§1. Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы

 
144 
мөлшерінің  векторы  алынады.  Қозғалыс  мөлшерінің  сақталу 
заңының бастапқы түрін ең алғаш рет Декарт (1596-1650 ж.ж.) ашқан, 
сонымен бірге ол осы заңды қолдану барысында оның маңызды екенін 
көрсетті.  Декарт  осы  сақталу  заңын  дәлелдеу  кезінде  қарапайым 
құбылыстарға,  атап  айтқанда,  абсолют  серпімді  соққы  және  инерция 
заңына сүйенді; теориялық механиканың әрі қарай дамуында осы заң 
аксиома  ретінде  қарастырылды  және  механиканың  кинетикалық 
құрылымының  негізі  болды.  Ол  заң  бойынша:  тұйықталған  
нүктелер  жүйесіндегі  (сыртқы  күш  әсер  етпегендегі)  кез  келген 
механикалық  процестерде  қозғалыс  мөлшері  тұрақты  болып 
қалады.  
Механикалық  нүктелер  жүйесін  тұйықталған  деп  атаймыз,  егер 
жүйедегі бөлшектер қозғалысына  ішкі күштер ғана әсер етсе немесе 
жүйедегі  бөлшектердің  өзара  әсерлесуі  ғана  қарастырылса.  Қозғалыс 
мөлшерінің  сақталу  заңын  массасы  тұрақты  нүктелер  жүйесіне 
арналған  қозғалыс  мөлшері  жайлы  теоремаға  негізделе  отырып 
дәлелдеуге  болады.  Нүктелер  жүйесі  қозғалыс  мөлшерінің  өзгеру 
теоремасына  сәйкес  қозғалыс  мөлшерінен  уақыт  бойынша  алынған 
туынды жүйеге әсер ететін барлық сыртқы күштердің қорытқы күшіне 
тең, яғни 
)
(е
R
dt
Q
d



, 
 
 
 
 
(1) 
мұндағы 



n
v
m
Q
1





 
–  жүйені  құрайтын  бөлшектердің  қозғалыс  мөлшерлерінің 
қосындысы, ал  



n
v
e
e
F
R
1
)
(
)
(



 
–  жүйеге  әсер  ететін  сыртқы  күштердің  қорытқы  күші.  Егер  жүйе 
тұйықталған  болса,  онда  сыртқы  күштердің  қорытқы  күші 
0
)
(

R
e

 
болады. Сонда (1)-ші өрнектен 
0
Q
const
Q




, 
мұндағы 
0
Q

- жүйенің бастапқы қозғалыс мөлшері. 
Массасы  M=M(t)  айнымалы  нүктені  және  одан  ажыратылатын  
массалары 
1
2
1
,...,
,

n



 бөлшектер  жүйесін  массалары  тұрақты  n 
нүктелер  жиынтығы  деп  қарастыруға  болады.  Кез-келген  бастапқы 
уақыт  мезетінде  ортақ  жүйенің  қозғалыс  мөлшерін 
0
Q

 десек,  сыртқы 
күштер болмауына байланысты  вектор 
Q

 келесі  уақыттарда    тұрақты 

 
145 
болып  қала  береді.  Ішкі  күштердің  механикалық  жүйенің  қозғалыс 
мөлшерінің векторын өзгерте алмайтындығы бізге белгілі. 
Массасы  М  айнымалы  нүктені  біз  массасы  уақыт  бойынша 
өзгеретін  жеткілікті  кішкентай  дененің  ауырлық  центрі  ретінде 
қарастырамыз.  Бұл  жағдайда  массаның  өзгеру  процесі  кезінде 
қозғалыстағы  денемен  байланысқан  координат  өсьтеріне  қатысты  М 
массалар центрінің салыстырмалы ығысулары айтарлықтай аз болады 
да, 
оларды 
ескермеуге 
болады. 
Математикалық 
тұрғыдан 
қарастырғанда  массасы  айнымалы  нүкте  –  қозғалыс  кезінде 
өзгеретін кейбір шекті массасы бар геометриялық нүкте. 
Массасы  М  нүктенің  бөлінетінін  болжай  отырып  және 
ажыратылатын 
1
2
1
,...,
,

