§53. Өткізгіштердің электростатикасы

(53.1)
немесе интегралдық белгілеуде,

(53.2)
I. Өткізгіштер ішіндегі электростатикалық өріс

=0 (53.3)

(53.4)
Басқаша айтқанда, өткізгішке берілген немесе сыртқы өріс әсерінен туындаған барлық зарядтар оның бетінде орналасқан. Олардың таралуы бетінің тығыздығымен сипатталады

Алайда, бұл пайымдау толығымен қатаң емес екенін есте ұстаған жөн, өйткені ол тек теңдікке сүйенеді (53.3). Шындығында, (53.4) дұрыстығы үшін бірінші теңдеу (53.1) орындалуы қажет, яғни. ақырында - Кулон заңы (§7, 1-тармақты қараңыз). Егер соңғысы бұзылса, (53.3) қарамастан, теңдік (53.4) орындалмас еді.

Бұл жағдайды Г.Кавендиш бұрыннан анық білген. Соған сүйене отырып, ол 1773 ж. және заңды бекітті электростатикалық әрекеттесу күші үшін. Кавендиштің тәжірибелері бұралу таразысын пайдаланған К.Кулоннан 12 жыл бұрын жүргізілді және үлкен дәлдігімен ерекшеленді. Алайда оның еңбектері 1879 жылға дейін белгісіз болып қалды, оны Дж.Максвелл басып шығарды, ол сәйкес өлшемдерді сәл өзгертілген техникамен қайталады. Егер есептесеңіз содан кейін бұл Кавендиштің тәжірибелерінен шықты Кулон тәжірибелерінен Максвелл тәжірибелерінен. 1936 жылы. С.Плимптон мен У.Лотон оны анықтады
Кавендиш пен Максвелл тәжірибелерінде радиустары әртүрлі екі өткізгіш шар алынды, олар бірінің ішіне бірінің ішіне орналастырылып, өткізгіш арқылы жалғанып, Лейден жағалауына жалғанған. Содан кейін шарлар ажыратылды, сыртқысы алынып тасталды және (53.4) формуланы, демек, Кулон заңын тексеру үшін ішкі зарядты қалдық үшін зерттеді. Плимптон мен Лотонның тәжірибесі дәл осылай жүргізілді, бірақ шарлар бір-бірімен қосылмады және тек сыртқы зарядталады. Эксперименттің бұл тұжырымы қосымша талдауды қажет етеді, ол да тәуелсіз қызығушылық тудырады.
Өйткені, осы уақытқа дейін өткізгіштер жай ғана қосылған деп саналды, яғни. қатты. Енді олардың біреуінің ішінде бос (ρ = 0) қуыс бар деп есептейік. Қуыста өріс жоқ деп көрсетілген:

(53.5)
және өткізгіштің ішкі бетінде зарядтар жоқ:

(53.6)
Теңдік (53.5) электростатикалық қорғаныстың негізі болып табылады. Ол сонымен қатар Плимптон мен Лотонның өлшеу нәтижелерін талдауда қолданылады. Тұжырымдалған тұжырымдарды математикалық физиканың кейбір жалпы теоремалары арқылы бірден дәлелдеуге болады (төменде қараңыз). Бірақ біз оларды (53.2) теңдеулеріне және (53.3) және (53.4) теңдіктеріне сүйене отырып, оңайырақ орнатамыз, яғни. шын мәнінде, тек Кулон заңы мен дирижер анықтамасы бойынша.

Алдымен өткізгіштің ішкі бетіндегі толық заряд нөлге тең екенін көрсетейік. Ол үшін қуысты қоршап тұрған өткізгіштің қалыңдығындағы бетті ретінде таңдап, Гаусс теоремасын (53.2) қолданамыз (суретті қараңыз). (53.3) күші бойынша арқылы электр өрісінің ағыны нөлге тең, сондықтан . Өйткені шынында өткізгіште және бос қуыста , онда өткізгіштің ішкі бетіндегі заряд нөлге тең болатыны шығады.

(53.7)
Оларға өткізгіштердің беттеріне шекара жағдайларын қосу керек. (19.5) және (19.6) - дан (53.3) есепке алу кезінде

(53.8)
және

, (53.9)
Мұндағы – жолсерік нөмірі. Егер өткізгіштердің соңғы өлшемдері болса және олардың арасындағы зарядтардың таралуы ақырғы болса,онда өріс табиғи шекаралық жағдайға да бағынуы керек (19.4). Теңдіктерден (53.9) осы өткізгіштің жанындағы өрістің күш сызықтары оның бетіне перпендикуляр екендігі белгілі болды. Теңдіктің мағынасын (53.8) кейінірек талқылаймыз.

Әдеттегідей, өрістің өзімен күресу оңай емес , ал электростатикалық потенциалмен , ол арқылы стандартты түрде көрсетіледі:

(53.10)
Потенциал Пуассон теңдеуіне бағынады (19.11)

(53.11)
өткізгіштер арасында заряд болмаған кезде – Лаплас теңдеуі

. (53.12)

(53.13)
және

(53.14)
Егер өткізгіштер ақырлы болса және зарядтардың таралуы ақырғы болса, онда әлеуетке табиғи шекаралық шарт қойылады (19.14)

(53.15)
Теңдік (53.14) әр өткізгіштің беті эквипотенциалды екенін білдіреді. (53.3) және (53.5) арақатынасын ескере отырып, потенциал осы өткізгіштің бетіндегі барлық нүктелерде ғана емес, сонымен қатар оның барлық ішкі нүктелерінде – қалың және бос қуыстарда бірдей болатындығын табамыз. Теңдіктерге (53.13) [және олардың баламалы теңдіктеріне (53.8)] келетін болсақ, олардың өздерін шекаралық шарттар ретінде қарастыруға болмайды.

Өткізгіштердің беттеріндегі зарядтардың таралуы алдын ала белгісіз және олай емес берілгенде , керісінше, функциялары қандай да бір жолмен табылған потенциал арқылы анықталады [немесе өріс :

(53.16)
Осы теңдіктердің әрқайсысы сәйкес өткізгіштің бетінде біріктірілгеннен кейін ғана шекаралық шарттың шын мәнін алады.

. (53.17)

(53.18)
(– әйгілі тұрақты), қажет болған жағдайда табиғи шекаралық шартпен толықтырылады (53.15).

2. Екінші типті есептерде барлық өткізгіштердің зарядтары көрсетіледі (олар сыртқы денелерден оқшауланған). Мұнда шекаралық шарттары (53.17) ( белгілі) және (53.15) болатын (53.11) немесе (53.12) теңдеуінің шешімін іздейміз.

Көрсетілген типтегі есептер үшін (сонымен қатар аралас типті есептер үшін) сәйкес бірегейлік теоремалары орындалады (осы бөлімге қосымшаны қараңыз). Бірегейлік теоремасы бірінші типтегі ішкі есеп үшін де орындалатынын ескеріңіз.Жалпы, ол былай тұжырымдалады: функциясы болса соңғы аймақта қанағаттандырады Лаплас теңдеуі (53.12) тұйық облыста үздіксіз оның ішінде шекара , және қабылдайды берілген мәндер, бұл функция бірегей болып табылады. Оқырманға (53.5) және (53.6) теңдіктерді орнату үшін осы теореманы өз бетінше қолдану ұсынылады.

Өткізгіштердің электростатикасының есептерін шешудің көптеген әдістері бар. Олардың кейбіреулері §22 және §52-де нақты айтылған немесе тіпті қарастырылған. Бұрын кездеспеген бейнелеу әдісіне тоқталайық. Оның идеясы - өткізгіштер арасындағы аймақтағы Пуассон теңдеуі мен олардың беттеріндегі шекаралық шарттар өзгермейтін, нақты өткізгіштерді жалған зарядтармен ("бейнелер") 250 осылай ауыстыру. Көрсетілген аймақтағы бірегейлік теоремасының күшімен бастапқы есептің шешімі жаңа есептің шешімімен сәйкес келеді - өткізгіштерсіз, бірақ қосымша зарядтармен. Қарапайым мысал ретінде шексіз жерге тұйықталған өткізгіш жазықтықтан (немесе өткізгішпен толтырылған жарты кеңістіктің шекарасынан) a қашықтықта орналасқан q нүктелік зарядтың есебін қарастырайық. Ауданда тапсырма берілген, шексіз жерге тұйықталған өткізгіш жазықтықтан a қашықтықта орналасқанжәне Пуассон теңдеуіне бағынатын φ потенциалын табудан тұрады

(53.19)
және (53.18) және (53.15) нысандарының шекаралық шарттары:

(53.20)

(53.21)
Жазықтықта индукцияланған зарядтардың беттік тығыздығы үшін (53.16) және (53.21) -ден бізде бар

,
және

(53.22)
(белгілері суретте түсіндіріледі). полярлық координаталары арқылы жазықтықтағы интегралдау, біз жалпы индукцияланған зарядты аламыз

сонда

күші , , мұндағы –нүктесіндегі жазықтық зарядтары тудыратын өріс . Бірақ бұл өріс заряд өрісімен сәйкес келеді , ,яғни

(53.24)
Зарядтың өткізгіш жазықтықпен әрекеттесу энергиясы тең болуы керек сияқты

,
бірақ іс жүзінде бұл жартысы:

. (53.25)

Қосымша коэффициентінің пайда болуы бұл жерде көрсетілген жұмысты есептеген кезде жазықтығынан нақты зарядты ғана емес, сонымен бірге оның «бейнесін» алып тастау керектігімен байланысты, ол индукцияланған зарядтардың әрекетін тиімді ауыстырады.

Зарядтары бар өткізгіштердің жалпы жүйесіне оралайық және потенциалдармен . Өткізгіштерден тыс зарядтар жоқ деп есептей отырып, §25-те сипатталған әдісті пайдаланып, осы жүйенің энергиясын табайық :

(53.26)
[салыст. с (25.4)].

Бұған екі төлем де кіреді , және потенциалдар өткізгіштер, бірақ әдетте тек біреуі немесе басқасы көрсетіледі. Сондықтан (53.26) өрнекті энергияға тек зарядтар немесе тек потенциалдар кіретіндей етіп қайта жазу пайдалы. Ол үшін кезінде өткізгіштердің электростатикасының барлық теңдеулері мен шекаралық шарттары сызықтық және потенциалдар мен зарядтар бойынша біртекті болатынын ескереміз: бұл шамаларды кез келген тұрақты санына көбейткенде олар өз пішінін сақтайды. Бірақ бұл өткізгіштердің зарядтары (потенциалдар) олардың потенциалдарының (зарядтарының) сызықтық функциялары болған жағдайда ғана болуы мүмкін. Обсудим эту проблему подробнее на примере уединенного проводника, для которого, согласно (53.26),

(53.27)

Шамалары екенін дәлелдеп көрейік и бір-біріне пропорционал. Алдымен кондукторға заряд қоямыз , содан кейін оны зарядпен ауыстырыңыз . Т потенциалдарды анықтау үшін бізде жоғарыда аталған типтердің екіншісінің келесі екі мәселесі болады:

.

Сол қатынастың екі жағын -ға көбейтсек, функциялардың болатынын көреміз және бірдей теңдеулер мен шекаралық шарттарға бағынады. Сондықтан бірегейлік теоремасының күшімен , , сонда . Осылайша, берілген өткізгіштің зарядының оның потенциалына қатынасы тұрақты бар:

Ол өткізгіштің геометриясымен анықталады және оның сыйымдылығы деп аталады. Шамасы бойынша сыйымдылық өткізгіштің сипаттамалық сызықтық өлшеміне тең. Атап айтқанда, оңай көрінетіндей, өткізгіш шар үшін. Сонымен,заряды мен потенциалы шын мәнінде бір-біріне пропорционал екенін дәлелдедік.

. (53.29)
Осы өрнектерді (53.27) формулаға ауыстырсақ, біз болады

. (53.30)

(53.31)
немесе

, (53.32)

Мұндағы матрица, -ге кері . Ұзындық өлшемі бар , Диагональды элементтер матрицалар C сыйымдылық коэффициенттері деп аталады, оның элементтері к электростатикалық индукция коэффициенттері. матрицасы симметриялы екенін көрсетуге болады :

. (53.33)
(53.31) және (53.32) көмегімен өткізгіштер жүйесінің энергиясы үшін өрнек (53.26) олардың потенциалдарынан немесе зарядтарынан квадрат түрінде ұсынылады:

(53.34)
[салыстыру. с (53.30)], жоғарыда қойылған тапсырма қалай шешіледі.

(53.35)
Конденсатордың негізгі сипаттамасы-оның сыйымдылығы

(53.36)
[салыстыру. с (53.28)]. (53.26) және (53.35) зарядталған конденсатордың энергиясы үшін бізде

немесе сыйымдылықты анықтауды ескере отырып (53.36),

(53.37)
Нәтижесінде біз формулаға (8.34) мектеп физика оқулығынан келеміз.

Жеке зарядталған өткізгішке оралыңыз. Созылу күштері оның бетіне әсер етеді, өйткені бірдей зарядтар бір-бірінен итеріледі. Жер үсті күштері электростатикалық өрісте орналасқан бейтарап өткізгішке де әсер етеді – сыртқы немесе басқа зарядталған өткізгіштер жасайды. Біз олардың тығыздығын, яғни өткізгіштің бетінің бірлігіне келетін күш табамыз.

Ол үшін бетінің таңдалған элементіне осы беткі элементте орналасқаннан басқа барлық зарядтар тудыратын өріс жағынан күштер әсер ететінін ескеріңіз. арқылы бөлінген зарядтардың өрісін, арқылы – қалған барлық зарядтардың өрісі, ал арқылы – оның бетіне жақын өткізгіштің сыртында , ал өткізгіштің ішінде нөлге тең болатын жалпы өріс. Сонда қарата сурет және опуская бағыттамалар үстінен векторлар (олар коллинеарны бір-біріне), ие боламыз
осыдан

.
Демек, беттік күштің элементі тең

,
және нәтижесінде біз алатын күш тығыздығы үшін

немесе

. (53.38)
Мұнда – өткізгіштің жанындағы электростатикалық өрістің энергия тығыздығы, ал - оның бетіне бір қалыпты вектор. (53.38) формуласының басқа туындысы осы тармақтың қосымшасында келтірілген.
III. Диэлектрлік өткізгіштер
Енді өткізгіштер арасындағы бүкіл кеңістік диэлектрлік өтімділігі біртекті диэлектрикпен толтырылсын. Сонда сыртқы аймақтағы электростатикалық өріс (52.1) теңдеулеріне бағынады, немесе

(53.39)
және (52.5) ​​және (53.8) - (53.9) біріктіру арқылы алынатын шекаралық шарттар:

(53.40)

, (53.41) ол шекаралық шарттар жиынтығының бірімен толықтырылуы керек

(53.42)
және, мүмкін, табиғи шекаралық шарт (52.11).

(47.24) сәйкес диэлектриктегі электростатикалық өрістің энергия тығыздығы формуламен берілген.

. (53.43)

Зарядтары және потенциалдары болатын өткізгіштер жүйесінің толық энергиясын есептеу кезінде, диэлектрикке батырылған болса, II тармақтағы есептеулерді мәнін мен қатынасқа ауыстырып шығару жеткілікті. . Нәтижесінде (53.26) пішіні бойынша бірдей өрнек аламыз:

. (53.44)
Өткізгіштер жүйесінің энергиясы олардың арасындағы кеңістік диэлектрикпен толтырылған кезде өзгереді ме, ал егер ол өзгерсе, онда ол қалай артады немесе азаяды деген табиғи сұрақ туындайды. Жауап өткізгіштерге қойылатын қосымша шарттарға байланысты. Мұнда шекаралық есептің екі түрлі тұжырымына сәйкес келетін екі төтенше жағдай (сонымен қатар аралас) мүмкін: (а) барлық өткізгіштер оқшауланған, сондықтан олардың зарядтары бекітілген; (b) өткізгіштер жерге тұйықталған немесе тұрақты кернеу көздеріне қосылған, осылайша олардың потенциалдары бекітілген.

§52-де көргеніміздей, берілген зарядтар үшін біртекті диэлектриктегі өріс есе әлсірейді, яғни , сонда, . Керісінше, диэлектриктегі өріс өзгеріссіз қалуы үшін, яғни. , барлық зарядтарды есе көбейту керек: . Сәйкес және мәндерін (53.44) формулаға қойып, бірінші жағдайда осыны аламыз.

, (53.45)
ал екінші жағдайда

(53.46)
Осылайша, өткізгіштер жүйесінің қозғалмайтын зарядтарында оның энергиясы вакууммен салыстырғанда диэлектриктегі есе азаяды. Бұл бастапқы өріс энергиясының бір бөлігі диэлектриктің поляризациясына жұмсалатындығына байланысты. Тұрақты потенциалдарда энергия есе артады. Оның өсуі тұрақты кернеу көздерінің жұмысына байланысты болады, олар өткізгіштердің потенциалдарын тұрақты ұстау үшін оларға қосымша зарядтар береді .