түрінде болады. ( - осінің оң бағытымен жанама арасындағы бұрыш) орнына алуға болады. Демек, дифференциалданатын функциясының графигіне нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың теңдеуі,
.
түрінде болады, мұнда .
Нормалінің теңдеуі , мұнда
түрінде жазылады.
Функцияның өсуі және кемуі Берілген функцияның туындысының таңбасы бойынша ол функцияның өспелі не кемімелі болуын айқындайтын бірнеше теорема дәлелдейміз.
Теорема 1. Егер функциясы сегментінде үзіліссіз, туындысы ең болмағанда интервалында ақырлы болса, берілген функция сол сегментте тұрақты болу үшін барлық үшін шартының орындалсуы қажет және жеткілікті.
Қажеттілігі.Барлық үшін делік (бұндағы с – қандай да болса бір нақты сан). Онда барлық үшін
Жеткіліктілігі. Барлық үшін делік. Егер болса, Лагранж теоремасы бойынша:
(бұнда ).
Ал, шарт бойынша барлық үшін делінген. Олай болса с нүктесінде де демек,
яғни
теңдігі кез келген үшін орындалады, бұл сегментінде тұрақты деген сөз.
Салдар. Егер қандай да болса бір аралықтың бүкіл бойында пен фуекцияларының туындылары арқылы және өзара бірдей болып келсе, сол сегментте
болады, яғни ол екі функцияның айырымы кез келген тұрақты шама болады.
Дәлелдеу.Шарт бойынша:
демек, 1-теоремаға сәйкес:
,
яғни
Теорема 2. Егер функциясы сегментінде үзіліссіз, ең болмағанда интервалында аэқырлы туындысы бар болса, ол сол сегментінде кемімейтінфункция болу үшін барлық үшін шартының орындалуы қажет және жеткілікті.
