§2. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі және оның қасиеттері

Кеңістіктегі және векторының скаляр көбейтіндісі мынадай формуламен анықталатыны белгілі : =

1. 
   
2. 
   
3. 
   (
   
4. 
   және сонда және тек қана сонда0 егер болса.
   

Сызықтық кеңістікте вектордың ұзындығы немесе екі вектордың арасындағы бұрыш ұғымдары жоқ. Бұл ұғымдар сызықтық кеңестіктің дербес түрі болып табылады, евклид кеңестігінде бар болады. Евклид кеңестігін анықтаудан бұрын скаляр көбейтінді ұғымын анықтайық.

1. 
   (x,y)=(y,x)
   
2. 
   (x+y,z)=(x,z)+(y,z)
   
3. 
   (
   
4. 
   және сонда және тек қана сонда, егер х=0 болса.
   

1. 
   де кез келген көбейтінді
   
2. 
   C[a,b] (f,g)=
   

§4. Сызықты тәуелді және тәуелсіз векторлар жүйелері

Анықтама 1. берілген сандар, ал , ..., берілген векторлар болса, онда векторын , ..., векторларының сызықты комбинациясы дейді.
Анықтама 2. , ..., векторларын сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі дейміз, егер барлығы бірдей ноль болмайтын сандары табылып =0 теңдігі орындалатын болса; егер =0 теңдігінен әр уақытта ==…==0 теңдігі шығатын болса, онда мұндай векторларды сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі дейміз.
Сызықты тәуелділік пен тәуелсіздіктің мынадай қасиеттерін атап өтейік.
1) Егер , ..., векторларының арасында нөлдік вектор болса, онда бұл векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады;
2) Егер сызықты тәуелді болатын , ..., векторлар жүйесіне бірнеше ,векторларын қоссақ, сонда пайда болған , ..., , , векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады;
3) Берілген векторлар жүйесі сызықты тәуелді болуы үшін, осы векторлардың ең болмағанда біреуінің қалғандарының сызықты комбинациясы болуы қажетті және жеткілікті болады.
4) Жазықтықтағы екі коллинеар вектор сызықты тәуелді болады және керісінше екі сызықты тәуелсіз вектор коллинеарлы болады.
5) Әрбір үш коллинеар вектор сызықты тәуелді болады және керісінше үш сызықты тәуелді вектор компланарлы болады. Кеңістіктегі әрбір төрт вектор компланарлы болады.

§5. Ортогональды векторлар жүйесі

Анықтама 1. және векторларының скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, онда бұл векторларды ортогональ векторлар дейміз.
Нөл вектор кез келген векторға ортогональ болатыны түсінікті.
Анықтама 2. , ..., векторлар жүйесін ортогональ жүйе дейміз, егер бұл векторлардың кез келген екеуі ортогональ болса, яғни ()=0, егер i+j болса.
Анықтама 3. , ..., векторлар жүйесін ортогональды дейміз, егер олар ортогональ жүйе бола және мұндағы әрбір вектордың ұзындығы бірге тең болса.
Ортогональ векторлар жүйесінің кейбір қасиеттерін келтірейік:
1) Ортогональ векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз жүйе болады
2) кеңістігіндегі векторлар жүйесі оргональды жүйе құрайды.
Осы векторлар жүйесін диагональды жүйе деп атайды.

§6. Векторлар жүйесінің базисі, рангісі. Векторларды базис бойынша жіктеу

Анықтама 1. Егер кеңістігіндегі кез келген векторды кеңістігінің қандай да бір сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінің сызықты комбинациясы түрінде жазуға болатын болса, онда ол жүйе кеңістігіндегі базис деп аталады.
Тұжырымдама. Диагональды жүйесі кеңістігінің базисі болып табылады.
Анықтама 2. , ..., векторлар жүйесінде орналасқан векторлар жүйесін бастапқы жүйенің базисі дейміз егер,
1) сызығы тәуелсіз жүйе болса,
2) , ..., жүйедегі әрбір вектор векторларының сызықты комбинациясы түрінде жазылатын болса
Теорема 1. Берілген векторлар жүйесінің кез келген екі базисіндегі векторлар саны бірдей болады.
Анықтама 3. Берілген векторлар жүйесінің кез келген базисіндегі векторлар саны осы жүйенің рангісі деп аталады.
Теорема 2. , ..., векторлар жүйесінің әрбір векторы осы жүйенің базисі арқылы жіктеледі және бұл жіктелу тек жалғыз жолмен жүргізіледі.

§7. Векторларды экономикалық есептерде қолдану