Тақырыбы Кеңістіктегі жазықтық пен түзу

Жазықтықтың әртүрлі теңдеулері. Екі және үш жазықтықтың өзара орналасуы. Жазықтықтардың шоқтары және байламдары. Кеңістіктегі түзу, оның теңдеуі. Екі түзудің арасындағы бұрыш. Түзу және жазықтықтың өзара орналасуы. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық. Екі параллель, айқас түзулердің арақашықтығы

Бізге Ах+Ву+Сz+D=0 түрінде жазықтық берілсін. Осы жазықтықтың нормаль векторы деп осы жазықтыққа перпендикуляр N(A;B;C) түрінде болатын векторды айтамыз. Жазықтықтардың нормаль векторы N коорд.осьтерімен сәйкес α, β, γ бұрыштарын жасайтын болса, онда оны N = (cosα)*i + (cosβ)*j + (cosγ)*k түрінде жазуға болады.

=>cos(x-x₀)+cos(y-y₀)+cos(z-z₀)=0 н/е

cosα*x+cosβ*y+cosγ*z-(x₀*cosα+y_0*cosβ+z_0*cosγ)=0

түрінде жазуға болады.

x*cosα + y*cosβ + z*cosγ – p = 0-жазықтықтың нормаль теңдеуі. Ал жалпы теңдеу түрде берілсе Ах + Ву + Сz + D = 0/* μ

μ * Ах + μ *Ву + μ *Сz + μ *D = 0

μ * А = cosα,

μ *В = cosβ ,

μ *С = cosγ

cos²α + cos²β + cos²γ = 1

μ ²*(A² + B² + C²) = cos²α + cos²β + cos²γ = 1

μ = ± - нормалаушы көбейткіш.

Кеңістікте бір М₀ (x₀, y₀, z₀) нүктесі және Ах + Ву + Сz + D = 0 жалпы теңдеуі мен Q жазықтығы берілген. Олардың арасындағы қашықтықты d деп белгілеп, яғни М₀ нүктесінен Q жазықтығына түсірілген перпендикуляр ұзындығын мына формула

арқылы табуға болады.

Q –нүктесінен π жазықтығына перпендикул түсірейік.

d=||

А₁х + В₁у + С₁z + Д₁ = 0 және А₂х + В₂у + С₂z + Д₂ = 0 берілген жазықтықтар арасындағы бұрыш 90⁰ – болса соs=0 болады.

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0 бұл жазықтықтардың перпендикулярлық шарты. Параллелдік шартының вектор көрінісіндегі формуласы n₁= n₂

Проекциялары бойынша жазатын болсақ,

Косинустарды олардың коэффициеттері теңдеуімен алмастырсақ.

Бұдан Параллелдік шарты тапсырылды.

П₁: А₁х+В₁у+С₁z+Д₁=0

П₂: А₂х+В₂у+С₂z+Д₂=0

векторлар П₁ және П₂ жазықтықтың сәйкес нормаль векторы болып табылады.

Аффиннің координаталар системасына қарастырайық

x=х₀+l₁t

y=y₀+l₂t

z=z₀+l₃t

теңдеуімен d түзуі берілген және Ах+Ву+Сz+Д=0 теңдеуімен берілген П жазықтығы берілген дейік. d – түзуімен П жазықтықтың ортақ нүктелерін іздестіреміз.

(А₁l₁+В ₁l₂+Сl₃)t + (Ах₀+Ву₀+Сz₀+Д)=0

M₁(r₁) нүкте және rn⁰-p=0 жазықтық берілген болсын. М₁Q=d, үшбұрыштан OQ=OM₁+M₁Q. r_Q=r₁-n⁰ r₁-n⁰ n⁰-p=0, r₁n⁰--p=0, =r₁n⁰-p.

d= r₁=ix₁+jy₁+kz₁.

n⁰=icos+jcos+kcos.