§8. Материалдық нүктенің бір санақ жүйесінен екінші санақ

 
23 
M
dt
dz
k
dt
dy
j
dt
dx
i
dt
r
d










,                               (60) 
ал 
0
0
0
0







z
k
y
j
x
i
R




                                       (61) 
болғандықтан бұдан уақыт бойынша алынған туынды мынаған тең, 
0
0
0
0
0















dt
dz
k
dt
dy
j
dt
dx
i
dt
R
d
                               (62) 
ал 
'
' z
k
y
j
x
i
r












                                        (63) 
болғандықтан  және  мұндағы 
k
j
i






,
,
 уақытқа  тәуелді  функция 
болғандықтан  осы 
r

′  радиус  -  векторынан  уақыт  бойынша  алынған 
туындыны былай есептеп шығарамыз, 






























dt
k
d
z
dt
s
d
y
dt
i
d
x
dt
z
d
k
dt
y
d
j
dt
x
d
i
dt
r
d







'
. 
(55)  өрнекпен  анықталған  Пуассон  теңдігін  қолданып  соңғы 
жақшадағы өрнекті түрлендіруге болады. Сонда 








r
z
k
y
j
x
i
dt
r
d






























                       (64) 
мұндағы 
dt
z
d
k
dt
y
d
j
dt
x
d
i















.                                    (65) 
Сонымен  (60),  (62)  және  (64)  өрнектерді  (58)-ші        өрнекке  
қойып М нүктесінің К санақ жүйесіне  қатысты жылдамдығын былай 
анықтаймыз: 


r
















0
                                         (66) 
Осы  өрнек  нүкте  қозғалысының  жылдамдықтарын  қосу 
теоремасы деп аталады. Мұндағы 


ауыспалы
r












0
                                        (67) 
нүктенің ауыспалы жылдамдығы деп аталады. Сонда (66) 
өрнектен 
ауыспалы









                                            (68) 
 
Нүктенің  жылжымайтын  санақ  жүйесіне  қатысты  қозғалысын 
абсолюттік  қозғалыс  деп  атайды.  Сонда  (68)  өрнектегі 


- 
қарастырып  отырған  нүктенің  абсолюттік  жылдамдығы  болады. 
Нүктенің  жылжымалы  санақ  жүйесіне  қатысты  қозғалысын 
салыстырмалы  деп  атайды.  Содан  (68)  өрнектегі 



 нүктенің 
салыстырмалы 
жылдамдығы 
болады. 
Қозғалыстағы 
нүкте 
жылжымалы  санақ  жүйесінің  бір  нүктесіне  бекітілгендегі  оның 

 
24 
қозғалмайтын  санақ  жүйесіне  қатысты  қозғалысын  ауыспалы 
қозғалыс  деп  атайды  да,  жылдамдық  пен  үдеуін  ауыспалы  деп 
атайды.  (67)  өрнекке  қарағанда  нүктенің  ауыспалы  қозғалысы  екі 
мүшеден  тұрады.  Оның  біреуі  (62)  өрнекте  көрсетілген  жылжымалы 
санақ  жүйесінің  ілгерілемелі  қозғалысының  салдарынан  болса, 
екіншісі осы  жылжымалы санақ  жүйесінің айналмалы  қозғалысының 
салдарынан болады, Ол мынаған тең 


'
r




. 
 
Сонымен  (68)  өрнекті  былай  тұжырымдаймыз;  қозғалыстағы 
нүктенің абсолют жылдамдығы оның салыстырмалы жылдамдығымен 
ауыспалы жылдамдығының геометриялық қосындысына тең. 
 
Енді  осы  нүктенің  абсолюттік  үдеуін  анықтайық.  Ол  үшін 
үдеудің анықтамасы бойынша (66) өрнекпен анықталатын жылдамдық 
векторынан уақыт бойынша туынды алайық, 


dt
r
d
dt
d
dt
d
dt
d















0
                                  (69) 
(60) өрнек бойынша, мұндағы 
M
w
dt
z
d
k
dt
y
d
j
dt
x
d
i
dt
d









2
2
2
2
2
2

                               (70) 
М нүктесінің  абсолюттік үдеуі. Енді (65) өрнекті пайдаланып 




































dt
k
d
dt
z
d
dt
j
d
dt
y
d
dt
i
d
dt
x
d
dt
z
d
k
dt
y
d
j
dt
x
d
i
dt
d







2
2
2
2
2
2

 
 
