2-мысал. Функцияның үзіліссіздігінің анықтамасын пайдаланып, x=a нүктесінде үзіліссіздігін дәлелдеу керек:
Шешуі. Гейне бойынша үзіліссіздікті былай жазуға болады:
Мұнда Δx және Δy − 2-суретте көрсетілген аз өсімше болып табылады. Берілген функция үшін x=a нүктесінде келесі теңдікитер дұрыс
2-мысал. Функцияны үзіліссіздікке, сол жақты және оң жақты үзіліссіздікке зерттеп, үзіліс нүктесінің түрін анықтау керек
Шешуі. х≠1 болғанда функцияны түрінде жазуға болады, осыдан функция кез келген х≠1 мәндерінде үзіліссіз болады. х=1 болғанда функция 5- ке тең, aл
.
Ендеше, х=1 мәнінде функция үзілісті, себебі функцияның шегі бұл нүктедегі функциияның мәніне тең емес. х=1 нүктесі функцияның жөнделетін үзіліс нүктесі болады (3-сурет).
3-сурет
3-мысал. функциясын үзіліссіздікке зерттеу керек, оң жақты және сол жақты үзіліссіздікке және үзіліс нүктесінің түрін анықтау керек.
Шешуі. Функцияның анықтамасынан х-тің бүтін емес барлық мәндерінде үзіліссіз екендігі шығады, ал , , мәндерінде функция тұрақты және оның мәні сәйкесінше п- ге тең. мәнін алайық, онда , . Осыдан (п= 0, ± 1, ±2, ...) нүктесінде шегі жоқ, ендеше функция нүктесінде үзіліссіз. Әрбір нүктесінде оң жақты және сол жақты шектер бар және бұл шектер тең емес, сондықтан нүктелері 1-текті үзіліс нүктелері болып табылады. Әрбір нүктесінде оң жақты шек функцияның осы нүктедегі мәніне тең. Ендеше әрбір нүктесінде функция оң жақты үзіліссіз.
