Бөлім 8 Жартылай өткізгіштердің оптикалық қасиеттері

жүктеу/скачать 1,01 Mb.

бет	6/17
Дата	07.06.2023
өлшемі	1,01 Mb.
	#99523

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 17

8.2. Жарық сіңіру мәселесіне
кванттық-механикалық көзқарас

Жолақаралық ауысулармен байланысты жұтылу коэффициентін есептеу үшін кванттық механикалық тәсілді қолдану ыңғайлы. Біз жарық (электромагниттік) толқын өрісіндегі электрон үшін Шредингер теңдеуінен шығамыз. Сонымен қатар, жарық жұту процесі үшін кванттық механикада квазиимпульстің сақталу заңы қалай пайда болатынын көрсетеміз.

1) Мұндай (жанама) ауысулар §8.4-те егжей-тегжейлі талқыланады.

8.2. Жарық сіңіру мәселесіне кванттық-механикалық көзқарас	233

Біз скаляр потенциалы болатын өлшемді таңдаймызϕ электромагниттік өріс нөлге тең (ϕ=0), тек векторлық потенциал бар А(r,т). Сонда заряды бар электронның Гамильтонианыeпе-кристалдың родикалық өрісіУ(r) және жарықтың электромагниттік өрісі толқындарға ұқсайды

̂=	1 (		e)2

		P̂−А+У(r),		(8.3)
Х	2м0	P̂−А+У(r),		(8.3)
	2м0		в

Қайдам0бос электронның массасы;P̂импульс операторы, P̂=−ih̄∇. Векторлық потенциал уақытқа байланысты болғандықтан, біз стационар емес Шредингер теңдеуін қолдануымыз керек

∂ψ	=Ĥψ.
ih̄_∂т	=Ĥψ.	(8.4)

Әрі қарай, векторлық потенциал уақытқа тәуелді және гармоникалық координацияланады (гармоникалық заң бойынша)1)

А=А0Exp[мен(ωt −κr)],

(8.5)

ҚайдаА0векторлық потенциалдың амплитудасы болып табылады. Түскен жарық әлсіз болған кезде (оның қарқындылығы төмен), біз пропорционал терминді қарастыра аламызАV (8.3) күйзеліс ретінде және кедергі теориясына сәйкес жарықты сіңіру мәселесін шешу. Содан кейін (8.3) тармағында жақшаны квадраттау кезінде біз өзімізді сызықтық кіріспен шектей аламызА мүшелері. Сонымен қатар, векторлық потенциалАкоординатасына байланысты

rжәне, жалпы айтқанда, импульс операторымен ауыспайдыP̂. Дегенмен, көлденең толқын үшіндивА=0, содан кейін оны көрсетуге боладыАЖәнеP̂жүру2):

AP̂=P̂A. (8.6)

Осылайша, (8.3) есебінің Гамильтонианы түрінде қайта жазуға болады

̂=	P̂
Х	2	+ У(r) +V̂ .

	2м0

Мұндағы алғашқы екі термин Гамильтонға сәйкес келедіĤ0 кристалдың периодтық өрісіндегі бос электрон және термин

В^̂=− _м^e₀_в AP̂

ашуланшақтық болып табыладыĤ0жарық толқынының әрекетімен байланысты.

(8.7)
(8.8)

1) Бұл шын мәнінде екенін ескеріңізАнақты түрде жазылуы керек,
1			∗e
яғниА= [А0Exp	(₂	мен(ωt −κr)) +	А0xp(−i(ωt −κr))]. Дегенмен, сіз аласыз

(8.5) өрнек біздің мақсаттарымыз үшін жеткілікті.

2) Коммутатор [А,P̂]=ih̄дивА.

Ч. 8. Жартылай өткізгіштердің оптикалық қасиеттері

Енді жарық квантын жұту кезінде электронның валенттік аймақтан өткізгіштік аймағына өту ықтималдығын есептей аламыз h̄ω.Кванттық механиканың «алтын ережесіне» сәйкес, энергияның сақталу заңы болатын уақыт бірлігіндегі көлем бірлігіне ауысулар саныε2=ε1+h̄ω,тең1)

	²^π\|V̂12δ(ε1+h̄ω− ε2).		(8.9)
В12=		\|
	h̄

Мұндаε1бастапқы күйдегі электрон энергиясы (валенттік аймақта);ε2 соңғы күйдегі электронның энергиясы (өткізу аймағында)

көпірлер);V̂ өтпелі матрица элементі болып табылады:
12		∫
̂	e	∫	(8.10)
В12=−		ψ∗(r)AP̂ψ(r)2г3r.	(8.10)
	м0в	1
	м0в

Сонымен, (8.9) тармағында берілген энергияның сақталу заңы мына түрде өрнектеледіδ -функция. Импульстің сақталу заңы (8.9) қай жерде пайда болады деген сұрақ туындайды.
Төменде өтпелі матрицалық элемент екенін дәлелдеймізV̂12(8.10) нөлге тең, егер импульстің сақталу заңы орындалмаса. Әрі қарай y уақыт факторын өткізбеймізА, уақыттан бері (8.10)

басқа ештене маңызды емес. Сондықтан квадраттау кезінде|V̂12|2

Экспонент шықты. Сонда векторлық потенциал ретінде қабылдануы мүмкін ( )
А=А0Exp−менκr.

Электронның өткізгіштік және валенттік жолақтардағы күйлері Блох толқындық функцияларымен сипатталады

ψ1(r) = e	^к1rУvк(r₁),	(8.11)
ψ2(r) = e	к2rУвк(r).	(8.12)
ψ2(r) = e	2	(8.12)

Мұнда »v' валенттілік жолағын білдіреді және 'в» өткізгіштік жолағы,к1 валенттік аймақтағы электронның квазитолқындық векторы,к2 өткізгіштік аймағындағы электронның квазитолқындық векторы,Уvк(r) ЖәнеУвк(r) Блок валенттілік және өткізгіштік ¹зонасына² қатысты амплитудалар, олардың әрқайсысы торлы периоды бар периодтық функция болып табылады. үшін айқын өрнектерді ауыстыруА,ψ1Жәнеψ2

матрицалық элементкеV̂ , Біз алып жатырмыз

∫

[

]

ih̄e

⁽ менк2r

)

А0

Exp−мен(к1+κ)r м0в Уvк(r)∇e

вк

₂ (r)г3r.(8.13)

V̂ =

Бұл өрнектегі интеграл кристалдың бүкіл көлеміне алынады. Сақталу заңы орындалмаса, бұл интеграл нөлге тең болатынын көрсетейік.

1) (8.9)-да бастапқы уақытта күй деп есептеймізε1

электрон басып аладыε2- еркін. Сонда фотонды шығару процестерін

елемеуге болады.

8.2. Жарық сіңіру мәселесіне кванттық-механикалық көзқарас	235

Сурет. 8.6. Матрица элементі үшін (8.15) өрнектің туындысынаВ12. ВекторРnорталық нөлді қосады ұяшық (бастапқы ретінде қабылданады) және орталықn- ші ұяшық. Вектор үшінrжазылуы мүмкін:

r=Рn+б

квазимомент (8.1). Кристалл элементар жасушалардан тұрады (8.6-сурет). Бүкіл кристалдағы интеграцияны бірлік ұяшықтардағы интегралдарға бөлейік. Ерікті нүктені қарастырыңызn-ші элементар ұяшық («1 нүктесі», 8.6-сурет) және центрдегі нүктеn-ші ұяшық («2» нүктесі). Содан кейін векторr, О басынан «1» нүктесіне (О нүктесі элементар ұяшықтың центрі) бара отырып, координат басынан центрге өтетін вектор арқылы өрнектеуге болады.n- ші ұяшықРn:

r=Рn+б. (8.14)

Егер (8.14) ескерсек және оны ауыстырсақV̂12, онда (8.13) интегралды интегралдар қосындысына бөлуге болады, олардың әрқайсысы бірлік ұяшық ішінде есептеледі:

жүктеу/скачать 1,01 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 17