Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және жеткілікті шарттары Теорема 1. Егер тізбегі кемімейтін болып және жоғарыдан қандай да бір В санымен шенделген болса, онда ол тізбек жинақталады және оның шегі М саны В санынан артық болмайды, яғни
Дәлелдеуі. жоғарыдан шенделген тізбек, сондықтан оны жоғарыдан шенделген бос емес жиын деп қарастырайық., оның дәл жоғарғы шені М бар болады. Енді осы М саны тізбегінің шегі болатынын дәлелдейік:болғандықтан, кез – келген үшін табылып,
теңсіздігі орындалады. кемімейтін тізбек
болғандықтан, барлық үшін бұл теңсіздік негізінде . Ал тізбегінің кез – келген мүшесі өзінің дәл жоғарғы шекарасынан артпайтын болғандықтан, барлық үшін және кез –келген үшін . сондықтан, . Алайда соңғы теңсіздіктерді біріктіргенде шығатын теңсіздігі барлық үшін орындалады, яғни . Әрине, ( дәл жоғарғы шек барлық басқа жоғарғы шектердің ең кішісі ) болатыны түсінікті
Теорема 2. Егер тізбегі өспейтін тізбек болып және төменнен қандай болса да бір А санымен шенелген болса, онда ол тізбек жинақталады және оның шегі т саны А санынан кем болмайды, яғни . Егер екенін ескерсек, онда екінші теореманы да бірінші теореманың дәлелдемесіне ұқсас дәлелдеуге болады.
Ескерту. Кемімейтін тізбек төменнен шенделген (мысалы, өзінің бірінші мүшесімен) тізбек болады. Сондықтан, егер кемімейтін тізбек жоғарыдан шенделген болса, онда екі жағынан да шенделеді, яғни шенделген.
Теорема 3. Бірсарынды тізбек жинақталуы үшін, оның шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілік. Бірсарынды тізбегі жинақталады. Ал жинақталатын тізбектің шенделген болатыны белгілі.
Жеткіліктілік: тізбегі бірсарынды, әрі шенделген болсын. Сонда тізбектің шегінің бар болуы, не 1 - теоремадан ( егер кемімейтін тізбек болса) , не 2 - теоремадан ( егер өспейтін тізбек болса) шығады.
