8- дәріс Тақырыбы: Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары Жоспар 1. Ферма теоремасы;
2. Ролль теоремасы;
3. Лагранж теоремасы;
4. Коши теоремасы.
Теорема (Ферма).функциясы 1) сегментінде анықталса; 2) сол сегменттің ішкі нүктесінде өзінің не ең үлкен не ең кіші мәндерін қабылдасын. Егер бар болса, онда орындалады.
Дәлелдеу. функциясы нүктесінде ең кіші мәнін қабылдайды деп жориық. Онда үшін
арақатынасы орындалады.
Егер болса, онда .
Бұдан
. (1)
Егер болса, онда .
Бұдан
. (2)
Теореманың шарты бойынша
. (3)
Бұл соңғы шек шамасы нүктесінде қай жағынан ұмтылса да бірдей, яғни (3) шектің мәні -тің нүктесіне бір жағынан ұмтылуына тәуелді емес.
Демек (1) мен (2) арақатынастарды бірге қарастырсақ, онда болуға тиіс, дәлелдеу керегі осы. Егер функциясы нүктесінде ең үлкен мәнін қабылдайтын жағдайда да Ферма теоремасы осы сияқты дәлелденеді.
Теорема (Ролль).функциясы
1. сегментінде үзіліссіз;
2. интервалында дифференциалдансын;
3. болсын, онда :
теңдігі орындалады.
Теорема (Лагранж).функциясы
1. сегментінде үзіліссіз;
2. интервалында дифференциалдансын, онда
:
теңдігі орындалады. ч
Теорема (Коши). және функциялары
1. сегментінде үзіліссіз;
2. интервалында дифференциалдансын;
3. , болса, онда :
