7- дәріс Тақырыбы: Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар Жоспар 1. Функцияның туындысы;
2. Туындының геометриялық және механикалық мағынасы;
3. Дифференциалдау ережелері;
4. Элементар функциялардың туындылары;
5. Кері функцияның туындысы;
6. Функцияның дифференциалы. Дифференциал формасының инварианттығы;
7. Тейлор формуласы және оның қолданылуы.
Функцияның жоғарғы ретті туындысы функциясы аралығында анықталсын. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, яғни
шегі бар болса, онда ол шек функциясының нүктесіндегі екінші ретті туындысы деп аталады да, символымен белгіленеді. Осылайша функцияның үшінші, төртінші, т.с.с. жоғарғы ретті туындылары анықталады.
Теорема(Лейбниц формуласы). функциялары рет дифференциалдансын. Онда келесі теңдік орындалады:
,
мұндағы .
Кері функцияның туындысы. Егер , функциясының бірмәнді үзіліссіз кері функциясы бар және дифференциалданатын, болса, онда функциясының туындысы бар болады және . Екінші ретті туындысы: .
Айқын емес түрде берілген функцияның туындысы. Егер функциясы дифференциалданатын функция және теңдігін қанағаттандыратын болса, онда -ті -тің функциясы деп қарастырып, оны бойынша дифференциалдау керек және алынған теңдеуді бойынша шешу керек. Сонда аламыз, мұнда . -ті табу үшін теңдеуді екі рет бойынша дифференциалдап, тағы да теңдеуді қатысты шешу керек және т.с.с.
Параметр арқылы берілген функцияның туындысы. Екі - функциялары Х–те берілген және дифференциалданатын болсын:
онда келесі параметр арқылы берілген функцияның туындысын табу ережесі орынды:
Функцияның жоғарғы ретті дифференциалы Егер нүктеде дифференциалданатын функцияның дифференциалы сол нүктеде дифференциалданатын функция болса, онда берілген функцияның дифференциалының да дифференциалы болады. Осы дифференциалданатын дифференциалды екінші ретті дифференциал деп атаймыз. Үшінші, төртінші ретті,... дифференциалдар да осылай анықталады.
