Ќазаќстан Республикасы
жүктеу/скачать 3,13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі
- Лекция мәтіні
- - лекция.
| 11 - лекция.
Сызықты функция. Бөлшек сызықты функция. (1- саѓат) Жоспары: Сызықты функцияның жәрдеміміне болатын бейнелеу Бөлшек-сызықты функцияның жәрдемімен болатын бейнелеудің қасиеттері. Бөлшек – сықыты функцияны құру. Пайдаланѓан єдебиеттер: а) негізгі 1. И.И. Привалов., Введение в теорию функций комплексного перенного ОГИЗ, Гостехиздат., “Наука”. А.И. Маркушевич., краткий курс теорий аналитических функций. Физматгиз, 1961 Свешников А.Г., Тихонов А.Н., Теория функций комплексной переменной б) ќосымша М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука 1973 Г.Л. Луну, Л.Э. Эльсгольц Функций комплексного переменного. Физматгиз, 1958 М.А. Евгрседов. Аналитические функции “Наука” , Москва, 1959 Лекция мәтіні (1) Мұндағы а мен в –кейбір тұрақты комплекс сандар, сонымен бірге , бейнелеу бүкіл z жазықтығында конформдық және өзара бір мәнді болатыны айқын. Әуелі үш дербес жағдайды қарастыралық, соныман бірге бұларға z пен w-ні бір жазықтықтағы нүкте деп кескінделік. а) бұлайша бейнелеуде z нүктесі b векторының бағытында, оның ұзындығына тең қашықтықтағы w нүктесіне көшіріледі (1-сурет). б) . Бұл жағдайда : , , яғни z нүктесі z вектрын нөлдік нүктенің маңайында бұрышына бұру арқылы нүктесіне көшеді (2- сурет). в) , мұндағы m –нақты оң сан. Бұл жағдайда , , яғни z нүктесі О z- түзуінде О нүктесінен z нүктесіне дейінгі қашықтықтан m есе артық (не кем) қашықтыққа жатқан нүктесіне түрленеді. Бұл –О нүктесіне ұқсастық түрлендіру деп аталады. Жалпы түрлендіру жоғарыда айтылған үш түрлендіру арқылы жүзеге асады. 2. функциясы беретін сәйкестік жасықтықтың барлық нүктелерінде өзара бірмәнді , соныман қатар z=0-ге шектеусіз алыстаған нүкте сәйкес келеді. Бұл функция беретін бейнелеуді зерттеу үшін деп ұйғарып, поляр координаталарын енгізу қолайлы. Бұл жағдайда (2) боларын көру оңай. Нөлдік нүктені центр ретінде алып радиусы 1-ге тең С шеңберінде сызамыз(3-сурет). (2) түрлендіруде бұл шеңбер өзіне өзі көшеді. түрлендіруді екі жай түрлендіруге жіктеу қолайлы: (3) (4) Бірінші түрлендіруде аргумент сақталады да модулі керіге ауысады. Оны (3*) түрінде жазуға болады. нүктесі z нүктесінен инверсиялық түрлендірме қолдану арқылы табылады. Мұның мәнісі былай. Егер z нүктесі С шеңберінің ішінде жатса, осы нүктеге Оz түзуге шеңбермен А нүктесінде қиылысқанға дейін перпендикуляр тұрғызамыз. Ақырында А нүктесінде шеңберге жанама жүргізсек, оның Оz түзуімен қиылысуынан ізделініп отырған нүктесін табамыз. Шынында, ОА үшбұрышынан мынаны табамыз: немесе екінші жағынан, екені айқын. Осындай z және нүктесін центрі нолдік нүктедегі, радиусы 1 – ге тең шеңберге қатысты өзара симметриялы нүктелер деп атайды. (4) түрлендіруді түрінде жазуға болады. Бұл түрлендірудің әрбір нүктені нақты оське қатысты оған симметриялы нүктеге ауыстыратын 2 – i ретті конформдық түрлендіру болатыны айқын. Аналитикалық емес (3) және (4) екі бейнелеудің жиынтығы аналитикалық бейнелеуді береді, себебі бұл функцияның туындысы жазықтықтың z = 0 және нүктелерінен өзге нүктелерінде шектеулі және 0 – ге тең емес. Жалпы сызықтық түрлендірудің жоғарыда қарастырылған бейнелеу жәрдемімен іске асырылатынын көрсетелік. Шынында бөлуді орындасақ, жаңа айнымалы енгізсек, дәлелдемек бекітіміміздің әділдігіне көзіміз жетеді: Жалпы сызықтық түрлендірудің төмендегідей бір тамаша қасиеті бар. Егер z нүктесі комплекс айнымалы z – тің жазықтығында шеңбер сызса, w нүктесі w жазықтығынды шеңбер, не түзу сызып шығады. Ал егер z нүктесі түзу сызса , w де түзу не шеңбер сызады. Түзу сызықты шектеусіз үлкен радиусты шеңбер деп есептеп, бұл қасиетті қысқаша былай тұжырымдауға болады: Сызықтық түрлендіруде шеңбер шеңберге көшеді. Жалпы сызықтық түрлендіру үш параметрге тәуелді, олар үшін a,b,c,d сандарының үшеуінің біреуіне қатынасын алуға болады. Бұл параметрлерді сонымен бірге түрлендірудің өзін анықтау үшін a,b,c,d-лерді байланыстыратын үш теңдеу керек. Біз оларды іздеп отырған түрлендірумен әйтеуір бір нүктелері ауысатын нүктелерін көрсете отырып аламыз. нүктелерін қалауымызша алып, мына теңдеуді аламыз осы теңдеулерді және теңдеуінен a,b,c,d нүктелерді шығарып тастау үшін , мына айырымдарды құрамыз: Мұндағы бірінші теңдеуді екіншісіне үшіншісін төртіншісіне мүшелеп бөліп, шыққан теңдіктерді тағы да біріне бірін мүшелеп бөліп мынаны аламыз: Бұл нүктелерін нүктелеріне аударатын жалғыз сызықтық түрлендіру болады. 12 - лекция. Кошидің интегралдық теоремасыжүктеу/скачать 3,13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|