n



 бөлшектерін  ортақ  механикалық  жүйеге 
біріктіре  отырып,  классикалық  механикадан  белгілі  массалары 
тұрақты  нүктелер  механикалық  жүйесінің  көрсетілуіне  келеміз. 
Осындай  механикалық  жүйенің  бір  бөлімінің,  яғни, 
1
2
1
,...,
,

n



 
бөлшектерінің  қозғалысын  біле  тұра,  біз  орталық  ажыратушы 
нүктенің  қозғалысын  анықтай  аламыз.  Массасы  айнымалы 
нүктелердің  қозғалысын  бұл  әдіспен  зерттеу  мүмкін  болса  да, 
тәжірибе  жағынан  орындалмайды,  себебі  айтылған  әдіс  n  денелердің 
қозғалысы  жайлы  аспан  механикасының  есебін  шешуді  қажет  етеді. 
n=3  болғанның  өзінде  де,  мұндай  есепті  шешуде  жалпы  жағдайда 
математикалық қиындықтарға тірелеміз. 
Әрі  қарай  баяндау  барысында  орталық  массасы  М  нүктеден 
бөлшектердің 
ажыратылуын 
түсіндіретін 
физика-химиялық 
процестерді  қарастырмаймыз;  барлық  біздің  зейініміз  ажыратушы 
центрдің механикалық қозғалысын зерттеуге бағытталған болады. 
 
§2. Күштердің тәуелсіз әсерінің заңы. 
 
Массалары 
1
2
1
,...,
,
,

n
M



 бөлшектерден  құралатын  жүйе 
белгілі  бір  күш  өрісінде  орналасты  дейік,  онда  ажыратушы  центрдің 
жылдамдығының  өзгерісі  тек  қана  ажыратылған  бөлшектердің 
қозғалысымен  ғана  емес,  сонымен  қатар,  сыртқы  күш  әсерімен  де 
анықталады.  Бөлшектерді  ажырату  процесінің  себебінен  массасы  М 
нүкте  жылдамдығының  өзгерісі  қарастырылып  отырған  бөлшектер 
жүйесіне  қатысты  ішкі  болып  саналатын  кейбір  күштің  әсерін 
бейнелейді.  Классикалық  механикадан  қандай  да  бір  материалдық 
нүкте  қозғалысының  белгілі  бір  уақыт  аралығында  бірнеше  күштің 
әсерінен өзгерісі және өзге күштерге тәуелсіз әсер ететін әр бір күштің 
әсерінен  болатын  өзгерісі  бірдей  екендігі  белгілі.  Механикада 
күштер бір-бірін индуцияламайды (бір-біріне тәуелсіз).  

 
146 
Күштердің  тәуелсіз  әсер  ету  заңының  салдары  ретінде  күш 
параллелограмм заңы мен үдеу параллелограмм заңы болып саналады.  
Егер  бөлшектердің  ажырау  процесіне  негізделген  жылдамдық 
өсімшесі 
1


d
-ге,  ал  сыртқы  күштер  өрісінің  әсеріне  негізделген 
жылдамдық  өсімшесі 
2


d
-ге  тең  болса,  онда  жылдамдықтың  толық 
өсімшесі келесі векторлық өрнек бойынша анықталады: 
2
1






d
d
d


. 
 
 
 
(2) 
Осының екі жағын dt-ға бөлсек, онда 
2
1
w
w
w





.  
 
 
 
(3) 
Бұл  (3)-ші  өрнек  күштердің  тәуелсіз  әсер  ету  заңының 
математикалық мағынасын береді. 
Келесі  қарапайым  болжам  ретінде  массасы  М  негізгі  нүктеден 
бөлшектердің  ажырауы  кезіндегі  жақыннан  әсер  ету  болжамы 
алынады.  Біз  массасы  М  нүктеден  ажыратылатын 
k

 бөлшек  оның 
қозғалыс мөлшерін  М  мен 
k

-ның  әсері  кезінде  ғана  өзгертеді деп 
санаймыз; 
k

 бөлшек 
М  нүктесіне  қатысты  салыстырмалы 
жылдамдыққа  ие  болғаннан  бастап,  оның  М  нүктесіне  әсері 
жойылады.  Классикалық  механика  есептеріндегі  қандай  да  бір 
байланыс үзілгенде пайда болатын соққы күшіне ұқсас 
k

