Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі
| 9,10 - лекция.
Аналитикалық функциялар теориясы мен гармониялық функциялар (2-саѓат) Жоспар: 1.Аналитикалық функциялар. 2.Гармониялық функциялар. 3.Нақты немесе жорамал бөлігі бойынша анлитикалық функцияны тіктеу. Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі 1. И.И. Привалов., Введение в теорию функций комплексного перенного ОГИЗ, Гостехиздат., “Наука”. 2.А.И. Маркушевич., краткий курс теорий аналитических функций. Физматгиз, 1961 3.Свешников А.Г., Тихонов А.Н., Теория функций комплексной переменной б) ќосымша 4.М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука 1973 5.Г.Л. Луну, Л.Э. Эльсгольц Функций комплексного переменного. Физматгиз, 1958 6.М.А. Евгрседов. Аналитические функции “Наука” , Москва, 1959 Лекция мәтіні1. аймақтың әрбір нүктесінде шектеулі туындысы бар бір мәнде функция сол аймақта аналитикалық деп аталады. Нүктеде аналитикалық болатын функция осы нүктенің кейбір маңайында да аналитикалық болуы тиісті . 5-лекцияда айтуымыз бойынша аймақта аналитикалық функция үшін шарты осы аймақтың әрбір нүктесінде орындалады, және керісінше, егер шарты бүкіл аймақта орындалып, мен функциялары дифференциялданса, функциясы аймақта аналитикалық екені шығады. Мынадай табиғи сұрақ туады: бүкіл аймағының бойында шарттарының орындалуы (мен функцияларының дифференциялданатыны туралы қосымшасы жоқ шарт) функциясының аймағында аналитикалық болуы үшін жеткілікті емес пе? Қарапайым мысалдың өзінен – ақ олай емес екенін көру оңай. Шынында да берілсін делік жазықтықтың нөлдік нүктесінен басқа әрбір нүктесінде функциясы дифференциялданады, сол себепті ол нүктелерде шарттары орындалады нөлдік нүктеде де шарттарының орындалатынын көрсету оңай шынында, болғанда: бұдан Осы сияқты Сөйтіп, нөлдік нүктеде мен функцияларының төрт дербес туындыларының бәрі де 0-ге тең, демек, шарттары күшінде қалады. Қарастыратын функция үшін шарттары бүкіл комплекс айнымалы -тің жазықтығында орындалады бірақ бүкіл жазықтық бойында берілген функция аналитикалық болмайды, өйткені нөлдік нүктеде ол үзілісті. Мұны көрсету үшін нүктесін түзуінің бойымен 0-ге жуықтату жеткілікті: онда , демек, -да соңғы өрнек шексіздікке ұмтылады. 2. Қарастырылатын аймақта функциясы аналитикалық болу үшін мен -ні қалай алу керек екенін көрелік. шарттарының біріншісін -ке қатысты,екіншісін -ке қатысты, дифференциялдап, мынаны аламыз: ; бұл теңдіктерді өзара қосқанда (1) Бұл Лаплас теңдеуі деп аталады, ал осы теңдеуді қанағаттандыратын кез келген функция гармониялық деп аталады. Сонымен дегеніміз аймағында аналитикалық функция болды осыған ұқсас түрде функциясының да сол аймағында гармониялық екенін көрсетуге болады. Ол үшін теңдіктерінің біріншісін , екіншісін бойынша дифференциялдап, шыққан нәтижелерді мүшелеп айыру керек Алайда, аймағында гармониялық кез келген екі мен функцияларын алсақ, , жалпы айтқанда, бұл аймақта аналитикалық функция болмайды. Сондықтан аймағында аналитикалық функция болу үшін былайша істеу керек,олардың бірі үшін,мысалы -ды кез келген функцияны алып, сонан кейін -ны , теңдеулерінен анықтаймыз. Осыдан кейін мына өрнек толық дифференциял болады, өйткені демек, квадратура арқылы кез келген тұрақты қосылғышқа дейінгі дәлдікпен былайша анықталады. Осылайша анықталатын гармониялық функциясымен түйіндес деп аталады. Мысалы; түріндегі гармониялық функцияны табу керек. Бұл үшін деп алайық, онда ; ; ; ; (1) теңдік бойынша Бұл екінші ретті жай дифференциялдық теңдеу. Ретін төмендету үшін алмастыруын енгіземіз. Сонда немесе
екенін ескерсек, Мұнан яғни ; Интегралдасақ, Сонымен, ізделінді гармониялық функция . жүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|