Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

98
іздестіріп табу. Қарапайым жағдайда мұндай мəселені шешу 
интегралды есептеуге айналады. Сондықтан дифференциалдық 
теңдеу шешімін оның интегралы деп те атай береді. Сол 
сияқты берілген дифференциалдық теңдеу қандай да туынды-
сы жоқ теңдеуден салдар ретінде шықса, соңғысын берілген 
дифференциалдық теңдеудің интегралы дейді.
(4.1) теңдеуін қанағаттандыратын, атап айтқанда, теңдеуге 
қойғаннан оны тепе-теңдікке айналдыратын y = φ (x) функция-
сын теңдеудің шешімі дейді. Дифференциалдық теңдеуді шешу 
немесе интегралдау дегеніміз – берілген облыста оның барлық 
шешімдерін табу деген сөз.
Шешім графигін интегралдық сызық  деп атайды. y 
функциясының туындысы болып келетін үзіліссіз f(x) функция-
сы бойынша y функциясын іздестіру, атап айтқанда, интегралдық 
есептеудің негізгі жолы – қарапайым y
/
= f(x) дифференциалдық 
теңдеуіне келтіретінін байқаймыз. Бұл теңдеудің жалпы шешімі
y =∫f(x)dx + C                                   (4.3)
болып табылады, мұндағы C – кез келген тұрақты, ал инте-
грал  f(x)  функциясының алғаш бейнелерінің бірін кескіндейді. 
C тұрақтысының үзіліссіз болу шартында осы қарапайым 
дифференциалдық теңдеудің кез келген шешімін алуға бола-
ды. Жоғары ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдағанда 
бірнеше еркін тұрақты пайда болады. Мəселен, екінші ретті 
y
//
=  0  теңдеуін шешетін болсақ, алдымен у
/
=c
1
 туындысын тау-
ып, одан кейін 
у
с dx
c
c x
c
1
2
1
2
=
+ =
+
∫
 шешіміне келеміз, яғни 
екінші ретті теңдеуде екі тəуелсіз тұрақты бар, атaп айтқанда 
соңғы формуладағы тəуелсіз тұрақтылар саны теңдеу ретіне 
тең. Мұндай шешімді теңдеудің жалпы шешімі дейді, берілген 
жағдайда ол дифференциалдық теңдеу шешімдерінің шексіз 
жиынтығын кескіндейді.
1-мысал. y =sinx функциясы - екінші ретті 
у
//
 +y = 0                                          (4.4)
дифференциалдық теңдеуінің шешімі (интегралы) болып табыла-
ды, өйткені y орнына sinx мəнін (2) теңдеуіне қойғаннан, ол
(sin x)
//
+ sin x = 0

99
демек тепе-теңдікке айналады. y=sin x шешімімен бірге теңдеуді y 
=(1/2) sin x, y = cos x, y =3cos x функциялары да қанағаттандырады, 
бірақ y =sin x+(1/2) функциясы теңдеу шешімі бола алмайды.
2-мысал. 1-ретті 
xy
у
0
′ + =
                                       (4.5)
дифференциалдық теңдеуін қарастырайық. 
у
x
1,5
=
                                         (4.6)
функциясы (4.5) теңдеуінің шешімі болып табылады, өйткені ол 
(4.5) өрнегін 
х
x
x
2
1,5 1,5 0
⋅
+
=
−
 тепе-теңдігіне айналдырады. 
Сонымен бірге,  (4.6) теңдеуі (4.5) дифференциалдық теңдеуінің 
интегралы болып табылады. 
Жалпы кез келген 
xy
С
=
 (С - тұрақты)                         (4.7)
теңдеуі (4.5) дифференциалдық теңдеуінің интегралы болып та-
былады. Расында, (4.7) өрнегінен (xy)
/ 
= 0 болатыны, ал бұдан 
(көбейтіндінің туындысы ережесі бойынша) (4.5) туындайды. 
(4.7) интегралын у-ке қатысты шешкен күнде
С
y
x
=
                                          (4.8)
функциясына келеміз. (4.8) функциясы бірмезгілде теңдеудің 
шешімі жəне интегралы болып келеді. 
xy
3
=
, 
xy
2
= −
, 
xy
π
=
 
жəне т.б. (4.5) дифференциалдық теңдеуінің интегралдары болса,
 
y
x
3
=
, 
y
x
2
= −
, 
y
x
π
=
 сол теңдеудің шешімдері болып келеді. 
3-мысал. 1-ретті 
y
x
cos
′ =
                                        (4.9)
дифференциалдық теңдеуінің барлық шешімдерін табу керек.
Шешімі. 
( )
y
x
ϕ
=
 функциясы cos x функциясы үшін ал-

100
ғаш бейне болғандықтан, мұндай функцияның ең жалпы түрі 
xdx
cos
∫
 анықталмаған интегралымен кескінделеді. Демек бар-
лық шешімдері 
y =sinx + С                                    (4.10)
формуласымен қамтылады. Кез келген С тұрақтысын қамтитын 
y =sinx + С 
функциясы (4.9) теңдеуінің жалпы шешімі, ал y =sinx (сол сияқ-
ты y =sinx+(1/2), y = sinx – 1 жəне т.т.) функциясы дербес шешім 
болып келеді. 
§2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің 
геометриялық талқыламасы
1-ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі
(
)
Ф x у y
, ,
0.
′ =
                                    (4.11)
Кейбір жағдайларда бұл теңдеу 
y
′
 туындысына қатысты 
шешілуі мүмкін, атап айтқанда айқындалған 
( )
y
f x у
,
′ =
                                    (4.12)
түрінде жазылады. Мұнда 
( )
f x у
,
 функциясы кейбір облыста 
анықталған жəне үзіліссіз болып, осы облысқа тиіс интегралдар 
(шешімдер) іздестіріледі.
(4.12) теңдеуінің жалпы шешімі 
( )
y
x С
,
ϕ
=
                                     (4.13)
түрінде кескінделеді, мұнда С - кез келген тұрақты. 
( )
y
f x у
,
′ =
 
1-ретті дифференциалдық теңдеуінің бір интегралын кескіндейтін 
L сызығы (14-сурет) осы теңдеудің интегралдық сызығы делінеді. 
y
′
 туындысы интегралдық сызық жанамасының бұрыштық 
коэффициенті болып табылады. Геометриялық тұрғыда (4.13) 
жалпы шешімі интегралдық сызықтар жиынтығын, атап айтқанда, 
С тұрақтысының түрлі мəндеріне сəйкес сызықтар жиынтығын 
кескіндейді. Интеграл сызықтарының бір қасиеті: олардың əрбір 
М (х,у) нүктесіндегі жанамасының Ох осіне еңкеюі tga=f(x,y) шар-

101
тын қанағаттандырады (a - Ох осі мен жанама арасындағы бұрыш). 
Берілген  М  (х,у) нүктесі арқылы өтетін интегралдық сызықты 
таппас бұрын (4.11) теңдеуінен 
y
′
 туындысын анықтап, М нүктесі 
арқылы өтетін Т
/
Т түзуін жүргізуімізге болады. Осы түзу ізделінді 
интегралдық сызықтың бағытын анықтайды. Қарастырылатын 
облыстың барлық мүмкін болатын нүктелеріне сəйкес Т
/
Т түзулер 
жиынтығын (4.11) теңдеуінің бағыттар өрісі дейді. 
14-сурет                                15-сурет
§3 Айнымалылары айырылған теңдеулер
Р коэффициенті тек х-ке тəуелді, ал Q коэффициенті тек y-ке 
тəуелді, атап айтқанда 
Р x dx
Q y dy
( )
( )
0
+
=
                             (4.14)
түрінде берілген дифференциалдық теңдеуді айнымалылары 
айырылған дифференциалдық теңдеу
 
дейді. Айнымалылары 
айырылған дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы 
Р x dx
Q y dy
С
( )
( )
+
=
∫
∫
   (С - тұрақты)        (4.15)
теңдеуі түрінде кескінделеді. 
x y
0
0
( , )
 бастапқы мəндеріндегі 
дербес интегралды табу үшін 
x y
0
0
,
-ды (4.15)-ке енгізіп, сəйкес 
С
С
0
=
 мəнін табамыз. Сонда ізделінді дербес интеграл
Р x dx
Q y dy
С
0
( )
( )
+
=
∫
∫
түріндегідей жазылады.
Жалпы шешім қызықтырмайтын жағдайда, дербес шешімді 
тікелей

102
у
х
х
у
Р x dx
Q y dy
0
0
( )
( )
0
+
=
∫
∫
                         (4.16)
формуласы бойынша тапқан орынды.
Мысал. 
x
y
0
0
,
3
2
π
=
=
 бастапқы мəндерінде 
dy
xdx
y
sin
0
+
=
                                (4.17)
дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табу талап етіледі.
Шешімі. (4.17) теңдеуінің жалпы интегралы
dy
xdx
С
y
sin
+
=
∫
∫
   немесе  
x
y
С
cos
2
−
+
=
   түрінде 
кескінделеді.  Мұнда  
x
y
,
3
2
π
=
=
  деп  ұйғарып,  С =
2 3
,
 
демек 
ізделінді дербес шешім
(
)
x
у
2
2 3 cos
4
+
=
болады. Оны тікелей 
у
х
dy
xdx
y
3
2
sin
0
π
+
=
∫
∫
формуласы бойынша шығарып алуға болады.
§4. Айнымалыларды айыру
M
1
 жəне 
M
2
 функциялары тек х-ке тəуелді, ал N
1 
жəне 
N
2
функциялары тек у-ке тəуелді, атап айтқанда 
( ) ( )
( ) ( )
M x N y dx
M
x N
y dy
1
1
2
2
0
+
=
түрінде берілген дифференциалдық теңдеудің екі жағын бірдей 

103
M
N
2
1
⋅
-ге бөлу арқылы айнымалылары айырылған диф-
ференциалдық теңдеуге келтіруге болады. Келтіру процесінің 
өзін айнымалыларды айыру дейді. Бөлу нəтижесінде шығатын 
теңдеу айнымалылары айырылған
( )
( )
( )
( )
M x
N
y
dx
dy
M
x
N y
1
2
2
1
0
+
=
түріне келіп отыр. 
Мысал. 
уdx
хdy
0
−
=
                                  (4.18)
теңдеуін қарастырайық. 
хy
-ке бөлген соң айнымалылары айы-
рылған
dx
dу
х
у
0
−
=
теңдеуіне келеміз. Оны интегралдау арқылы
dx
dу
С
x
x
C
х
у
ln
ln
−
= ⇒
−
=
∫
∫
                 (4.19)
немесе 
х
C
C
у
1
ln
ln
= =
 болатыны шығады. Бұдан теңдеудің ин-
тегралы 
х
C
у
1
=
 түріне келеді.
Мысал. 
y dx
уdy
2
1
0
−
−
=
                                (4.20)
теңдеуінің барлық шешімдерін табу талап етіледі.
Шешімі. 
у
1
= ±
 қос түзуімен шектелген жолақ ішінде 
y
dy
y
dx
у
dх
dy
y
2
2
1
;
1
−
=
=
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

104
функцияларының кем дегенде біреуі бірмəнді анықталған. 
Осы жолақ сыртында сөз етілген функциялардың бірде-біреуі 
анықталмаған. Демек (4.20) теңдеуінің барлық интегралда-
ры 
у
1
= ±
 түзулерімен шектелген жолақ ішінде жатады. (4.20) 
теңдеуін 
y
2
1−
-қа бөлеміз, сонда шығатын теңдеу түрі
ydy
dx
y
2
0,
1
−
=
−
мұнда айнымалылар айырылған. Интегралдау нəтижесінде шы-
ғатын теңдеу
х
y
С
2
1
−
−
=
 
немесе
х
С
y
2
1
− =
−
.                                (4.21)
Бұл теңдеу 15-суретте бейнеленген жартышеңберлер жиын -
тығын кескіндейді. Алайда ол (4.20) теңдеуінің барлық ин тег-
ралдық сызықтарын қамти алмайды, өйткені соңғы теңдеуді
y
2
1−
-қа   бөлген   шақта  
у
1
=
   жəне   
у
1
= −
   шешімдерінен 
(су рет тегі  uv жəне u
/
v
/
 түзулері) аластаймыз.
Ескерту. Мұнда жоғалған шешімдер дербес шешім болмайды. 
Өйткені дербес шешім деп кейбір бастапқы мəндердегі бірден-бір 
шешімді айтқан болатынбыз. Алайда 
у
1
=
 түзуінің əрбір нүктесі 
арқылы екі шешім өтіп отыр; мəселен (0, 1) нүктесі арқылы 
у
1
=
 түзуімен бірге 
х
y
2
1
=
−
 жартышеңбері де өтеді, ол (4.20) 
теңдеуінің тағы бір шешімін береді, бұл шешім (4.21) теңдеуінен 
С
0
=
  болғанда алынады. (4.21) теңдеуі барлық шешімдерді 
иеленбесе де, барлық дербес шешімдерді (жартышеңберлерді) 
қамтиды. 
у
1
=
 жəне 
у
1
= −
 шешімдері ерекше деп есептеледі. 
Жалпы, 1-ретті дифференциалдық теңдеудің интегралы оның 
əрбір нүктесі арқылы, кем дегенде, тағы бір интеграл өткенде 
ерекше болады.

105
§5. Толық дифференциалдардағы теңдеу
Егер 
Р x у dx
Q х y dy
( , )
( , )
0
+
=
                         (4.22)
теңдеуінің 
Р x у Q х y
( , ), ( , )
 коэффициенттері 
Q
Р
x
у
∂
∂
=
∂
∂
                                      (4.23)
шартын қанағаттандыратын болса, онда (4.22) теңдеуінің сол 
жағы кейбір 
( )
F x y
,
 функциясының толық дифференциалы бо-
лып келеді. Мұндайда 
( )
Р x у dx
Q х y dy
dF x y
( , )
( , )
,
+
=
 болып, 
(4.22) теңдеуінің жалпы интегралы 
( )
F x y
С
, =
                                    (4.24)
түрінде жазылады.
Мысал. 
x
y
0
0
1,
1
=
=
 бастапқы мəндерінде 
х
у
х
dx
dy
х
х
2
2
1
0
−
+
+
=
                          (4.25)
дифференциалдық теңдеуінің дербес интегралын табу талап 
етіледі.
Шешімі. (4.23) шарты орындалып отыр. Оның үстіне
у
Р x у
Q х y
х
х
2
1
( , ) 1
,
( , ) 1
= −
= +
  функциялары  
т
п
Ах y
  түріндегі-
дей мүшелерге жіктеледі. Сондықтан алғашбейнені төмендегідей 
интегралдау амалымен іздестіреміз:
у тұрақты болғанда
у
у
dx x
х
х
2
1
;
−
= +
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
х тұрақты болғанда
у
dy y
х
х
1
1
.
+
= +
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∫

106
Осы өрнектерді 
у
х
⎛
⎜⎝
  мүшесін бір-ақ рет қана жазып) 
біріктіреміз. Шыққан 
у
х
y
х
+ +
 функциясы    алғашбейне   болып, 
жалпы интегралы 
у
х
y
С
х
+ + =
түрінде жазылады. 
x
y
0
0
1,
1
=
=
 бастапқы мəндерін енгізіп, С = 3 
мəнін табамыз. Ізделінді дербес интеграл
у
х
y
х
3.
+ + =
§6. Интегралдаушы көбейткіш
Егер 
М x у dx
N х y dy
( , )
( , )
0
+
=
                       (4.26)
теңдеуінің 
M x у
N х y
( , ), ( , )
 коэффициенттері 
N
M
x
у
∂
∂
=
∂
∂
                                     (4.27)
шартын қанағаттандырмаса, онда (4.26) теңдеуінің сол жағы 
кейбір функцияның толық дифференциалы бола алмайды. Бірақ 
кей кезде
(
)
Мdx
Ndy
μ
+
өрнегі қандай да бір 
( )
F x y
1
,
 функциясының толық дифферен-
циалы болатындай 
( )
x y
,
μ
 көбейткішіне қол жеткізуге болады. 
Сонда жалпы интеграл 
( )
F x y
С
1
, =
 түріне келеді. Мұндайда 
( )
x y
,
μ
 функциясын интегралдаушы көбейткіш дейді. 
Мысал. 
уdx
хdy
2
0
+
=
 дифференциалдық теңдеуінің сол 
жағы толық дифференциал болмайды. Алайда х-ке көбейткен 
күнде

107
(
)
( )
х
уdx
хdy
d х y
2
2
+
=
жəне берілген теңдеудің жалпы интегралы 
х y
С
2
=
болады.
Ескерту.  Кез келген дифференциалдық теңдеу əрқашан ин-
тегралдаушы көбейткішке ие болып отырады екен. Алайда оны 
іздестірудің бірден-бір ортақ тəсілі жоқ. Көптеген жағдайда он-
дай көбейткішті іздестіріп табу өз алдына бір есепке айналып, 
бастапқы интегралды шешкенмен салыстырғанда оңай еместігі 
байқалады. (4.26) теңдеуінің интегралдаушы көбейткіші қалайша 
іздестірілетінін көрсетейік. 
( )
( )
(
)
М x y dx
N x y dy
,
,
0
μ
+
=
теңдеуі толық дифференциалдардағы теңдеу болу үшін 
( ) ( )
N
М
x
у
μ
μ
∂
∂
=
∂
∂
шарты немесе
М
N
N
М
x
у
у
x
μ
μ μ
∂
∂
∂
∂
−
=
−
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
                    (4.28)
шарты орындалу керек. (4.28) теңдігі (4.26) теңдеуінің интеграл-
даушы көбейткіштерінің дифференциалдық теңдеуі болып табы-
лады, өйткені оның əрбір шешімін (4.26) теңдеуінің екі жағына 
бірдей көбейткеннен оны толық дифференциалдардағы теңдеуге 
айналдырады. Интегралдаушы 
( )
x y
,
μ
 көбейткішін табу үшін 
дербес туындылары бар (4.28) дифференциалдық теңдеуін ин-
тегралдау қажет. Жалпы жағдайда бұл есепті шешу əдеттегі 
дифференциалдық теңдеуді шешкеннен əлдеқайда қиын. Бірақ 
( )
x y
,
μ
 функциясының х немесе у айнымалыларының біреуіне 
ғана тəуелді болуында, есеп əжептəуір жеңілдене түседі. Осы екі 
жағдайға толығырақ тоқталайық.

108
( )
x
μ μ
=
 болсын. Онда (4.28) теңдеуі
( )
х
М
N
N
x
у
x
μ
μ
∂
∂
∂
=
−
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
немесе
( )
( )
М
N
х
у
x
dx
х
N
μ
μ
∂
∂
−
∂
∂
∂
=
түріне келеді, ал одан
( )
М
N
у
x
х
dx
N
ln
,
μ
∂
∂
−
∂
∂
= ∫
атап айтқанда
( )
М
N
у
x
dx
N
х
e
μ
∂
∂
−
∂
∂
∫
=
                                (4.29)
болатыны туындайды. (С  тұрақтысы 0-ге тең деп алынған, 
өйткені қандай да бір интегралдаушы көбейткішіне ие болса да 
жеткілікті).
Осы жағдайда 
М
N
у
x
N
∂
∂
−
∂
∂
  өрнегі  у-тен тəуелсіз екені айқын. 
Кері пікір  де  орынды:  егер 
М
N
у
x
N
∂
∂
−
∂
∂
  өрнегі   у-тен  тəуелсіз 
болса, онда тек х-ке тəуелді 
( )
x y
,
μ
 интегралдаушы көбейткіші 
бар болады. Ол (4.29) теңдігімен өрнектеледі.
Енді 
( )
у
μ μ
=
 болсын. Онда (4.28) теңдеуі
( )
у
М
N
М
у
у
x
μ
μ
∂
∂
∂
= −
−
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

109
немесе
( )
( )
М
N
у
у
x
dу
у
М
μ
μ
∂
∂
−
∂
∂
∂
= −
түріне келеді, ал одан
( )
М
N
у
x
у
dу
М
ln
,
μ
∂
∂
−
∂
∂
= −∫
атап айтқанда
( )
М
N
у
x
dу
М
у
e
μ
∂
∂
−
∂
∂
−∫
=
                              (4.30)
болатыны  туындайды  (мұнда  С=0 деп  алынған).  Осы жағдайда
М
N
у
x
М
∂
∂
−
∂
∂
   өрнегі   х-тен   тəуелсіз.  Кері  пікір  де  орынды:   егер 
М
N
у
x
М
∂
∂
−
∂
∂
  өрнегі   х-тен   тəуелсіз  болса,  онда  тек  у-ке  тəуелді 
( )
x y
,
μ
 интегралдаушы көбейткіші бар болады жəне ол (4.30) 
теңдігімен өрнектеледі.
Қарастырылатын дербес жағдайларда (4.26) теңдеуін толық 
дифференциалдардағы теңдеуге келтіру үшін іс жүзінде 
М
N
у
x
∂
∂
−
∂
∂
 
өрнегін құрып, оның N-ге қатынасын алады. 
Егер бұл қатынас у-тен тəуелсіз болса, онда интегралдаушы 
көбейткішті табу үшін (4.29)  формуласын  қолдану  керек;  қарсы 
жағдайда 
М
N
у
x
∂
∂
−
∂
∂
 өрнегінің М-ге қатынасын  алады.   Егер  бұл 

110
қатынас х-тен тəуелсіз болса, онда х-тен тəуелсіз 
( )
x y
,
μ
 инте-
гралдаушы көбейткіші бар болады жəне оны (4.30) формуласы 
бойынша есептеп табуға болады.
Мысал. 
(
)
( )
уdx
хdy
d х y
2
2
+
=
 дифференциалдық теңдеуінің 
интегралдаушы көбейткішін тауып, теңдеуді интегралдау талап 
етіледі.
Шешімі. 
(
)
М
N
ху
у
x
М
х
у
2
2
2 1
∂
∂
−
−
+
∂
∂ =
−
өрнегі х пен у-ке тəуелді. 
(
)
(
)
М
N
ху
у
x
N
х
х
ху
2
2
2 1
2
1
∂
∂
−
−
+
−
∂
∂ =
= −
+
қатынасы х-ке ғана тəуелді. Олай болса 
( )
y
x
,
μ
 интегралдаушы 
көбейткіші (4.29) формуласы бойынша іздестіріледі:
( )
dx
x
x
х
e
e
x
2
2ln
2
1 .
μ
− ∫
−
=
=
=
Тедеудің екі жағын 
x
2
1
-қа көбейтеміз, сонда
у
dx
у
dy
х
х
2
2
1
1
0,
−
+
+
=
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
немесе
xdy
ydx
dx
у dy
х
2
2
0.
−
+
+
=
xdy
ydx
y
d
х
х
2
−
= ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 болғандықтан, интегралдау нəтижесінде 
жалпы интеграл   
y
у
С
х
х
3
3
3
+
+ =
  немесе  
х
хy
у
Сх
2
3
3
3
0
+
+
−
=
түрінде табылады.

111

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: