Қазақстан республикасы ғылым және жоғары білім министрлігі ш. УӘлиханов атындағы

388 
△
КДМ = 
△
AMF→ (
∠
1=
∠
2, 
∠
3=
∠
4 – сәйкесінше қабырғалары параллель болатын бұрыштар)
∠
2+
∠
4 = 
∠
1+
∠
3 = 90°, сондықтан PQET – төртбұрыш, параллелограмм, тік төртбұрыш,
қорыта айтқанда шаршы болады. 
S
АСДК = 
|PQ|× |АC| = 
𝑎√5
2
× |PQ| 
|PQ| = S
АСДК 
/
|АC| = 
(
𝑎
√5
)
2
×
𝑎
√5
; 
S
PQET 
= PQ
2
= 
(
𝑎
√5
)
2
=
1
5
𝑎
2
S
PQET 
= 
1
5
S
АВСД
2.АВСД параллелограмм берілген M нүктесі AB – ның ортасы, N нүктесі BC – ның ортасы. Егер АВ 
= 
= 𝑎
, BC = 
𝑏
болса, МД және AN квадраттарының қосындысын табыңдар. 
Берілгені: 
АВСД – параллеллограм,
M - AB – ның ортасы,
N нүктесі BC – ның ортасы,
АВ = 
𝑎
, BC = 
𝑏
MД
2
+ AN
2
- ? 
Шешуі:
△
МАД және 
△
ABN үшбұрыштары үшін косинустар теоремасын қолданайық.
(
∠
В = 180° - 
∠
A); 
{
МД
2
= АД
2
+ МА
2
− 2 ∙ АД ∙ МА cos
∠А
𝐴𝑁
2
= А𝐵
2
+ 𝐵𝑁
2
− 2 ∙ А𝐵 ∙ 𝐵𝑁 cos
∠B
{
МД
2
= 𝑏
2
+
𝑎
4
2
− 2 ∙ 𝑏 ∙
𝑎
2
cos
∠А
𝐴𝑁
2
= 𝑎
2
+
𝑏
4
2
− 2 ∙ 𝑎 ∙
𝑏
2
cos
(180° − ∠А)
{
МД
2
=
𝑎
4
2
+ 𝑏
2
− 𝑎𝑏 cos
∠А
𝐴𝑁
2
= 𝑎
2
+
𝑏
4
2
− 𝑎𝑏 cos
∠А)
+ 
MД
2
+ AN
2 
= a
2
+ b
2 
= 
𝑎
2
+𝑏
2
4
= 
4𝑎
2
+4𝑏
2
+𝑎
2
+𝑏
2
4
= 
5𝑎
2
+5𝑏
2
4
=
5
4 
(𝑎
2
+ 𝑏
2
)
MД
2
+ AN
2
= 
5
4 
(𝑎
2
+ 𝑏
2
)
Жауабы: 
5
4 
(𝑎
2
+ 𝑏
2
)
3. 
Параллеллограмның 
ішкі 
бұрыштарының 
биссектрисалары 
диагоналдары 
көршілес 
қабырғаларының айырмасында тең болатын тік төртбұрышты құрайтынын дәлелдеңдер. 
Берілгені: 
АВСД – параллеллограмм.
АЕ, BN, CP, ДМ – сәйкесінше
∠
A, 
∠
В, 
∠
С, 
∠
Д 
– 
бұрыштарының 
биссектрисалары.
Д/к: OK = AД – СД 
Дәлелдеуі: Биссектрисаларды созғаннан кейін OSKP 
төртбұрыш пайда болды, себебі 
∠
AОВ = 180
°
- 90
°
= 90
°
, сондықтан 
∠
SOR = 90
°
. Дәл солай 
∠
SКR= 
90
°
болатынын дәлелдейміз. 
АОКР – төртбұрышты параллелограмм екенін дәлелдейік. 
В 
М 
А 
С 
Д 
N 
В 
А 
С 
Д 
Е 
М 
К 
О 
S 
R 
5 
1 
2
3 
5
3 
4
3 

389 
∠
4 = 
∠
3 = 
∠
1, осыдан АВ = AN, 
∠
5 = 
∠
6, РД = ДС. Сол себептен 
△
AON = 
△
РКД (бір қабырғасы 
мен іргелес жатқан бұрыштары бойынша) 
АО = PK , OK = AP 
AP = АД – РД = АД – СД
ОК = АД – СД, дәлелдеу аяқталды. 
"Тіктөртбұрыш" тақырыбы 
[2-7].
 
1. Егер В бұрышының биссектрисасы Е нүктесінде АД қабырғасын бөліп, оны AE= 17 см және 
EД=21 см бөліктеріне бөлсе, АВСД тіктөртбұрышының периметрін есептеңдер. 
2. АВСД тіктөртбұрышында АВ қабырғасы 12 см, ал АВД бұрышы 60°. АС диагоналін 
табыңдар. 
3. АВСД тіктөртбұрышының АС және ВД диагональдары O нүктесінде қиылысады, AOV 
бұрышы 40°-қа тең. ВАО бұрышын табыңдар. 
"Параллелограмм" Тақырыбы 
1. АВСД параллелограммының АД қабырғасынан АВ=АК болатындай етіп, К нүктесі алынды. 
ABC бұрышының ВК биссектрисасы екенін дәлелдеңдер. Егер 
АВ = 12 см, КД = 7 см болса, АВСД параллелограммының периметрін табыңдар,
2. ABСД 
параллелограммының 
А 
бұрышының 
биссектрисасы 
P 
нүктесінде 
ВСқабырғасынқиып өтеді, BР= 4 см және РС= 10 см. ABСД параллелограммының периметрін 
есептеңдер. 
3. Параллелограммның бір қабырғасы екіншісінен 3 есе кіші, ал параллелограммның 
периметрі 24 см.. Параллелограммның қабырғаларын есептеңдер. 
"Трапеция"Тақырыбы 
1. MNPQ трапециясында МQ және NP табандары. Егер N бұрышы 109°, ал Q бұрышы 37° 
болса, МQ және NР бұрыштарын табыңдар
2. Теңбүйірлі трапецияның бір бұрышы-115°. Трапецияның қалған бұрыштарын табыңдар. 
3. AВСД трапециясында AB табаны AB және СД бүйір қабырғалырымен 70° және 40° 
бұрыштарды құрайды. Трапецияның қалған бұрыштарын анықтаңдар. 
"Ромб" Тақырыбы 
1. АВСК ромбының диагональдары О нүктесінде қиылысады. Егер трапеция бұрышының 
біреуі 120° болса, AOK үшбұрышының бұрыштарын табыңдар. 
2. Ромбтың диагональдарының бірі оның қабырғасына тең. Ромбтың бұрыштарын анықтаңдар. 
3. AВСД ромбында А бұрышы 140°-ге тең. Егер С нүктесі диагональдардың қиылысу нүктесі 
болса, AОВ үшбұрышының бұрыштарын анықтаңдар. 
Әдебиет 
 
1. Каганов Э. Д. 400 самых интересных дорог по школьному курсу математики для 6-11 
классов. – М. ЮНВЕС – 1998 288 с. 
2. Зачеты в системе дифференцированного обучения математике /Л.О. Денищева, Л.В. 
Кузнецова – М.: Просвещение, 1993. 
3. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. – 7-е изд. – М.: 
Просвещение, 2003. 
4. Рустюмов И. П., Рустюмова С. П. Пособие для подготовки единому национальному 
тестированию по математике. Учебно-методичное пособие. Издание четвёрты, исправленное 
– Алматы, 2010 – 216 с. 
5. Погорелов А. В. Геометрия: Орта мектептің 7-11 сыныптарына арналған оқулық. 3 
басылымы – Алматы, Рауан. 1997 – 384 б. 
6. Атанасян Л. С. Геометрия. Орта мектептің 7-9 сыныптарына арналған оқулық(Л. С. 
Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, және т.б. – Алматы, Рауан. 1992 – 336 б.) 
7. Солтан Г. Н., Жұмағұлова А. Ж., Геометрия – жалпы білім беретін мектептің 8 сынып 
оқушыларына арналған оқулық – Көкшетау, Келешек – 2030, 2016 -138 б. 

жүктеу/скачать 19,8 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: