (47)  –Лагранж 
теңдеулерін былай жазуға болады,  




,
0








U
T
q
U
T
q
dt
d



 
немесе 
0








q
L
q
L
dt
d

,   
(α = 1,2,…s). 
 
    (50) 
Мұндағы  L=T-U-механикалық  жүйенің  кинетикалық  энергиясы 
мен потенциалдық энергияларының айырмасы. 

 
84 
 
Механикалық 
жүйе 
нүктелерінің 
q
α
 
жалпыланған 
координаттарынан, 

q
 жалпыланған 
жылдамдықтарынан  және 
уақыттан тәуелді мынандай функцияны 



  
t
q
U
t
q
q
T
t
q
q
L
,
,
,
,
,




  
 
 
    (51) 
Лагранж  функциясы  немесе  жүйелер  лагранжианы  деп 
атайды. 
 
Лагранж  функциясынан  құрылған  мынадай  интегралды  (уақыт 
бойынша алынған) 
 


dt
t
q
q
L
S
t
t


2
1
,
, 
 
 
(энергия 
х
 уақыт),             (52) 
әсер функциясы деп атайды. 
 
Енді  механикалық  жүйеге  түскен  күштер  жалпыланған 
потенциалды болатын жағдайды қарастырайық, яғни 



q
V
dt
d
q
V
Q









, 
(α = 1,2,….,S). 
 
  (53) 
Мұндағы 


t
q
q
V
V
,
, 

 -жалпыланған 
потенциал 
немесе 
жылдамдыққа тәуелді потенциал деп аталады.  
 
Жалпыланған  күштердің  осы  мәндерін  (47)-  өрнектерге  қойып 
Лагранж  теңдеулерін  (50)  -өрнектер  түріне  келтіруге  болады,  бірақ 
мұндағы  Лагранж  функциясы  жүйенің  кинетикалық  энергиясы  мен 
оның жалпыланған потенциалының айырмасына тең болады, 

 
 

t
q
q
V
t
q
q
T
t
q
q
L
,
,
,
,
,
,





. 
 
 
   (54) 
 
Жалпыланған  потенциалды  күштер  әсер  ететін  жүйенің 
мысалына  сыртқы  электромагниттік  өрісте  қозғалатын  зарядталған 
бөлшектер  жүйесін  алуға  болады.  Мұндай  жүйелер  үшін  Лагранж 
функциясы былай жазылады, 






t
z
y
x
q
t
z
y
x
A
q
z
y
x
m
L
,
,
,
,
,
,
2
2
2
2













.                (55) 
Мұндағы, 


t
z
y
x
A
,
,
,

-электромагниттік өрістің векторлық потенциалы, 
 
φ(x,y,z,t) –электромагниттік өрістің скалярлық потенциалы.  
 
 
§8. Лагранж функциясының энергияның  
сақталу заңымен байланысы 
 
 
Механикалық 
жүйеге 
түсірілген 
потенциалды 
немесе 
жалпыланған  потенциалды  күштердің  әсерінен  болатын  жүйе 
қозғалысының теңдеулерін (Лагранж теңдеулерін) жазған кезде, өткен 
тақырыпта  біз  Лагранж  функциясын  формальды  түрде  енгізген 
болатынбыз. Шындығында бұл функция механикалық жүйе күйлерін 
сипаттайтын маңызды функция. 

 
85 
 
Лагранж  функциясының  физикалық  мағынасын,  байланысқан 
жүйелердің  сыртқы  симметриялы  күш  өрістеріндегі  қозғалысын 
анықтаған  кезде,  осы  Лагранж  тендеулерінің  бірінші  интегралын 
тапқанда  білгеміз,  (яғни  сақталу  заңдарын  тапқанда).  Қозғалыс 
(Лагранж) теңдеулерінің бірінші интегралын Лагранж функциясының 
түріне қарап оңай табуға болады.  
 
Қарастырылып  отырған  жүйенің  лагранжианы  уақытқа  тікелей 
тәуелсіз  (
0
/



t
L
)  болсын.  Сонда  Лагранж  фукциясынан  уақыт 
бойынша алынған толық туынды 
t
L
q
q
L
q
q
L
dt
dL
s

















1









. 
(50) -өрнекпен берілген Лагранж теңдеуі бойынша 


q
L
dt
d
q
L






. 
Сондықтан  
,
1
1
1
t
L
q
L
q
dt
d
t
L
q
L
q
dt
d
t
L
q
L
q
q
L
dt
d
q
dt
dL
s
s
s



























































 
Осыдан, 
t
L
L
q
L
q
dt
d
s




















1
.  
 
 
    (56) 
Осыдан,  егер  жүйенің  лагранжианы  уақытқа  тікелей  тәуелсіз 
болса  (яғни   
0
/



t
L
),  онда  жүйе  қозғалысы  кезінде,  жүйенің  толық 
энергиясы деп аталатын мынандай шама сақталады 







L
q
L
q
E
S





1
 тұр.                              (57) 
Жүйенің  толық  энергиясының  осы  анықтамасы  көптеген 
жағдайларда,  кинетикалық  энергиямен  потенциалдық  энергиялардың 
қосындысына тең болатын механикалық энергияның анықтамасындай 
екендігін дәлелдейік. 
 
Ең  алдымен  потенциалды  күш  өрісінде  тұрған  жүйені 
қарастырайық. Сонда (51) -өрнекке сәйкес Лагранж функциясындағы 
потенциалдық  энергия, 
q
 жалпыланған  жылдамдыққа  тәуелсіз 
болғандықтан (57) -өрнектегі қосынды 
T
q
T
q
q
L
q
S
S











2
1
1










                     
   (58) 
Сондықтан Е толық энергия, (57) -өрнекке сәйкес, 
E=2T-L=2T-(T-U)=T+U. 
Кинетикалық және потенциалдық энергиялардың қосындысына тең.  

 
86 
 
Енді  тұрақты  электр  және  магнит  өрісіндегі  зарядталған 
бөлшектін  еркін  қозғалысын  қарастырайық.  Сонда  (55)  -өрнекпен 
анықталатың Лагранж функциясын былай жазуға болады. 
 




,
2
2
r
V
m
L


. 
Мұндағы 
 
 
   
,
,
,
1
r
U
r
V
r
V








 ал  
 
  
 
 
 
,
,
1
r
A
q
r
V









 
 
 
r
q
r
U



. 
Сондықтан толық энергия 


U
T
q
m
q
A
q
m
A
q
m
L
L
E






























2
2
2
2







. 
 
Осы  қарастырылған  мысалдардан,  жоғарыда  келтірілген  толық 
энергияның 
жаңа 
анықтамасы, 
механикалық 
энергияның 
анықтамасына  қарағанда  жалпыланған  екендігін  көреміз,  сондықтан 
(57) өрнекті энергияның жалпыланған сақталу заңы деп атайды. 
 
Қандай  да  болмасын  жүйелерге  (механикалық,  жылулық, 
электрлік,  атомдық,  т.б.)  сәйкес  Лагранж  функциясын  анықтауға 
мүмкіншілік  болса,  онда  (57)  -өрнек  бойынша  толық  энергияның 
сақталу заңын, яғни Лагранж теңдеулерінің бірінші интегралын табуға 
болады. 
 
Толық  энергияның  сақталу  заңы,  Лагранж  функциясы  уақытқа 
тікелей  тәуелсіз  болмаса  ғана  орындалады.  Лагранж  функциясының 
уақытқа  тікелей  тәуелсіз  болмауының  екі  түрі  бар.  Біріншісі,  жүйеге 
түсірілген  байланыстар  стационарлық  болуы  керек,  екіншісі  жүйеге 
әсер ететін күштерде уақытқа тәуелсіз болуы керек, басқаша айтқанда 
тұрақты  күштер  болуы  керек.  Міне  осындай  екі  жағдайда  ғана 
механикалық  жүйе  консервативті  болады  (толық  энергиясы 
сақталады). 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: