В повседневной жизни и при изучении других предметов

98 

 

 

решать  задачи  на  движение  по  реке,  рассматривая  разные 

системы отсчета. 

Статистика и теория вероятностей  

 

Оперировать  понятиями:  столбчатые  и  круговые  диаграммы, 

таблицы  данных,  среднее  арифметическое,  медиана,  наибольшее  и 

наименьшее  значения  выборки,  размах  выборки,  дисперсия  и  стандартное 

отклонение, случайная изменчивость; 

 

извлекать  информацию,  представленную  в  таблицах,  на 

диаграммах, графиках; 

 

составлять  таблицы,  строить  диаграммы  и  графики  на  основе 

данных; 

 

оперировать  понятиями:  факториал  числа,  перестановки  и 

сочетания, треугольник Паскаля; 

 

применять  правило  произведения  при  решении  комбинаторных 

задач; 

 

оперировать  понятиями:  случайный  опыт,  случайный  выбор, 

испытание,  элементарное  случайное  событие  (исход),  классическое 

определение  вероятности  случайного  события,  операции  над  случайными 

событиями; 

 

представлять информацию с помощью кругов Эйлера; 

 

решать  задачи  на  вычисление  вероятности  с  подсчетом 

количества вариантов с помощью комбинаторики. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

извлекать,  интерпретировать  и  преобразовывать  информацию, 

представленную  в  таблицах,  на  диаграммах,  графиках,  отражающую 

свойства и характеристики реальных процессов и явлений; 

 

определять  статистические  характеристики  выборок  по 

таблицам,  диаграммам,  графикам,  выполнять  сравнение  в  зависимости  от 

цели решения задачи; 

99 

 

 

оценивать вероятность реальных событий и явлений. 

Геометрические фигуры 

 

Оперировать понятиями геометрических фигур;  

 

извлекать,  интерпретировать  и  преобразовывать  информацию  о 

геометрических фигурах, представленную на чертежах; 

 

применять геометрические факты для решения задач, в том числе, 

предполагающих несколько шагов решения;  

 

формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур; 

 

доказывать геометрические утверждения; 

 

владеть 

стандартной 

классификацией 

плоских 

фигур 

(треугольников и четырѐхугольников). 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

использовать  свойства  геометрических  фигур  для  решения  задач 

практического характера и задач из смежных дисциплин. 

Отношения 

 

Оперировать  понятиями:  равенство  фигур,  равные  фигуры, 

равенство  треугольников,  параллельность  прямых,  перпендикулярность 

прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие 

фигур, подобные фигуры, подобные треугольники; 

 

применять  теорему  Фалеса  и  теорему  о  пропорциональных 

отрезках при решении задач; 

 

характеризовать  взаимное  расположение  прямой  и  окружности, 

двух окружностей. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

 

использовать  отношения  для  решения  задач,  возникающих  в 

реальной жизни. 

Измерения и вычисления 

 

Оперировать  представлениями  о  длине,  площади,  объѐме  как 

величинами.  Применять  теорему  Пифагора,  формулы  площади, объѐма при 

100 

 

решении многошаговых задач, в которых не все данные представлены явно, а 

требуют  вычислений,  оперировать  более  широким  количеством  формул 

длины,  площади,  объѐма,  вычислять  характеристики  комбинаций  фигур 

(окружностей и многоугольников) вычислять расстояния между фигурами, 

применять  тригонометрические  формулы  для  вычислений в  более  сложных 

случаях, 

проводить 

вычисления 

на 

основе 

равновеликости 

и 

равносоставленности; 

 

проводить простые вычисления на объѐмных телах; 

 

формулировать задачи  на  вычисление длин, площадей и объѐмов  и 

решать их.  

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

проводить вычисления на местности; 

 

применять  формулы  при  вычислениях  в  смежных  учебных 

предметах, в окружающей действительности. 

Геометрические построения 

 

Изображать  геометрические  фигуры  по  текстовому  и 

символьному описанию; 

 

свободно оперировать чертѐжными инструментами в несложных 

случаях,  

 

выполнять  построения  треугольников,  применять  отдельные 

методы  построений  циркулем  и  линейкой  и  проводить  простейшие 

исследования числа решений; 

 

изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью 

простейших компьютерных инструментов. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

 

выполнять простейшие построения на местности, необходимые в 

реальной жизни;  

 

оценивать размеры реальных объектов окружающего мира. 

Преобразования 

101 

 

 

Оперировать  понятием  движения  и  преобразования  подобия, 

владеть  приѐмами  построения  фигур  с  использованием  движений  и 

преобразований подобия, применять полученные знания и опыт построений 

в смежных предметах и в реальных ситуациях окружающего мира;  

 

строить  фигуру,  подобную  данной,  пользоваться  свойствами 

подобия для обоснования свойств фигур; 

 

применять  свойства  движений  для  проведения  простейших 

обоснований свойств фигур. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

применять  свойства  движений  и  применять  подобие  для 

построений и вычислений. 

Векторы и координаты на плоскости 

 

Оперировать  понятиями  вектор,  сумма,  разность  векторов, 

произведение  вектора  на  число,  угол  между  векторами,  скалярное 

произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора; 

 

выполнять  действия  над  векторами  (сложение,  вычитание, 

умножение  на  число),  вычислять  скалярное  произведение,  определять  в 

простейших случаях угол между векторами, выполнять разложение вектора 

на  составляющие,  применять  полученные  знания  в  физике,  пользоваться 

формулой  вычисления  расстояния  между  точками  по  известным 

координатам, использовать уравнения фигур для решения задач; 

 

применять  векторы  и  координаты  для  решения  геометрических 

задач на вычисление длин, углов. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов:  

 

использовать понятия векторов и координат для решения задач по 

физике, географии и другим учебным предметам. 

История математики 

 

Характеризовать  вклад  выдающихся  математиков  в  развитие 

математики и иных научных областей; 

102 

 

 

понимать роль математики в развитии России. 

Методы математики 

 

Используя  изученные  методы,  проводить  доказательство, 

выполнять опровержение; 

 

выбирать  изученные  методы  и  их  комбинации  для  решения 

математических задач; 

 

использовать 

математические 

знания 

для 

описания 

закономерностей  в  окружающей  действительности  и  произведениях 

искусства; 

 

применять  простейшие  программные  средства  и  электронно-

коммуникационные системы при решении математических задач. 

Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для 

успешного продолжения образования на углублѐнном уровне 

Элементы теории множеств и математической логики 

 

Свободно  оперировать

7

  понятиями:  множество,  характеристики 

множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, 

подмножество,  принадлежность,  включение,  равенство  множеств,  способы 

задание множества; 

 

задавать множества разными способами; 

 

проверять выполнение характеристического свойства множества; 

 

свободно  оперировать  понятиями:  высказывание,  истинность  и 

ложность  высказывания,  сложные  и  простые  высказывания,  отрицание 

высказываний;  истинность  и  ложность  утверждения  и  его  отрицания, 

операции  над  высказываниями:  и,  или,  не;условные  высказывания 

(импликации); 

 

строить  высказывания  с  использованием  законов  алгебры 

высказываний. 

                                                 

7

 Здесь и далее – знать определение понятия, знать и уметь доказывать свойства (признаки, если они есть) 

понятия, характеризовать связи с другими понятиями, представляя одно понятие как часть целостного 

комплекса, использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении 

задач. 

103 

 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

строить рассуждения на основе использования правил логики; 

 

использовать множества, операции с множествами, их графическое 

представление  для  описания  реальных  процессов  и  явлений,  при  решении 

задач других учебных предметов. 

Числа 

 

Свободно  оперировать  понятиями:  натуральное  число,  множество 

натуральных  чисел,  целое  число,  множество  целых  чисел,  обыкновенная 

дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество 

рациональных  чисел,  иррациональное  число,  корень  степени  n, 

действительное  число,  множество  действительных  чисел,  геометрическая 

интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; 

 

понимать  и  объяснять  разницу  между  позиционной  и 

непозиционной системами записи чисел; 

 

переводить  числа из  одной  системы  записи  (системы  счисления)  в 

другую; 

 

доказывать и использовать признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 

10, 11 суммы и произведения чисел при выполнении вычислений и решении 

задач; 

 

выполнять  округление  рациональных  и  иррациональных  чисел  с 

заданной точностью; 

 

сравнивать действительные числа разными способами; 

 

упорядочивать  числа,  записанные  в  виде  обыкновенной  и 

десятичной  дроби,  числа,  записанные  с  использованием  арифметического 

квадратного корня, корней степени больше 2; 

 

находить НОД и НОК чисел разными способами и использовать их 

при решении задач; 

 

выполнять  вычисления  и  преобразования  выражений,  содержащих 

действительные числа, в том числе корни натуральных степеней. 

104 

 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

выполнять  и  объяснять  результаты  сравнения  результатов 

вычислений  при  решении  практических  задач,  в  том  числе  приближенных 

вычислений, используя разные способы сравнений; 

 

записывать,  сравнивать,  округлять  числовые  данные  реальных 

величин с использованием разных систем измерения;  

 

составлять  и  оценивать  разными  способами  числовые  выражения 

при решении практических задач и задач из других учебных предметов. 

Тождественные преобразования 

 

Свободно  оперировать  понятиями  степени  с  целым  и  дробным 

показателем; 

 

выполнять  доказательство  свойств  степени  с  целыми  и  дробными 

показателями; 

 

оперировать  понятиями  «одночлен»,  «многочлен»,  «многочлен  с 

одной 

переменной», 

«многочлен 

с 

несколькими 

переменными», 

коэффициенты  многочлена,  «стандартная  запись  многочлена»,  степень 

одночлена и многочлена; 

 

свободно  владеть  приемами  преобразования  целых  и  дробно-

рациональных выражений; 

 

выполнять  разложение  многочленов  на  множители  разными 

способами, с использованием комбинаций различных приѐмов; 

 

использовать  теорему  Виета  и  теорему,  обратную  теореме  Виета, 

для поиска корней квадратного трѐхчлена и для решения задач, в том числе 

задач с параметрами на основе квадратного трѐхчлена; 

 

выполнять деление многочлена на многочлен с остатком; 

 

доказывать свойства квадратных корней и корней степени n; 

 

выполнять  преобразования  выражений,  содержащих  квадратные 

корни, корни степени n; 

105 

 

 

свободно  оперировать  понятиями  «тождество»,  «тождество  на 

множестве», «тождественное преобразование»; 

 

выполнять  различные  преобразования  выражений,  содержащих 

модули.

 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

выполнять преобразования и действия с буквенными выражениями, 

числовые коэффициенты которых записаны в стандартном виде; 

 

выполнять преобразования рациональных выражений при решении 

задач других учебных предметов; 

 

выполнять  проверку  правдоподобия  физических  и  химических 

формул на основе сравнения размерностей и валентностей. 

Уравнения и неравенства 

 

Свободно  оперировать  понятиями:  уравнение,  неравенство, 

равносильные  уравнения  и  неравенства,  уравнение,  являющееся  следствием 

другого  уравнения,  уравнения,  равносильные  на  множестве,  равносильные 

преобразования уравнений; 

 

решать  разные  виды  уравнений  и  неравенств  и  их  систем,  в  том 

числе  некоторые  уравнения  3  и  4  степеней,  дробно-рациональные  и 

иррациональные; 

 

знать теорему Виета для уравнений степени выше второй; 

 

понимать  смысл  теорем  о  равносильных  и  неравносильных 

преобразованиях уравнений и уметь их доказывать; 

 

владеть  разными  методами  решения  уравнений,  неравенств  и  их 

систем, уметь выбирать метод решения и обосновывать свой выбор; 

 

использовать  метод  интервалов  для  решения  неравенств,  в  том 

числе  дробно-рациональных  и  включающих  в  себя  иррациональные 

выражения; 

 

решать  алгебраические  уравнения  и  неравенства  и  их  системы  с 

параметрами алгебраическим и графическим методами; 

106 

 

 

владеть разными методами доказательства неравенств; 

 

решать уравнения в целых числах; 

 

изображать  множества  на  плоскости,  задаваемые  уравнениями, 

неравенствами и их системами. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

составлять  и  решать  уравнения,  неравенства,  их  системы  при 

решении задач других учебных предметов; 

 

выполнять  оценку  правдоподобия  результатов,  получаемых  при 

решении  различных  уравнений,  неравенств  и  их  систем  при  решении  задач 

других учебных предметов; 

 

составлять  и  решать  уравнения  и  неравенства  с  параметрами  при 

решении задач других учебных предметов; 

 

составлять  уравнение,  неравенство  или  их  систему,  описывающие 

реальную  ситуацию  или  прикладную  задачу,  интерпретировать  полученные 

результаты. 

Функции 

 

Свободно  оперировать  понятиями:  зависимость,  функциональная 

зависимость,  зависимая  и  независимая  переменные,  функция,  способы 

задания  функции,  аргумент  и  значение  функции,  область  определения  и 

множество значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, 

монотонность 

функции, 

наибольшее 

и 

наименьшее 

значения, 

чѐтность/нечѐтность  функции,  периодичность  функции,  график  функции, 

вертикальная, горизонтальная, наклонная асимптоты; график зависимости, не 

являющейся функцией,  

 

строить  графики  функций:  линейной,  квадратичной,  дробно-

линейной, степенной при разных значениях показателя степени, 

y

x

; 

 

использовать  преобразования  графика  функции 

y

f x

  для 

построения графиков функций 

y

af kx

b

c

;  

107 

 

 

анализировать  свойства  функций  и  вид  графика  в  зависимости  от 

параметров; 

 

свободно 

оперировать 

понятиями: 

последовательность, 

ограниченная  последовательность,  монотонно  возрастающая  (убывающая) 

последовательность, 

предел 

последовательности, 

арифметическая 

прогрессия,  геометрическая  прогрессия,  характеристическое  свойство 

арифметической (геометрической) прогрессии;  

 

использовать метод математической индукции для вывода формул, 

доказательства равенств и неравенств, решения задач на делимость; 

 

исследовать последовательности, заданные рекуррентно; 

 

решать 

комбинированные 

задачи 

на 

арифметическую 

и 

геометрическую прогрессии. 

В повседневной жизни и при изучении других предметов: 

 

конструировать  и  исследовать  функции,  соответствующие 

реальным процессам и явлениям, интерпретировать полученные результаты в 

соответствии со спецификой исследуемого процесса или явления; 

 

использовать  графики  зависимостей  для  исследования  реальных 

процессов и явлений; 

 

конструировать и исследовать функции при решении задач других 

учебных 

предметов, 

интерпретировать 

полученные 

результаты 

в 

соответствии со спецификой учебного предмета. 

Статистика и теория вероятностей  

 

Свободно  оперировать  понятиями:  столбчатые  и  круговые 

диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее 

и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное 

отклонение, случайная изменчивость; 

 

выбирать  наиболее  удобный  способ  представления  информации, 

адекватный еѐ свойствам и целям анализа; 

 

вычислять числовые характеристики выборки; 

108 

 

 

свободно  оперировать  понятиями:  факториал  числа,  перестановки, 

сочетания и размещения, треугольник Паскаля; 

 

свободно  оперировать  понятиями:  случайный  опыт,  случайный 

выбор,  испытание,  элементарное  случайное  событие  (исход),  классическое 

определение  вероятности  случайного  события,  операции  над  случайными 

событиями, основные комбинаторные формулы; 

 

свободно  оперировать  понятиями:  случайный  опыт,  случайный 

выбор,  испытание,  элементарное  случайное  событие  (исход),  классическое 

определение  вероятности  случайного  события,  операции  над  случайными 

событиями, основные комбинаторные формулы; 

 

знать примеры случайных величин, и вычислять их статистические 

характеристики; 

 

использовать 

формулы 

комбинаторики 

при 

решении 

комбинаторных задач; 

 

решать  задачи  на  вычисление  вероятности  в  том  числе  с 

использованием формул. 

жүктеу/скачать 4,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: