§22. Сызықтық біртектес емес дифференциалдық

164
(
)
( )
(
)
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
у
у
а x у
у
а x у
у
у
а x у
а x у
*
*
*
*
*
*
1
2
1
2
″
′
″
′
+
+
+
+
+
=
+
+
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
( )
( )( )
( )
( )
( )
у
а x у
а x у
f x
f x
1
2
0
,
″
′
+
+
+
=
+ =
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
ал мұның өзі 
у
у
*
+
 функциясы (4.112) теңдеуінің шешімі 
екендігін білдіреді. Ал енді 
у
у
С у
С у
*
1 1
2 2
=
+
+
                         (4.115)
функциясы (4.112) теңдеуінің жалпы шешімін кескіндейтінін 
көрсетейік. Ол үшін (4.115) шешімінен 
( )
( )
у
у х
у
у х
0
0
0
0
,
=
′ = ′
                       (4.116)
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын жалғыз дербес шешімді 
айырып алуға болатынын дəлелдеген жөн. (4.115) функциясын 
дифференциалдап, (4.116) бастапқы шарттарын (4.115) функция-
сы мен оның туындысына енгізген күнде 
С С
1
2
,
 белгісізі бар
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
С у х
С у х
у
у
х
С у х
С у х
у
у
х
*
1 1
0
2 2
0
0
0
*
1 1
0
2 2
0
0
0
,
+
=
−
′
′
+
′
= ′ −
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
теңдеулер жүйесіне келеміз, мұнда 
( )
( )
у
у х
у
у х
0
0
0
0
,
=
′ = ′
. Осы 
жүйенің анықтауышы 
х
х
0
=
 нүктесінде 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 функ-
циялары үшін алынған 
( )
W х
0
 Вронский анықтауышы болып 
табылады. 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 функциялары сызықтық тəуелсіз 
(іргелі шешімдер жүйесін түзейді), атап айтқанда 
( )
W х
0
0.
≠
 Де-
мек жүйе жалғыз шешімге ие болады: 
С
С
0
1
1
=
 жəне 
С
С
0
2
2
=
. 
( )
( )
у
у
С у х
С у
х
*
0
0
1 1
2 2
=
+
+
 шешімі (4.116) бастапқы шартта-
рын қанағаттандыратын (4.112) теңдеуінің дербес шешімі болып 
табылады. Теорема дəлелденді.
22.2. Еркін тұрақтыларды вариациялау əдісі
Сызықтық біртектес емес (4.112) дифференциалдық теңдеуін 
қарастырайық. Оның жалпы шешімі (4.114) функциясы болып та-
былады, атап айтқанда 

165
у
у
у
*
=
+
.
(4.112) теңдеуінің у
*
  дербес шешімін, сəйкес біртектес (4.113) 
теңдеуінің 
у
 жалпы шешімі белгілі болған жағдайда, еркін 
тұрақтыларды вариациялау əдісі (Лагранж əдісі) бойынша 
төмендегідей табуға болады. 
( )
( )
у
С у х
С у х
1 1
2 2
=
+
 - (4.113) тең-
деуінің жалпы шешімі болсын. Жалпы теңдеудегі С
1
 жəне С
2 
тұрақтыларын 
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у х
*
1
1
2
2
=
+
                   (4.117)
функциясы (4.112) теңдеуінің шешімі болатындай 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функцияларына алмастырамыз. Осы функцияның 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у х
С х у х
С х у х
*
1
1
1
1
2
2
2
2
′
= ′
+
′
+ ′
+
′
туындысын табамыз. 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функцияларын 
( ) ( )
( ) ( )
С х у х
С х у х
1
1
2
2
0
′
+ ′
=
                    (4.118)
болатындай аламыз. Сонда 
( )
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у х
*
1
1
2
2
,
′
=
+
′
′
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у
х
С х у х
С х у х
*
1
1
1
2
2
2
2
1
.
″
=
+
+
+
′
′
′′
′
′
′′
у
*
,
( )
у
*
′
 жəне 
( )
у
*
″
 өрнектерін (4.112)-ге енгізген шақта 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
С х у х
С х у
х
С х у х
С х у х
1
1
1
2
2
2
2
1
+
+
+
′
′
′′
′
′
′′
+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
а х С х у х
С х у х
а х С х у х
С х у х
f x
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
,
′
+
′
+
+
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
немесе 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
С х
у х
а х у х
а х у х
С х
у х
а х у х
а х у х
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
⎡
⎤
⎡
⎤
+
+
+
+
+
+
′′
′
′′
′
⎣
⎦
⎣
⎦
( ) ( )
( ) ( ) ( )
С х у х
С х у х
f x
1
1
2
2
.
+ ′
′
+ ′
′
=
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 - (4.113) теңдеуінің шешімдері болатындық-
тан, квадрат жақшалардағы өрнектер нөлге тең, олай болса 

166
( ) ( )
( ) ( ) ( )
С х у х
С х у х
f x
1
1
2
2
′
′
+ ′
′
=
                 (4.119) 
Сонымен, 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функциялары (4.118) мен (4.119) 
теңдеулерін қамтитын 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
С х у х
С х у х
С х у х
С х у х
f x
1
1
2
2
1
1
2
2
0,
′
+ ′
=
′
′
+ ′
′
=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
              (4.120)
теңдеулер жүйесін қанағаттандырғанда, (4.117) функциясы 
(4.112) теңдеуінің у
*
 дербес шешімі  болады.  Жүйе  анықтауышы 
( )
( )
( )
( )
у x
у x
у x
у x
1
2
2
1
0,
≠
′
′
 өйткені  бұл  -  (4.113)  теңдеуінің  
( )
у x
1
  жəне
( )
у x
2
 дербес шешімдер іргелі жүйесіне құрылған Вронский 
анықтауышы. Сондықтан (4.120) жүйесі жалғыз 
( )
( )
С х
х
1
1
ϕ
=
′
 
жəне 
( )
( )
С х
х
2
2
ϕ
=
′
 шешіміне ие болады, мұнда 
( )
х
1
ϕ
 пен 
( )
х
2
ϕ
 - 
кейбір х-ке тəуелді функциялар. Осы функцияларды интегралдап, 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функцияларын табамыз, ал одан соң (4.117) 
формуласы бойынша (4.112) теңдеуінің дербес шешімін құрамыз.
Мысал. 
у
у
x
1
cos
′′ + =
 теңдеуінің жалпы шешімін табу талап 
етіледі.
Шешімі.  Сəйкес 
у
у
0
′′ + =
 біртектес теңдеуінің 
у
 жал-
пы шешімін табамыз. 
0
1
2
=
+
k
 теңдеуінен 
k
i k
i
1
2
,
.
=
= −
 
Демек 
у
С
x
С
x
1
2
cos
sin .
=
+
 Енді бастапқы теңдеудің у
*
  дер-
бес шешімін табамыз. Ол (4.117) түрінде іздестіріледі: 
( )
( )
у
С х
x
С х
x
*
1
2
cos
sin .
=
+
 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
-ті табу үшін 
(4.120) түріндегідей 
( )
( )
( )
C
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
x
x
1
2
1
2
cos
sin
0
1
( sin )
( )cos
cos
⎧
+
=
′
′
⎪
⎨
−
+
=
′
′
⎪⎩
жүйесін құрамыз жəне оны шешеміз:
x
x
x
x
x
tgx
x
x
x
x
2
2
1
0
sin
cos
sin
cos
sin
1,
,
1
sin
cos
cos
cos
Δ =
=
+
=
Δ =
= −
−

167
x
x
tgx
x
x
x
x
2
1
cos
0
0
sin
1,
,
1
1
sin
cos
cos
cos
Δ =
=
Δ =
= −
−
( )
( ) (
)
С х
tgx
С х
tgx dx
x
1
1
1
ln cos ;
Δ
=
= −
⇒
= −
=
′
Δ
∫
( )
( )
С х
С х
dx
x
2
2
2
1
1
.
Δ
′
=
= ⇒
= ⋅ =
Δ
∫
Берілген теңдеудің дербес шешімі 
y
x
x
x
x
*
ln cos cos
sin
=
+
түрінде жазылады. Демек берілген теңдеудін жалпы шешімі 
(
)
у
у
y
С
x
С
x
x
x
x
x
*
1
2
cos
sin
ln cos cos
sin
=
+
=
+
+
+
түріне келеді. СБЕД теңдеулерінің дербес шешімдерін іздеп табу-
да келесі теорема пайдалы болуы мүмкін.
Теорема 4.7. (шешімдердің қабаттасуы жөнінде). Егер 
(4.112) теңдеуінің оң жағы екі функцияның қосындысы түрінде 
кескінделсе, атап айтқанда 
( )
( )
( )
f x
f x
f
x
1
2
=
+
 болса, ал 
y
*
1
 жəне 
y
*
2
 функциялары сəйкесінше 
( )
( )
( )
у
а х у
а х y
f х
1
2
1
′′ +
′ +
=
 жəне 
( )
( )
( )
у
а х у
а х y
f
х
1
2
2
′′ +
′ +
=
 теңдеулерінің дербес шешімдері 
болса, онда 
y
y
y
*
*
*
1
2
=
+
 функциясы берілген теңдеудің шешімі 
болып табылады. Расында, 
(
)
( )
(
)
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
y
y
а х
y
y
а х
y
y
y
а х
y
а х y
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
″
′
″
′
+
+
+
+
+
=
+
+
+
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
y
а х
y
а х y
f х
f
х
f х
*
*
*
2
1
2
2
2
1
2
″
′
+
+
+
=
+
=
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
.

168
§23. Тұрақты коэффициенттері жəне арнайы оң жағы бар 
екінші ретті сызықтық біртектес емес дифференциалдық 
теңдеулерді интегралдау
Екінші ретті тұрақты коэффициенттері бар сызықтық бір-
тектес емес 
( )
у
рy
qу
f x
′′ +
′ +
=
                          (4.121) 
теңдеуін қарастырайық, мұнда р жəне q - кейбір сандар.
4.6-теоремаға сəйкес (4.121) теңдеуінің жалпы шешімі сəй-
кес біртектес теңдеудің 
у
 жалпы шешімі мен біртектес емес 
теңдеудің у
*
 дербес шешімінің қосындысы түрінде кескінделеді. 
(4.121) теңдеуінің дербес шешімі еркін тұрақтыларды вариация-
лау əдісімен табылуы мүмкін (§17.2). Тұрақты коэффициенттері 
бар (4.121) теңдеулері үшін у
*
-ті табудың неғұрлым қарапайым 
əдісі бар. Оны (4.121) теңдеуінің 
( )
x
f
 оң жағы арнайы түрде 
кескінделгенде жүзеге асыруға болады.
( )
x
f
 оң жағы 
I. 
( )
( )
x
n
f x
P x e
,
α
=
⋅
II. 
( )
( )
( )
(
)
x
n
m
f x
e
P x
x
Q
х
x
cos
sin
α
β
β
=
⋅
+
⋅
түрінде кескінделген жағдайларға тоқталамыз. Анықталмаған 
коэффициенттер əдісі деп аталатын əдістің мəн-мағынасы 
төмендегідей:
Күтілетін дербес шешімді (4.121) теңдеуінің оң жақ нұсқасына 
келтіріп жазады, одан соң оны (4.121) теңдеуіне енгізіп, шыққан 
тепе-теңдіктен коэффициенттер мəнін анықтайды.
1-жағдай. (4.121) теңдеуінің оң жағы 
( )
( )
x
n
f x
P x e
,
α
=
⋅
 
түрінде кескінделген, мұнда 
( )
n
R P x
,
α
∈
 - п-дəрежелі көпмүше. 
(4.121) теңдеуі
( )
x
n
у
рy
qу
P x e
α
′′ +
′ +
=
⋅
                     (4.122) 
түрінде жазылады. Осы жағдайда у
*
 дербес шешімін 
( )
r
x
n
у
х Q x e
*
α
=
⋅
                            (4.123)

169
түрінде іздестіреміз, мұндағы r  дегеніміз - 
α
 түбірінің еселігін 
көрсететін сан, ал 
( )
n
n
n
n
Q x
A x
A x
A
1
0
1
...
−
=
+
+ +
 дегеніміз - 
(
)
i
А
i
n
1,2,...,
=
 анықталмаған коэффициенттері бар п-дəрежелі 
көпмүше. 
α-ның түбір болу-болмауына жəне түбірдің еселігіне байла-
нысты кездесетін мүмкіндіктер:
а)  α саны 
k
p k
q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуінің 
түбірі болмайды деп ұйғарайық, атап айтқанда 
k
1,2
α
≠
 болсын. 
Онда 
( )
( )
( )
( )
x
x
x
n
n
n
r
у
Q x e
у
Q x e
Q x e
*
*
0,
,
,
α
α
α
α
′
=
=
⋅
= ′
⋅
+
⋅
⋅
( )
( )
( )
( )
x
x
x
n
n
n
у
Q x e
Q x e
Q x e
*
2
2
.
α
α
α
α
α
″
= ′′ ⋅
+
′
⋅
⋅ +
⋅
⋅
у
* 
функциясы мен оның туындыларын (4.122)-ге енгізіп, 
x
e
α
-ке қысқартқаннан кейін 
( ) (
) ( )
(
)
( )
( )
n
n
n
n
Q x
p Q x
p
q Q x
P x
2
2
.
α
α
α
+
+
+
+
+
=
′′
′
   (4.124)
(4.124)-тің сол жағы анықталмаған коэффициенттері бар 
п-дəрежелі көпмүше, оң жағы – белгілі коэффициенттері 
бар  п-дəрежелі көпмүше. х-тің бірдей дəрежелері тұсындағы 
коэффициенттерді теңестіріп, 
n
A A
A
0
1
, , ...,
 коэффициенттерін 
анықтау үшін (п+1) алгебралық теңдеулер жүйесін шығарып ала-
мыз.
б) 
α
 саны 
k
p k
q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуінің 
бір еселі (қарапайым) түбірі болсын, атап айтқанда 
k
k
1
2
α
= ≠
 деп 
ұйғарайық. Мұндайда шешімді 
( )
x
n
у
Q x e
*
α
=
⋅
 түрінде іздеуге 
болмайды, өйткені 
p
q
2
0
α
α
+ ⋅ + =
 жəне (4.124) теңдеуі 
( ) (
) ( )
( )
n
n
n
Q x
p Q x
P x
2
.
α
+
+
=
′′
′
түріне келеді. Сол жағында (п - 1)-дəрежелі көпмүше болса, оң 
жағында п-дəрежелі көпмүше. у
* 
шешімінде көпмүшелердің тепе-
теңдігіне қол жеткізу үшін (п+1)-дəрежелі көпмүшеге ие болу-
ымыз керек. Сондықтан у
*
  дербес шешімін 
( )
x
n
у
х Q x e
*
α
= ⋅
⋅
 
түрінде іздейтін боламыз ((4.123) теңдігінде r = 1 деп ұйғарылған).
в) Енді α саны 
k
p k
q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуінің 

170
екі еселі түбірі болсын, атап айтқанда 
k
k
1
2
α
= =
 деп ұйғарайық. 
Мұндайда 
p
q
2
0
α
α
+ ⋅ + =
 жəне 
p
2
0
α
+ =
, сондықтан (4.124) 
теңдеуі 
( )
( )
n
n
Q x
P x
.
=
′′
 түріне келеді. Сол жағында (п - 2)-дəрежелі 
көпмүше тұр. Сол жағында п-дəрежелі көпмүше болу үшін у
*
 дер-
бес шешімін 
( )
x
n
у
х
Q x e
*
2
α
=
⋅
⋅
түрінде іздестірген орынды ((4.123) теңдігінде r = 2 деп ұйға-
рылады).
2-жағдай. (4.121) теңдеуінің оң жағы 
( )
( )
( )
(
)
x
n
m
f x
e
P x
x
Q
х
x
cos
sin
α
β
β
=
⋅
+
⋅
түрінде кескінделген болсын, мұнда 
( )
n
P x
 жəне 
( )
m
Q
х
 - 
сəйкесінше п жəне т-дəрежелі көпмүшелер, 
α
 жəне 
β
 - нақты 
сандар. (4.121) теңдеуі 
( )
( )
(
)
x
n
m
у
рy
qу
e
P x
x
Q
х
x
cos
sin
α
β
β
′′ +
′ +
==
⋅
+
⋅
   (4.125) 
түрінде жазылады. Осы жағдайда (4.125) теңдеуінің у
*
  дербес 
шешімін 
( )
( )
(
)
r
x
l
l
у
х
e
M x
x
N х
x
*
cos
sin
α
β
β
=
⋅
⋅
+
⋅
      (4.126) 
түрінде іздестірілетінін көрсетуге болады, мұндағы r  саны 
k
p k
q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуіндегі 
i
α β
+
 түбірінің 
еселігі, 
( )
l
M x
 жəне 
( )
l
N х
 - анықталмаған коэффициенттері бар 
l-дəрежелі көпмүшелер, l - 
( )
n
P x
 жəне 
( )
m
Q
х
 көпмүшелерінің ең 
үлкен дəрежесі, атап айтқанда 
l
n m
max( , ).
=
 
Ескерту. 1. (4.126) функцияларын (4.125)-ке енгізгеннен ке-
йін, теңдеудің сол жағы мен оң жағында тұрған аттас тригоно-
метриялық функциялар тұсындағы көпмүшелерді теңестіреді.
2. (4.126) өрнегі, 
( )
n
P x
0
≡
 немесе 
( )
m
Q
х
0
=
 болғанда да 
өзгермейді.
3. Егер (4.121) теңдеуінің оң жағы І немесе ІІ түріндегі 
функ циялардың қосындысы болып келсе, онда у
*
-ті табу үшін 
шешімдердің қабаттасуы жөніндегі 4.7-теорема қолданылады.
1-мысал. 
у
у
у
х
2
4
′′ −
′ + = −
 теңдеуінің жалпы шешімін табу 
талап етіледі.

171
Шешімі. Сəйкес біртектес 
у
у
у
2
0
′′ −
′ + =
 дифференциалдық 
теңдеуінің 
у
 жалпы шешімін табамыз. 
k
k
2
2
1 0
−
+ =
 харак-
теристикалық теңдеуі екі еселі 
k
1
1
=
 түбіріне ие (
k
k
1
2
1
=
=
). 
Олай болса 
x
x
у
С e
С хe
1
2
.
=
+
 Енді бастапқы теңдеудің у
*
  дер-
бес шешімін іздестіреміз. Оның оң жағындағы 
(
)
x
х
х
e
0
4
4
⋅
− =
− ⋅
 
өрнегі 
( )
x
P x e
0
1
⋅
⋅
  формуласы түрінде жазылған, онымен 
бірге 
0
α
=
 саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмайды: 
k
1
α ≠
. Сондықтан (4.123) формуласына сəйкес у
*
 дербес шешімін 
( )
x
у
Q x e
*
0
1
⋅
=
⋅
 түрінде іздестіреміз, атап айтқанда 
у
Ах
В
*
=
+
, 
мұнда  А  жəне  В -  анықталмаған  коэффициенттер.  Сонда
( )
( )
у
А у
*
*
,
0.
′
″
=
=
      
( ) ( )
у
у
у
*
*
*
,
,
′
″
-ті    бастапқы    теңдеуге 
енгізіп, 
А
Ах
В
х
2
4
−
+
+ = −
 немесе 
(
)
Ах
А
В
х
2
4
+ −
+
= −
 өрне -
гін шығарып аламыз. Бірдей дəрежелі x  тұсындағы коэф фи-
циенттерді теңестіріп, 
А
А
В
1,
2
4
=
−
+ = −
⎧
⎨
⎩
теңдеулер жүйесіне келеміз. Осыдан 
А
В
1,
2.
=
= −
 Сондықтан 
берілген теңдеудің дербес шешімі у
*
=х - 2 түрінде табылады. Де-
мек теңдеудің ізделінді жалпы шешімі 
x
x
у
у
у
С e
С хe
х
*
1
2
2
= +
=
+
+ −
түрінде кескінделеді. 
2-мысал. 
у
у
у
x
4
13
40cos3
′′ −
′ +
=
 теңдеуінің шешімін табу 
талап етіледі.
Шешімі.  СБЕДТ жалпы шешімінің түрі 
у
у
у
*
=
+
. Ал- 
дымен 
у
у
у
4
13
0
′′ −
′ +
=
 біртектес теңдеуінің 
у
 шеші-
мін табамыз. 
k
k
2
4
13 0
−
+
=
 характеристикалық тең-
деуінің түбірлері 
k
i k
i
1
2
2 3 ,
2 3
= +
= −
 болғандықтан, 
(
)
x
у
e
С
x
С
x
2
1
2
cos3
sin3
=
+
. Енді у
*
 дербес шешімін таба-
мыз. СБЕД теңдеуінің оң жағын 
( )
(
)
x
f x
e
x
x
0
40cos3
0 sin3
⋅
=
+ ⋅
 
түрінде кескіндеуге болады. 
i
i
0,
3,
3
α
β
α β
=
=
+
=
 сандары 
характеристикалық теңдеудің түбірлерімен беттеспейтіндік
тен, r = 0  болады.  (4.126)  формуласына  сəйкес  дербес  шешімді 

172
у
А
x
В
x
*
cos3
sin3
=
+
*
түрінде іздестіреміз. у
*
 жəне оның 
( )
( )
у
А
x
В
x
у
А
x
В
x
*
*
3 sin3
3 cos3 ,
9 cos3
9 sin3
′
″
= −
+
= −
−
туындыларын бастапқы теңдеуге енгіземіз. Сонда 
(
)
А
x
В
x
А
x
В
x
9 cos3
9 sin3
4 3 sin3
3 cos3
−
−
− −
+
+
(
)
А
x
В
x
x
13 cos3
sin3
40cos3
+
+
=
немесе 
(
)
(
)
А
В
А
x
В
А
В
x
x
9
12
13 cos3
9
12
13
40cos3
0 sin3
−
−
+
+ −
+
+
=
+ ⋅
болатыны шығады. Бұдан 
А
В
А
В
4
12
40,
12
4
0.
−
=
+
=
⎧
⎨
⎩
Демек 
А
В
1,
3.
=
= −
 Сондықтан 
у
x
x
*
cos3
3sin3 ,
=
−
 ал жал-
пы шешім 
(
)
x
у
e
С
x
С
x
x
x
2
1
2
cos3
sin3
cos3
3sin3
=
+
+
−
түріне келеді.
Мысалдар. Төменде келтірілген дифференциалдық теңдеу-
лер дің дербес шешімдерін анықтаңыз. 
а) 
x
у
у
у
e
3
2
5
,
′′ − ′ +
= +
                 в) 
у
у
x
x
4
sin2
cos7 ,
′′ +
=
+
б) 
у
у
у
2
2,
′′ −
′ + =
                          г) 
у
у
x
х
x
5cos2
sin2
′′ + =
−
д) 
у
у
х
x
2
3
1 cos
′′ − ′ =
− +
.
Жауаптары: 
а) 
x
А
хВe
,
+
              в) 
(
)
х A
x
B
x
С
x
D
x
cos2
sin2
cos7
sin7 ,
+
+
+
б) А,                         г) 
(
)
(
)
Аx
В
x
Cx
D
x
cos2
sin2 ,
+
+
+
д) 
(
)
x Aх
Bx
C
D
x
E
x
2
cos
sin
+
+
+
+

173

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: