Қазақстан Республикасының білім жəне ғылым министрлігі Әл-Фараби атындағы Қазақ
Айнымалыларды бөлу әдісі (Фурье әдісі)
жүктеу/скачать 172,18 Kb.
|
срс реферат
| Айнымалыларды бөлу әдісі (Фурье әдісі)
Бұл әдісті шеттері бекітілген шектің тербелістері туралы есеп үшін қарастырайық. Берілген (1) теңдеуінің (2) шекаралық шарттарын және (3) алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Алдымен (2.32) теңдеудің нөлге тепе-тең емес дербес шешімдерін іздейміз. Ол үшін дербес шешімді (2.33) шекаралық шарттарын қанағаттандыратын (4) көбейтіндісі түрінде аламыз. Осы шешімді (2.32) теңдеуге қойып, айнымалыларын бөліп мынадай дифференциялдық теңдеуге келеміз: немесе, . (5) Соңғы теңдеудің сол жағы тек –ға, ал оң жағы тек –ке тәуелді. Бұл жағдай теңдік тек қана тұрақтыға тең екендігін көрсетеді. Ол тұрақтыны деп белгілеп (2.36) теңдіктен екі жай дифференциялдық теңдеулер аламыз: (6) (7) Бұл теңдеулердің нөлге тепе-тең емес (2.35) түріндегі шешімін алу үшін , (8) шекаралық шарттарын қанағаттандыратын (7) теңдеудің нөлдік емес шешімін табу керек. Сонымен, мынадай есепке келеміз: шекаралық (8) шарттарды қанағаттандыратын (7) теңдеудің нөлдік емес шешімі бар болатындай параметрінің мәндерін табу керек. Бұл есеп әдетте Штурм –Лиувилль есебі деп аталады. Ал (7)-(8) есептің нөлдік емес шешімдері бар болатын параметрінің мәндері меншікті мәндері деп шешімнің өздері - меншікті функциялар деп аталады. Енді (7)- (8) есептің меншікті мәндері мен меншікті функцияларын іздейік. 1 Егер болса (7) теңдеудің жалпы шешімнің түрі мынадай: Шекаралық (8) шарттарды пайдаланып және мәндерін аламыз, яғни . 2 Егер болса, онда жалпы шешімнің түрі : . Шекаралық шарттарды пайдаланып тағы да , мәндерін аламыз. Бұл жағдайда да . 3 Егер болса, (7) теңдеудің жалпы шешімін мына түрде жазуға болады: . Сондықтан (8) шекаралық шарттар бойынша , теңдіктері алынады. Бұл жағдайда болмауы үшін деп аламыз. Сонда, яғни . Мұндағы -кез-келген бүтін сан. Сонымен (7)-(8) есептің нөлдік емес шешімдері (9) мәндерінде ғана мүмкін болады. Бұл меншікті мәндерге (10) меншікті функциялары сәйкес келеді. Егер болса, онда (6) теңдеудің жалпы шешімі былай жазылады мұндағы және – кез-келген тұрақтылар. Сонымен функциялары кез-келген ak және bk мәндерінде (3) теңдеуді және (4) шекаралық шарттарды қанағаттандырады. Біртекті сызықтық теңдеулердің қасиеті бойынша шешімдердің қосындылары да сол теңдеудің шешімі болады. Сондықтан ол төмеңдегі қатар үшін де орындалады: (11) Бұл қатар жинақталатын және пен бойынша екі рет дифференциялданатын болуы керек. Осы (11) қатардың әрбір қосылғышы (2) шекаралық шарттарды қанағаттандыратын болғандықтан қатардың қосындысы да, яғни осы шарттарды қанағаттандырады. Енді алғашқы шарттарды қанағаттандыратын және тұрақтыларын анықтау керек. Олар берілген және функцияларын аралығында Фурье қатарына жіктеу арқылы анықталады. Жіктеудің коэффициенттері белгілі формулалар бойынша есептеледі: (12) Қортындысында, (1)-(3) есептің шешімі (11) қатар арқылы,ал және коэффициенттері (11) формулалар арқылы анықталады. жүктеу/скачать 172,18 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|