Осы  өрнектің  соңғы  жақшасының  ішіндегі  қосындыға  (55) 
өрнекпен  аныққталған  Пуассон  теңдігін  пайдалансақ,  онда  бұл 
өрнекті былай жазуға болады  









































'
'
w
dt
z
d
k
dt
y
d
j
dt
x
d
i
w
dt
d
.                    (71) 
Мұндағы 
2
2
2
2
2
2
'
dt
z
d
k
dt
y
d
j
dt
x
d
i
w













 
(69) өрнектің соңғы мүшесін былай түрлендіруге болады. 


 












dt
r
d
r
r
dt
d









 
Осыған (64) өрнекті пайдалансақ, онда 


 






r
r
r
dt
d


























.                           (72) 
Осы табылған (70), (71), (72) өрнектерді пайдаланып және  
0
0
w
dt
d





 
екіндігін  ескере  отырып  (69)  өрнектен  қозғалыстағы  нүктенің 
абсолюттік үдеуін былай анықтаймыз 

 
25 


 


 


 



 

кор
ауыспалы
w
w
w
r
r
w
w
r
r
w
w
w






















































'
2
'
'
0
0












             (73) 
мұндағы 
'
w

- салыстырмалы үдеу. 
 




r
r
w
w
ауыспалы


















0
                             (74) 
Бұдан М нүктесінің ауыспалы үдеуі үш үдеуден тұратындығын 
көреміз, 
0

w

 - жылжымалы санақ жүйесінің ілгерілемелі қозғалысының 
салдарынан  болатын, 
 



r



жылжымалы  санақ  жүйесінің 
бірқалыпсыз  айналмалы  қозғалысының  салдарынан  болатын  және 


r






 - центрге тартқыш үдеудің салдарынан болатын, ал 










2
.
кор
w
 
 
 
 
(75) 
қосымша  үдеу  немесе  Кориолис  үдеуі  деп  аталады.  Бұл  Кориолис 
үдеуінің  пайда  болуы  қарастырып  отрған  М  нүктесінің  бір  уақыт 
мезетінде  екі  қозғалысқа  бірдей  қатысатындығының  салдарынан 
болады. Бұл қосымша үдеу мынандай үш жағдайда нольге тең болады: 
1.
 
,
0



 басқаша  айтқанда  жылжымалы  санақ  жүйесі  тек 
ілгерілемелі қозғалса, 
2.
 
,
0




 яғни  М  нүктесі  жылжымалы  санақ  жүйесінде 
тыныштықта тұрса, 
3.
 





//
 болса,  яғни  М  нүктесінің  жылжымалы  санақ 
жүйесіне  қатысты  жылдамдығының  бағыты  жылжымалы  санақ 
жүйесінің бұрыштық жылдамдығымен бағыттас болса. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
26 
III ТАРАУ 
 
НЬЮТОН МЕХАНИКАСЫНЫҢ НЕГІЗДЕРІ 
 
 
Бұл  тарауда  біз  динамиканың  негізгі  заңдарын  қарастырамыз. 
Динамика  -  классикалық  механиканың  ең  күрделі  негізгі  бөлімі. 
Басқаша  айтқанда,  динамика  -  денелер  қозғалысын  осы  қозғалысты 
тудыратын  себептермен  байланысты  қарастыратын  механиканың 
бөлімі. 
 
Динамиканың негізгі түсініктері - күш, масса, инерциалды санақ 
жүйесі  болады  да,  негізгі  заңдары  Ньютон  заңдары,  Галилейдің 
салыстырмалылық  принциптері.  Динамиканың  осы  түсініктемелері 
мен  негізгі  заңдары  Нюьтонның  1687  жылы  жазылған  «Табиғат 
философиясының  математикалық  бастамасы»  деген  еңбегінде 
келтірілген.  Осыдан,  классикалық  механиканың  даму  кезеңі 
басталады. 
 
§1. Күш және масса туралы түсінік 
 
 
Нүкте 
қозғалысының 
кинематикалық 
сипаттамасынан, 
динамикалық  сипаттамасына  көшкен  кезде,  жаңадан  физикалық 
ұғымдар  енгізу  қажет.  Ондай  ұғымдарға:  күш,  масса,  инерциалдық 
санақ  жүйесі  жатады.  Механикада  денелердің  механикалық 
қозғалысын  қарастыратыны  белгілі.  Денелердің  қозғалысы  пайда 
болуы үшін белгілі себептер болуы қажет. Қозғалыс дегеніміз уақыт 
өзгерісімен байланысты денелердің кеңістіктің бір  нүктесінен екінші 
нүктесіне  орын  ауытыруы  болатындықтан,  оны  денелердің  өз  ара 
әсерлесу  салдарынан,  ол  денелердің  қозғалысқа  келуі  немесе 
формалары өзгеруі  мүмкін. Бірінші жағдайда денелердің өз ара  әсері 
динамикалық  түрде,  екінші  жағдайда  статикалық  түрде  беріледі 
деп атайды. Динамикалық түрде  денелердің өз ара әсерінің берілуі , 
сол денелердің бір-бірімен жанасқан кезінде ғана болмайды, сонымен 
қатар, ол денелер бір-бірінен белгілі қашықтықта тұрғанда да (әр түрлі 
күш өрістері әсерінен) болады, ал статикалық әсері денелердің тек бір-
бірімен  тиіскен  кезінде  ғана  беріледі.  Сонымен,  күш  -  денелердің  өз 
ара механикалық әсерінің сандық мәні болып табылады. Егер, денеге 
бірнеше  күштер  әсер  етсе,  онда  ол  күштер  -  күштердің  беттесу 
принципінің  шарттарын  орындау  қажет.  Күштердің  беттесу 
принципінің шарттары мынадай:  
1.
 
Кез  келген  бір  денеге  әсер  ететін  күштер,  сол  дене 
тыныштықта  тұр  ма,  немесе  қозғалыста  ма,  оған  байланысты  емес, 

 
27 
және  сол  әсер  ететін  күштердің  түріне  де,  санына  да  байланыссыз. 
Осыны  күштердің  тәуелсіздік  принципі  деп  атайды.  Осы  принцип 
бойынша,  нүктеге  түсірілген  бірнеше  күштердің  салдарынан  осы 
нүктенің  алатын  үдеуі  әрбір  күштің  туғызған  үдеулерінің 
геометриялық қосындысына тең. Мысалы: 






K
K
1
13
12
K
1
1
W
...
W
W
W
W





, 
мұндағы 
K
1
W

-  бірінші  нүктеге  басқа  нүктелер  тұрғысынан  түсірілген 
күштер салдарынан пайда болатын үдеу. 
2.
 
Кез  келген  нүктеге,  әсер  ететін  бірнеше  күштердің 
қорытқы күші, осы әсер етуші күштердің геометриялық қосындысына 
тең болады. 
K
1
13
12
1
F
...
F
F
F








 
3.
 
Егер  бір  материалдық  нүктеге,  қорытқы  күші  нольге  тең 
бірнеше күштер әсер ететін болса, онда ол нүктенің механикалық күйі 
өзгермейді. 
Осы  жоғарыда  келтірілген  күштің  анықтамасын  толық  деп 
есептеуге болмайды. өйткені, күштің анықтамасы толық болуы үшін, 
ол  күштің  әсері  қандай  физикалық  шамаларға  байланысты 
болатындығын  көрсетуіміз  керек.  Осы  тұрғыдан  қарағанда,  дененің 
массасы  деген  ұғым  еңгізуіміз  қажет.  Шындығында  да,  белгілі  бір 
күшпен, бірнеше денеге әсер еткен уақытта тәжірибелердің көрсетуіне 
қарағанда,  осы  түсірілген  әсерді  әртүрлі  денелердің  әртүрлі 
қабылдайтыны белгілі. 
 
Денелердің өздеріне түсірілген механикалық әсерді қабылдағыш 
қабілетін,  сол  дененің  инерттік  массасы  деп  атайды  да  m
u
  -  деп 
белгілейді. 
Тәжірибелердің 
көрсетуіне 
қарағанда 
Ньютон 
механикасының  шегінде  дененің  инерттік  массасы  мынадай  үш 
шартты орындауы қажет: 
1.
 
Кез келген денеге әсер етуші күштің, осы кұштің әсерінен 
дененің  алған  үдеуіне  қатынасы  тұрақты  шама  және  ол  инерттік 
массаға пропорционал болады. Яғни: 


w
F
m
u


тұр.                                       (1) 
2.
 
Релятивисттік  емес  механикада  инерттік  масса  аддитивті 
болады,  басқаша  айтқанда  кез  келген  күрделі  механикалық  жүйенің 
массасы,  осы  жүйені  құрайтын  массалардың  қосындысына  тең 
болады, 
m = m
1
+m
2
+m
3
+ …+m
k 
 

 
28 
3. 
Релятивисттік  емес  механикада  /υ‹‹с/,  дененің  инерттік 
массасы мен, гравитациялық массасы тең болады, 
m
u
 =m
г
 
 
Дененің  салмағы  бойынша  анықталған  массасың,  сол  дененің 
ауырлық немесе гравитациялық массасы дейді,  
;
g
P
m
г



                                                (2) 
 
§2. Ньютон заңдары 
 
 
Динамиканың  негізгі  заңдарына  Ньютон  заңдары  жатады.  Ол 
тәжірибелердең алынған мынандай заңдар: 
Ньютоның  бірінші  заңы:  Егер  бір  денеге  басқа  денелер 
тұрғысынан  әсер  болмаса,  онда  ол  өзінің  тыныштықтағы  және  бір 
қалыпты  түзу  сызықты  қозғалыстағы  күйін  сақтайды.  Ол  қасиетті  - 
инерция деп атайды. Сондықтан Ньютонның бірінші заңың инерция 
заңы дейді. 
 
Ньютоның  екінші  заңы:  Денеге  түсірілген  күштің  әсерінен, 
сол  дененің  алатын  үдеуі  күшке  тура  пропорционал  да  дененің 
массасына кері пропорционал. 
m
F
w



                                                (3) 
осыдан 
                                             
w
m
F



                                               (4) 
 
Ньютонның  екінші  заңы  табиғаттың  фундаменталдық  заңының 
бірі  болады.  Олай  деп  аталатын  себебін,  келесі  тақырыптарда 
дәлелдейтін  боламыз.  Яғни  денеге  түсірілген  күш  және  сол  дененің 
массасы  белгілі  болса,  сол  дененің  қозғалыс  заңын  табуға  болады. 
Осы (4) өрнекпен жазылған Ньютонның екінші заңын, кезінде Ньютон 
өз  еңбегінде  басқаша  түрде  келтірген.  Релятивисттік  емес 


c


 
механикада  масса  тұрақты  болтындықтан,  (4)  өрнекті  былай  жазуға 
болады. 
 
dt
P
d
dt
m
d
F






.                                          (5) 
Мұндағы 



m
P

                                               (6) 
дененің  қозғалыс  мөлшері  немесе  импульсі.  Ньютонның  екінші 
заңының  (5)  өрнек  бойынша  жазылған  түрі  (4)  өрнек  бойынша 
жазылған  түріне  қарағанда  әмбебап  болады,  өйткені  (5)  өрнекті, 
денелердің қозғалысы кезінде оның массасы өзгерсе де, өзгермесе де 

 
29 
қолдануға  болады.  Ал,  (4)  өрнекті  тек  қана  m  =  const  болғанда  ғана 
пайдаануға болады. 
 
Релятивисттік механикада /υ~c/  болған кезде, 
2
2
0
c
1
m
m



 
болатыны  белгілі.  Сондықтан,  Нюьтонның  екінші  заңының  (5) 
өрнекпен жазылған түріндегі импульс 
2
2
0
c
1
m
P






                                             (7) 
болады. 
 
Ньютонның үшінші заңы: Кез келген оқшауланған екі дененің 
өз  ара  әсері,  шамасы  жағынан  тең,  бағыты  жағынан  қарама-қарсы 
болады да, сол денелерді қосатын түзудің бойында жатады. 
21
12
F
F




                                               (8) 
Ньютонның  үшінші  заңындағы  осы  әсер  етуші  күштер,  жеке 
денелерге  түседі.  Басқаша  айтқанда  бір  дененің  екінші  денеге  әсер 
етуші күшін, екінші дененің бірінші денеге қарсы әсер етуші күші деп 
қарастыруға болады. 
 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: