Бағдарламасы көлемі 2 кредит (90 сағАТ)
жүктеу/скачать 1,34 Mb.
|
1болим Умкстат
| 4-дәріс жоспары
Фазалық көлемнің сақталуы жөнінде Лиувилль теоремасы (1 сағат). Дәріс мазмұныСистеманы фазалық кеңістікте кескіндеу 1902 ж Гиббс N материалдық нүктеден тұратын системаны статистикалық методика тұрғыдан қарастырған. Бұрын бөлшек қозғалысын сипаттайтын теңдеулерді шешу мүмкін еместігі айтылған болатын. Бірақ біз ол теңдеулер системасын шешіп 6N алғашқы интеграл алдық дейік. (*) Бұл 6N теңдеуі фазалық кеңістіктегі системаның қозғалыс теңдеуі дейік. Фазалық кеңістік деп 6N –дәрежелі кеңістік барлық жалпыланған координатпен жалпы системалы импульстері үшін дейік. Системаның кез-келген микрокүйі (фазасы) мұндай 6N –дәреже кеңісткте нүкте болады. Онда бүкіл кеңістік әр түрлі фазалардың жиынтығы болады, яғни системаның әртүрлі күйлері сондықтан бұл кеңістік фазалық кеңістік деп аталады. Мұндай 6N дәрежелі кеңістік газдарды қарастырғанда пайдалану үшін оны Г-кеңістік деп атайды. Егер система 3n еркін дәреже емес, f-еркін дәрежелі болатын болса, ол үшін фазалық кеңістік 2f- өлшемді болады. Сонымен кез келген физикалық система үшін өзінің фазалық кеңістігін таңдап алуға болады. Реал системада оны құрайтын бөлшектер үздіксіз қозғалыста болатындықтан оның микрокүйлері үнемі өзгерісте болады. Системаның уақытқа байланысты микрокүйінің өзгеруі фазалық кеңістікте фазалық траектория деп аталатын сызықпен кескінделеді. (*) арқылы берілген 6N-теңдеу фазалық траекторияның кейбір қасиеттерін қарастырайық. Фазалық кеңістікте системаның кез келген траекториясы 6N алғашқы шартпен анықтады (бір бастапқы нүкте, яғни 3N-жалпылама координаттың мәнінің немесе 3N-жалпы импульс мәнінің берілуімен анықталады). T=0 болғанда фазалық кеңістіктегі система траекториясы бір-бірімен қилыспайды, тұйық болуы мүмкін. Бұл механикалық системада берілген алғашқы шарт үшін шешімі бір мәнді болуымен шын мәнінде бірнеше бөлшектен құралған реал система үшін фазалық траекториясының жүрісін, түрін анықтау қиын. Сонымен, қарапайым ретінде гармониялық осцилятордың фазалық траекториясын қарастырайық. Гармониялық осцилятор дегеніміз - квазисерпімді күш арқасында-кх теңдуінің бойымен қозғалатын материялық нүктені айтамыз. Мұндай нүктенің бір ғана еркін дәрежесі болғандықтан жалпыланған координат-q үшін осы түзудің бойымен бағытталған тепе-теңдік күйден ара қашықтықты алуға болады. Кинетикалық энергиясы жалпыланған импульс арқылы былай анықталады: Ол потенциалық энергиясы-жалпыланған координат g=x арқылы , яғни Гамильтон функциясы қарастырылған жағдай үшін канондық теңдеулер былай болады: (**) Р-ескеріп, q-табатын теңдеу табамыз. десек, (**)-теңдеуін қойсақ, гармониялық осцилятор үшін орташа кинетикалық энергия орташа потенциялық энергия тең екенін көрсетуге болады. Расында да Гармониялық осцилятордың толық энергиясы кинетикалық энергиясы мен потенциалық энергиясы суммасы ретінде Классикалық осцилятордың энегиясы -амплитуданың квадратына пропорционал және -пропорционал оцилятор күйін фазалық кеңістікте кескіндесек екі өлшемді болады. P және q ості Сонымен, гармониялық осцилятордың фазалық траекториясы эллипс болады екен. Осцилятор күйі эллипс бойынша қозғалатын нүкте болып табылады уақыт бойынша. Физиканың әр бөлімінде негізгі бір теоремалар болады. Сол сияқты статистикалық физиканың негізгі теоремаларының бірі Лиувилль теоремасы. Статистикалық физика Эвклидтің геометриялық кеңістігін жұмбақтап фазалық кеңістікке ауыстырады. Сондықтан статистикалық физикадағы барлық теоремалар мен формулалар фазалық кеңістік үшін шығарылған. Фазалық кеңістік деп бөлшекпен қозғалып жүрген, әрқайсысының 6 еркіндік дәрежесі бар, жалпылама импульс пен жалпылама координата q арқылы сипатталатын кеңістікті айтады. Бұл кеңістік өз ішінде 2-ге бөлінеді. Жеке молекула кеңістігі Барлық молекула кеңістігі Г Барлық теория Г кеңістік үшін шығарылған. Барлық 6N өлшемі бар системаның фазалық кеңістігінің көлемі фазалық көлем деп аталады (). Ол көптеген элементар фазалық көлемдерден тұрады (d). Элементар көлемінің мәні Бөлшектер ағынын қарастырамыз, ол газ немесе сұйық болуы мүмкін. Олай болса сұйыққа қолданылатын белгілі гидродинамикалы заңдылықтарды пайдалануға болмайды. Мысалы: гидродинамикадағы Эйлердің теоремасын қолданайық, “Үзіліссіздік теңдеуі” деп аталатын. Ықтималдықтың тығыздығы , сұйықтың тығыздығы деп қарастырамыз да d фазалық кеңістік үшін элементар көлем ішіне енген бөлшектерді бөлшектері деп қарастырайық. Осы ансамбль системасы бар кеңістік, біраз уақыттан кейін басқа көлемге ауысады. Эйлер теоремасы бойынша осы ауысу үзіліссіз. Яғни бөлшектер саны жоғалмай ауысады. Яғни . және фазалық кеңістік немесе системаның үлестірілу тығыздығы деп аталады. Сонымен d көлемге кірген бөлшектер осі бойынша қозғалған уақыт ішінде ағып өтсе біз мынадай формула жаза аламыз - бөлшектердің орташа жылдамдығы; - ағып өткен уақыт; - үлестіру тығыздығы; - қима ауданы. - өсімшесі пайда болады. Гидродинамикадағы Эйлер теңдеуі. Эйлер теңдеуі негізінен сұйық үшін шығарылған, бірақ фазалық кеңістік ішіндегі системаның қозғалысы үшін де қолдануға болады. Яғни фазалық кеңістіктегі барлық еркіндік дәрежесі fN үшін жазсақ Эйлер теңдеуінің декарттық координаталары жалпылама координата q мен жалпылама импульстарға Р ауыстырылады. Сонымен гидродинамика арқасында фазалық кеңістіктегі қозғалыс үшін жаңа бір теңдеу алдық (**) мұндағы k – бөлшектер нөмірі; - Пуассон жақшасы. (**) – теңдеуін Лиувилль теңдеуі деп атайды жүктеу/скачать 1,34 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|