ә) теңдеуімен берілген қисық үшін, ерекше нүктелерді табу керек.
Шешуі. Берілген теңдеуді келесі түрде жазып аламыз .
және айнымалылары бойынша дербес бірінші туындыларын табамыз.
.
Табылған өрнектерді жүйе түрінде жазып алып, оның шешімін табамыз.
.
нүктесі берілген қисық үшін ерекше нүкте болады ( нүктесі қисыққа тиісті емес). Ерекше нүктенің түрін анықтаймыз. Ол үшін нүктесіндегі екінші дербес туындыларын табамыз .
.
мәнін есептейміз.
.
Бұл жерде бірнеше жағдайлар болуы мүмкін. Қисық ерекше нүктеде бірін – бірі жанайтын екі тармақтан тұрады. Ендеше М(0,0) нүктесі өзін - өзі жанайтын нүкте.
Жауабы:М(0,0) – өзін - өзі жанайтын нүкте.
б) (Никомед конхоидасы) қисығының ерекше нүктесін табу керек және ерекше нүктедегі жанаманың теңдеуін құру керек.
Шешуі. және айнымалылары бойынша дербес бірінші туындыларын табамыз.
Табылған өрнектерді жүйе түрінде жазып алып, оның шешімін табамыз .
Бірінші теңдеуді шешіп, болғанда екенін аламыз.
Табылған шешімдерді бірінші теңдікке қойып, келесі өрнекті табамыз:
нүктесі берілген қисық үшін ерекше нүкте болады. Ерекше нүктенің түрін анықтаймыз. Ол үшін нүктесіндегі екінші дербес туындыларын табамыз .
.
мәнін табамыз.
.
Келесі жағдайларды қарастырамыз:
1. Егер . Бұл жағдайда М нүктесі оқшауланған нүкте болады және бұл нүктеде жанама болмайды.
2. Егер . Онда М нүктесі торапты нүкте болады. Осы М нүктесіндегі жанаманы табамыз.
3. Егер . Бұл жағдайда М нүктесі бірінші ретті қайту нүктесі болады. Ендеше осы нүктедегі жанаманы табамыз.
Жауабы: 1) болса, онда – оқшауланған нүкте, жанама табылмайды;
2) болса, онда – торапты нүкте, жанама
3) болса, онда – бірінші ретті қайту нүктесі, жанама .