 бөлшектің 
ажырау  мезетіндегі  әсер  ету  және  кері  әсер  ету  заңы  бойынша 
элементар  реактивті  күш  пайда  болады.  Жақыннан  әсер  ету 
гипотезасы 
массасы 
айнымалы 
нүкте 
қозғалысының 
дифференциалдық  теңдеуін  алуға  мүмкіндік  береді.  Егер 
ажыратылған  бөлшектер  жиынтығының  массасы  М  нүктеге  әсерін 
ескерсек, 
онда 
үздіксіз 
ажырату 
процесінде 
қозғалыстың 
интегродифференциялдық теңдеуіне келеміз.  
Қозғалыстың  негізгі  теңдеулерін  шығаруда  М  нүктесінің 
массасының  өзгеру  процесі  үздіксіз  деп  қарастырылады.  Жалпы 
есептерде  массаның  өзгерісі  үздікті  болатын  болса,  онда  ол  есепті 
шешуге  массасы  түрақты  денелер  үшін  классикалық  механиканың 
теормаларын  қолдануға  болады.  Сонымен  қатар,  нүкте  массасының 
уақыт  бойынша  бірінші  туындысы  қозғалыс  кезінде  шекті  болып 
қалады. 
 
 
 
 
 
 
 

 
147 
§3. Мещерский теңдеуі 
Уақыт  өте  массасы  өзгеріп  отыратын  қандай  да  бір 
нүктені        қарастырайық.  t  уақыт  мезетінде  бұл  нүктенің 
массасы  М  болсын.  Берілген  нүктенің  қозғалысын  Oxyz 
қозғалмайтын
  координаттар жүйесіне қатысты зерттейміз (1-
сурет). 
 
М  нүктесінің  t  уақыт  мезетінде  абсолют  жылдамдығы 

 
болсын, осыған сәйкес, оның қозғалыс мөлшері: 



M
Q

0
. 
 
 
 
(4) 
dt  уақыт  аралығында  M  нүктесі  өзінен  массасы  (-dM)  бөлшекті 
ажыратсын  және  осы  бөлшектің  абсолют  жылдамдығы 
и

 болсын. 
Онда  толық  жүйенің    қозғалыс  мөлшері  (t+dt)  уақыт  мезетінде 
мынаған тең: 





 

u
dM
d
dM
M
Q










1


, 
 
(5) 
мұндағы 
1


d
 қарастырып отырған нүктенің жылдамдық өсімшесі . 
Қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы бойынша: 
0
Q
Q



, 
яғни 







M
u
dM
d
dM
M




)
)(
(
1
.   
 
(6) 
(6)-шы  өрнектегі  (
1

dMd
)  екінші  ретті  аз  шаманы  ескермегенде 
мынаны табамыз: 
)
(
1







u
M
dM
d
.                                (7) 
Бұл  өрнек  массасы  М  негізгі  нүктенің  массасы 
)
( dM

 тең  бөлшек 
бөліп шығарғанда туындайтын жылдамдық өсімшесін анықтайды.  

 
148 
Егер  массасы  М  нүктеге 
F

 сыртқы  күш  әсер  етсе,  онда  нүкте 
жылдамдығының өсімшесі Ньютонның екінші заңы бойынша  былай 
анықталады: 
dt
F
M
d


1
2


.                                  (8) 
Күштердің  әсер  етуінің  тәуелсіздік  заңына  байланысты  массасы 
айнымалы нүкте жылдамдығының толық өзгерісі: 
dt
F
M
u
M
dM
d
d
d






1
)
(
2
1









. 
 
(9) 
Бұл  өрнекті  М–ға  көбейтіп,  dt-ға  бөлсек,  массасы  айнымалы 
нүктенің қозғалыс  теңдеуі мына түрге келеді: 
)
(









u
dt
dM
F
dt
d
M
 
 
 
(10) 
– бұл теңдеу Мещерский теңдеуі деп аталады.  
V
u





)
(

 –  ажыратылған  бөлшектердің  салыстырмалы 
жылдамдығы,  ал 
dt
dM
 –  ажыратушы  нүкте  массасының  секундтық 
шығыны екенін ескерсек, онда 
Ф
V
dt
dM
u
dt
dM







)
(

.                              (11) 
Ф

 –  реактивті  немесе  қосымша  күш.  Жоғарыдағы  өрнекті  (10)-шы 
өрнекке қойсақ, келесіні аламыз:  
Ф
F
dt
d
M






.                             (10
/
) 
Бұл 
өрнек 
массасы 
айнымалы 
нүкте 
қозғалысының 
дифференциалдық  заңын  бейнелейді.  Ол  заң  бойынша:  кез-келген 
уақыт  мезетінде  бөлшектерді  ажырататын  нүкте  массасы  мен 
оның  үдеуінің  көбейтіндісі  сыртқы  және  реактивті  күштердің 
геометриялық қосындысына тең болады.  
Егер 








dt
dM
 мүшесін  теңдеудің  сол  жағына  ауыстырсақ,  (10)-
шы теңдеуді мына түрде жазамыз: 
u
dt
dM
F
M
dt
d





)
(

.                            (12) 
Дербес  жағдайда  ажыратылатын  бөлшектердің  абсолют 
жылдамдығы нөлге тең болса, (12)-ші өрнек мынадай түрге келеді: 
F
M
dt
d



)
(

,                                (13) 
яғни, 
егер 
ажыратылатын 
бөлшектердің 
абсолют 
жылдамдықтары  нөлге  тең  болса,  онда  массасы  айнымалы 

 
149 
нүктенің қозғалыс мөлшерінен алынған туынды оған әсер ететін 
сыртқы күштердің қорытқы күшіне тең. 
Ажыратылған  бөлшектердің  салыстырмалы  жылдамдықтары 
нөлге тең болған жағдайда (10)-шы теңдеуді былай жазамыз: 
F
dt
d
M




,                                         (14) 
яғни,  бұл  жағдайда  массасы  айнымалы  нүктенің  қозғалыс  теңдеуі  
массасы  тұрақты  нүктенің  қозғалыс  теңдеуі  сияқты  жазылады.  Бірақ 
(14)-ші теңдеудегі М масса уақытқа тәуелді функция. 
Зымырандық  техника  саласына  байланысты  көптеген  есептер 
жүйесінде 
ажыратылатын 
бөлшектердің 
салыстырмалы 
жылдамдықтары  тұрақты  және  траекторияға  жүргізілген  жанама 
бойымен бағытталған деп алынады. Сонда: 
0
0
)
(












V
u
, 
мұндағы  V=const, 
)
(t



, 
0


–  траекторияға  жүргізілген 
жанаманың  бірлік  векторы,  ол  қозғалыс  бағытымен    жылдамдық 
векторы бойынша бағытталған. Онда (10)-шы теңдеу: 
0
)
(





V
dt
dM
F
dt
d
M



   
 
 
(15) 
немесе 






dt
dM
F
dt
d
M


.   
 
 
(16) 
Егер  сыртқы  күштердің  қорытқы  күші 
F

 қозғалыстағы  нүктенің 
массасына  пропорционал  десек,  яғни 
a
M
F



 және 
)
(
0
t
f
M
M

 деп 
алсақ, онда (15)-ші өрнектен  
0





f
dt
df
V
a
dt
d


 
немесе 
f
dt
d
V
a
dt
d
ln
0







.  
 
 
(17) 
f
ln


 функциясын  енгізсек, онда: 
0






dt
d
V
a
dt
d


.                              (18) 
 
§4. Қозғалыстың скаляр теңдеулері 
 
Массасы  айнымалы  нүкте  қозғалысының  кейбір  теңдеулерінің 
координат  өсьтеріне  проекцияларын  қарастырайық.  Егер  Oxyz 
қозғалмайтын  өсьтер  жүйесін  таңдайтын  болсақ,  онда  жалпы 

 
150 
жағдайда  (10
/
)  қозғалыстың  негізгі  теңдеуінің  проекциялары 
төмендегідей болады: 











z
z
y
y
x
x
Ф
F
z
M
Ф
F
y
M
Ф
F
x
M






 
 
 
(19) 
Мұндағы  F
x
,F
y
,F
z
  –  сыртқы  әсер  ететін  күштердің  тең  әсерлі 
күшінің проекцияларының  мәні, 
z
y
x






,
,
-  нүкте  үдеуінің  проекциялары, 
ал  
z
y
х
Ф
Ф
Ф
,
,
 – бөлшектердің ажыратылуына негізделген қосымша 
(реактивті)  күштің  проекциялары.  Жалпы  жағдайда  (19)-шы 
теңдеулердің 
оң 
жақ 
бөліктері 
қозғалыстағы 
нүктенің 
координаттарына, 
жылдамдығына 
және 
уақытқа 
тәуелді. 
Теңдеулердің  оң  жақ  бөліктерін  кейбір  қарапайым  функциялармен 
көрсете  отырып,  бірқатар  интегралданатын  есептерді  зерттеуге 
болады. Осы көзқарасқа негізделетін болсақ, онда массасы айнымалы 
нүкте  қозғалысының  кейбір  ережеге  бағынатын  динамикасын  құруға 
мүмкіндік  туады.  Біз  ережеге  сай  осы  түсінікті,  алайда,  таза 
математикалық  концепцияға  негізделмейтін  боламыз.  Барлық 
есептерде  ең  алдымен  тәжірибе  нұсқауларына,  нақты  объектілердің 
сынақ  нәтижелеріне  және  теориялық  зерттеулерге  сүйене  отырып, 
істің  механикалық  мәнін  түсінуге  ұмтылатын  боламыз.  Теориялық 
мүмкін болатын сұлбаларды зерттеудің орнына нақты құбылыстардың 
заңдылықтарын іздейміз. 
Ажыратылған  бөлшектердің  абсолют  жылдамдығы 
u

 нөлге  тең 
болатын  жағдайда  массасы  айнымалы  нүктенің  қозғалыс  теңдеуінің  
Ox,Oy,Oz  өсьтеріне  түсірілген  проекцияларын  келесі  түрде  жазуға 
болады: 












z
y
x
F
z
M
dt
d
F
y
M
dt
d
F
x
M
dt
d
)
(
)
(
)
(



  
 
 
(20) 
Мұндағы 
z
y
x


 ,
,
 –  жылдамдықтың  координат  өсьтеріне  түсірілген 
проекциялары.  (20)-шы  теңдеулерге  ұқсас  теңдеулер  (19)-шы 
теңдеулерге  қарағанда  әлдеқайда  қарапайым,  себебі,  оларды 
құрастыру кезінде бөлшектер ажыратылуының кейбір гипотетикалық 
заңы негізге алынған болатын. Зымырандардың қозғалыс теориясында 
0

u

 гипотезасы  орындалмайды,  бірақ  аспан  механикасының 
есептерінде (20)-шы теңдеулер кең және жемісті қолданыс табуда.  

 
151 
Ажыратылатын  бөлшектердің  салыстырмалы  жылдамдықтары 
нөлге  тең  жағдай  үшін  массасы  айнымалы  нүкте  қозғалысының 
теңдеулері,  түрі  бойынша,  массасы  тұрақты  нүкте  қозғалысының 
қарапайым теңдеулеріне сәйкес келеді. (14)-өрнектен: 








z
y
x
F
z
M
F
y
M
F
x
M






                                          (21) 
Бір қарағанда 
0
)
(







u
V
 гипотезасы жасанды және практикалық 
мәні  жоқ  болып  көрінуі  мүмкін.  Бөлшектердің  ажырауы  реактивті 
күштің  пайда  болуынсыз-ақ  өтетін  массасы  айнымалы  дене 
қозғалысының  көптеген  жағдайларын  көрсетуге  болады.  Мысал 
ретінде  блоктың  айналуын  және  одан  жіптің  оралып  түсуін 
қарастырайық  (2-сурет).  Блоктың  А  нүктесінің  жылдамдығы 
R
А




,  мұндағы 

 –  блоктың  бұрыштық  жылдамдығы, 
R
– 
радиус.  
dM жіп элементінің жылдамдығы да 
R

 
шамасына 
тең 
болады. 
Сондықтан, 
ажыратылатын  массасы  dM  жіп  бөлігінің 
салыстырмалы  жылдамдығы  бұл  жағдайда 
нөлге тең болады. 
Массасы  айнымалы  нүктенің  сыртқы 
баллистикасының 
көп 
есептері 
үшін 
қосымша  болжамдар  жасауға  болады. 
Реактивті  күштің  бағыты  траекторияға 
жүргізілген  жанама  бойымен  бағытталған, 
ауырлық  күшінің  өрісі  біртекті  және  Жер 
жазық  деп  болжайық.  Ортаның  кедергі  күші  нүкте  траекториясына 
жүргізілген  жанама  бойымен  және  жылдамдық  векторына  қарама-
қарсы  бағытталсын.  Бұл  күштің  шамасын  келесі  түрде  көрсетуге 
болады: 
2
0
0
2
1
2
1
2
1






S
C
S
C
Q
x
x


, 
мұндағы 
x
C
 –  маңдайлық  кедергінің  коэффициенті, 


,
0
 –  Жер 
бетіндегі  және  z  биіктіктегі  ауаның  тығыздықтары,  S  –  объектінің 
сипаттамалық ауданы. 
 
z
H
C
С
x
х


 деп алсақ, кедергі күшін мына түрде жазамыз: 
   
   







z
kh
S
z
H
C
Q
x




2
0
0
1
2
1
, 
А 
R 
ω 
А

 
2-сурет 

 
152 
мұндағы    
 
,
)
(
0


z
H
z
h

 
,
2
1
0
S
k


 
 
 




x
C


2
. 
Күштерге  қатысты  жасалған  жеңілдіктерді  ескерсек,  массасы 
айнымалы  нүкте  траекториясы  жазық  қисық  болатынын  көреміз.  (3-
сурет)  
Сондықтан  қозғалыс  теңдеулерінің  Оx  және  Оz  өсьтеріне 
проекцияларын келесі түрде жазуға болады: 




























sin
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
V
dt
dM
z
kh
Mg
z
M
V
dt
dM
z
kh
x
M




,      (22) 




z
x




sin
,
cos
 болғандықтан,  (22)-өрнекті  мына  түрде  көрсетуге 
болады: 




























z
dt
dM
z
kh
M
g
z
dt
d
x
V
dt
dM
z
kh
M
x
dt
d




)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
.        (23) 
Егер  Мещерскийдің  негізгі  векторлық  теңдеуін  траекторияның 
жанамасы мен нормальға проекциялайтын болсақ, онда 
.
cos
,
)
(
)
(
sin
2







g
V
dt
dM
z
k h
Mg
dt
d
М









 
Ө бұрышының санау бағытын таңдасақ, онда 
0 
х 
z 
Mg 
n
0 
M 
0

 
Ф 

 
3-сурет 

 
153 













ds
dt
dt
d
ds
d
1
. 
Сондықтан, қозғалыстың негізгі теңдеулерін келесі түрде жазуға 
болады: 
.
0
cos
,
0
)
(
)
(
1
sin

















g
V
dt
dM
z
kh
M
g
dt
d

 
Осы  теңдеулерге  екі  кинематикалық  қатысты  қосатын  болсақ, 
массасы 
айнымалы 
нүкте 
қозғалысының 
дифференциялдық 
теңдеулерінің жүйесін аламыз: 






















0
sin
,
0
cos
0
cos
)
(
)
(
1
sin











z
x
g
V
dt
dM
z
kh
M
g




. 
(24) 
Мұндағы тәуелсіз айнымалы ретінде уақыт алынады. 
Алынған  теңдеулер  жүйесін  кейбір  дербес  жағдайлар  үшін 

 
тәуелсіз айнымалысына қатысты түрлендіруге болады. Есептеулерден 
кейін келесіні аламыз: 





































2
2
2
2
2
cos
tg
,
cos
cos
,
cos
)
(
)
(
cos
g
u
d
dz
g
u
d
dx
u
g
u
d
dt
V
dt
dM
z
kh
Mg
u
d
du
. 
(25) 
(24)  және  (25)  теңдеулер  жүйесі  артиллериялық  снарядтардың 
сыртқы баллистика курсында кеңінен қолданылады. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
154 
Х ТАРАУ 
 ЦИОЛКОВСКИЙДІҢ ЕКІ ЕСЕБІ 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: