Дәріс электродинамиканың негізгі ұҒымдары алдағы үш тарауда басты міндеттердің бірі шешіледі – классикалық электродинамиканың құрылысын салу және егжей-тегжейлі талқылау. Ол кестеде келтірілген
жүктеу/скачать 1,72 Mb.
|
Дәрістер
§47 Феноменологиялық көзқарас Зат - көптеген бөлшектердің макроскопиялық жүйесі. Сыртқы электромагниттік өріс ондағы элементар зарядтардың және олар тудыратын элементар токтардың жергілікті қайта бөлінуін тудырады, бұл өз кезегінде бастапқы өрістің өзгеруіне әкеледі. Нәтижесінде зат пен өріс бөлшектерінің бірлескен әрекетін өзін-өзі үйлестірудің күрделі міндеті туындайды. Кіріспеде айтылғандай, толық және дәйекті шешіммен статистикалық физика мен кинетика идеяларын тарту қажет. Алайда, кейбір жағдайларда бөлшектерге байланысты өзгермелі күйлерді қарастырудан тиімді түрде алып тастауға болады. Бұған электромагниттік өрістің күй айнымалыларының санын екі есе көбейту арқылы қол жеткізіледі – электрлік және магниттік өрістермен бірге және екі көмекші векторлық өріс және . Барлық осы шамалардың мәні келесі параграфтарда, статистикалық тәсіл элементтерін ұсыну процесінде анықталады. Мұнда біз Дж. Максвеллге көтерілген құбылыстардың осы шеңберін феноменологиялық талдаумен шектелеміз. Ⅰ. Өрістер және Талқылауды стационарлық электромагниттік өрістер жағдайынан бастайық. Электр зарядтары белгілі бір көлемдік тығыздықпен бөлінсін . Егер бұл зарядтар вакуумда болса, онда олар бірінші теңдеуге бағынатын электростатикалық өрісті тудырады (19.2): Егер бірдей зарядтар затқа салынса, онда жоғарыда айтылғандай, олар жасаған өріс , -ден өзгеше болады және ол үшін . Керісінше теңдігін сақтау үшін затқа -дан басқа тығыздығы бар зарядтарды қою керек. Осы эмпирикалық фактілер курсын сипаттау үшін көмекші векторлық өріс электрлік ығысу деп аталады (ескі терминологияда – электр индукциясы), оны біз жай өріс деп атаймыз (21 б. айтылғанмен салыстыр). Анықтамасы бойынша берілген (47.1.) түріндегі теңдеуге бағынады Осыған байланысты ол зарядтың бірдей таралуы арқылы вакуумда пайда болатын электр өрісімен сәйкес келеді. Дегенмен, мұндай интерпретацияға тым байыпты қабылдауға болмайды, өйткені тек теңдеумен (47.2) өрісті толық анықталмайды. Атап айтқанда, (47.1) және (47.2) қатынасынан туындайтын , яғни Электростатикалық өрістің потенциалдық қасиеті зарядтардың таралу сипатымен ешқандай байланысты емес екенін ескеріңіз, яғни олардың жергілікті ығысулары оны өзгерте алмайды. Сондықтан екінші теңдеу (19.2) вакуумда да (rot) және затта да әділ болуы керек: Осындай дәлелдер стационарлық магнит өрісіне де қатысты. Тығыздығы бар электр тогы вакуумда екінші теңдеуге бағынатын магнит өрісін (27.5): Затта бірдеу ток -ден магнит өрісін тудырады. Теңдікті сақтау үшін токтың тығыздығы -ден өзгеше болуы керек. Осы эмпирикалық фактілерді сипаттау үшін магнит өрісінің күші енгізіледі. Анықтама бойынша өрісті түр теңдеуіне бағынады (47.4) Ол магнит өрісіне сәйкес келеді, екінші вакуумда бірдей электр тогымен пайда болады [алайда, теңдеуден кейінгі ескертуді қараңыз (47.2)]. Сонымен қатар, табиғатта магниттік зарядтардың болмау фактісі әмбебап, сондықтан бірінші теңдеу (27.5) вакуумда да () және затта да болады: Енді стационарлық емес электромагниттік өрістердің жалпы жағдайында тоқталайық. (47.6) теңдеу кез-келген жағдайда өз күшін сақтайды. Ол (47.1) теңдеуіне және вакуумға, жалпы әділеттілікке және заттағы теңдеулерге (47.2) ұқсас түрде жариялады (бірақ іс жүзінде оның қолдану аясы онша кең емес). Осылайша, вакуумдағы (47.3) және (47.5) теңдеулер түрлендіруге жатады, олардың біріншісі теңдеумен ауыстырылды электромагниттік индукция құбылысын ескере отырып. Бірақ (47.7) және функцияларын қамтымайды және элементар зарядтар мен токтардың жергілікті қайта бөлінуін көрсете алмайды. Сондықтан бұл теңдеу вакуумда ғана емес, затта да орындалуы керек. (47.5) теңдеуді стационарлық емес жағдайға жалпылау үшін біз екі бөлікті де (47.2) уақыт бойынша ажыратамыз және электр зарядының сақталу заңын ескереміз
Сонда бізде болады немесе
Сондықтан мұндай векторлық өрістің болуы , бұл Стационарлық жағдайда бұл қатынас (47.5) өтуі керек, сондықтан қою табиғи, нәтижесінде біз теңдеуге келеміз Ⅱ. Күй айнымалылары, динамикалық теңдеулер, байланыстар Сонымен, заттағы электромагниттік өріс күйінің айнымалылары ретінде төрт векторлық функция пайда болады Жақында көретініміздей, олардың барлығы тәуелсіз емес. Қатты ортаның электродинамикасының динамикалық теңдеулері-заттағы Максвелл теңдеулері [(8.1) қараңыз]: Халықаралық бірліктер жүйесінде (ХБЖ) олар былай жазылады [қараңыз. (8.3)] Максвелл теңдеулерін интегралдық түрде қайта жазуға болады [қараңыз (8.1)-ден (8.5) дейін]. Сәйкес теңдеулер оларға кіретін функциялардың тегістігін білдірмейді және келесідей көрінеді [қараңыз (8.5)]: (8.1) [немесе (8.3)] және (8.5) - ге қарағанда заттағы Максвелл теңдеулері әмбебап емес екенін тағы бір рет атап өтеміз. Олар заттардың өте тар класы үшін және әлсіз және баяу өзгеретін өрістер үшін жарамды. Қазіргі физикада бұл теңдеулер көптеген өзгерістерге ұшырайды. Бірақ теңдеудің қолданылу аймағында да (47.10) [және (47.12)] өздері өте маңызды емес, өйткені олар тым көп белгісіздерді қамтиды ( белгісіз теңдеулер). Қатты ортадағы электродинамика теңдеулерінің жабық жүйесін алу үшін сізге қосымша болжамдар жасау керек. Атап айтқанда, және , және арқылы өрістерді білдіретін материалдық теңдеулер бар деп саналады: Бұл қатынастар байланыс рөлін атқаратындығын ескеріңіз (4 кестені қараңыз 210 б.) негізінде олар алгебралық ғана емес, сонымен бірге әлдеқайда күрделі (айталық, интегралды) болуы мүмкін құрылымы. Материалдық теңдеулер заттағы Максвелл теңдеулеріне қарағанда одан да әмбебап емес. Олардың түрлері, әдетте, қарастырылып отырған әр нақты ортаның физикалық қасиеттерін зерттеу арқылы анықталуы керек. Максвеллдің стандартты теориясында бұл жиі қабылданады немесе, ХБЖ-да мұндағы - (салыстырмалы) диэлектрлік тұрақты, - (салыстырмалы) магнит өткізгіштігі ( және - электрлік және магниттік тұрақты). Алайда мұндай материалдық теңдеулер тек қарапайым жағдайларда ғана жарамды екенін есте ұстаған жөн. Қатынастарды қолдану шарттары (47.13) келесі параграфтарда талқыланады. Максвелл дифференциалдық теңдеулерінің жалғыз шешімін таңдау үшін (47.10) (материалдық теңдеулермен толықтырылған) оларға белгілі бір мәнді қосу керек. Әртүрлі материалдық орталардың интерфейстерінде тұжырымдалған шекаралық шарттар. Бұл шекаралық шарттар Максвеллдің интегралдық түрдегі теңдеулерінен (47.12) шығады, олар бүкіл кеңістікте жарамды. Олар вакуумдегі электростатика теңдеулерін талдау кезінде §19-дағыдай дәл осылай шығарылады. Оқырман өз бетімен орындауға шақырылатын тиісті есептеулерден кейін біз аламыз Мұнда екі ортаның интерфейсінде тығыздығы σ болатын беттік зарядтар болуы мүмкін екені ескерілген. Негізінде, тығыздығы екінші шартқа (47.16) кіруі керек беттік токтардың болуы жоққа шығарылмайды. Бірақ мұндай физикалық проблемалар болашақта кездеспейді және біз жер үсті ағындары жоқ деп есептейміз. Бір шешімді таңдау үшін өрістердің әрекетін шексіздікте және, мүмкін, координаталар бастауында түзету қажет екенін ескеріңіз (§19-мен салыстырыңыз). Бұл шекаралық шарттардың нақты нысаны белгілі бір физикалық есепті құрастыру арқылы анықталады. Ⅲ. Потенциалдар Теңдеулер (47.10.Ⅱ) заттағы электромагниттік өрістің скаляр және векторлық потенциалдарын және енгізуге мүмкіндік береді. және өрістері олар арқылы вакуумдағыдай көрінеді [(10.3) қараңыз]: Потенциалдар үшін теңдеулер Максвелл теңдеулерінің бірінші жұбынан тұрады (47.10.I), бірақ міндетті түрде материалдық теңдеулермен толықтырылады (47.13). Егер соңғы көрініс болса (47.14), содан кейін (47.17) және (47.10.I) аламыз Бірақ тіпті потенциалдар үшін осы теңдеулер, сондай-ақ олардан туындайтын шекаралық жағдайлар (47.16), (47.14) және (47.17) өте күрделі. Бұл шамаларды туынды белгілермен алып тастауға болатын біртекті орталар жағдайында айтарлықтай жеңілдіктерге қол жеткізіледі. §10-да жүргізілген есептеулерге ұқсас есептеулер жасай отырып және потенциалдарға Лоренцтің өзгертілген жағдайын қолдана отырып [(10.7)-мен салыстыр] Даламбер теңдеулеріне келейік [(10.8) салыстыр] онда
Ⅳ. Энергияның сақталу заңы Заттағы электромагниттік өріс үшін энергетикалық тепе-теңдік теңдеуін қарастырыңыз (§11 салыстыр). (47.10,г) теңдеуді , теңдеуді (47.10,б) скалярға көбейтіп, нәтижелерін есептейміз: осыдан
Бұл қатынас теңдеуге өте ұқсас (11.5), бірақ сонымен бірге одан айтарлықтай ерекшеленеді. Еркін жағдайда бұйра жақшалардағы мүшелер белгілі бір W шамасынан уақыт туындысы ретінде көрінбейді, сондықтан, жалпы айтқанда, заттағы электромагниттік өрістің энергиясы үшін нақты өрнек беру мүмкін емес. Алайда, қарапайым материалдық теңдеулер (47.14) уақытқа тәуелді емес және бар деп айтайық. Сонда бізде болады және (47.22) қайта жазылады онда
(47.23) теңдеуді (11.8) де түсіндіруге болады. Ол энергияның сақталу заңын білдіреді, ал W-заттағы электромагниттік өрістің энергия тығыздығы, ал – осы өрістің энергия ағынының тығыздығы. Шамасы () бірлік көлеміндегі уақыт бірлігінде зарядталған бөлшектердің үстіндегі өрістің жұмысына тең. Өте жиі (әрдайым емес), бұл жұмыс затта шығарылатын Джоуль жылуына айналады. Физикалық W, және () интерпретациясы нақты физикалық жүйелер мен тапсырмаларды талқылау кезінде келесі презентация барысында егжей-тегжейлі және терең болады. Зат статистикалық (макроскопиялық) жүйе екенін тағы бір рет атап өтеміз. Сондықтан ондағы энергия тепе-теңдігін толық феноменологиялық талдау кезінде термодинамикалық ойларды басшылыққа алу керек. Болашақта мұндай проблемалар, әдетте, әсер етпейді. §48. Статистикалық тәсіл Алдыңғы параграфта көрсетілген материядағы электромагниттік құбылыстарды сипаттаудың феноменологиялық тәсілін М.Фарадей идеяларына сүйеніп Дж.Максвелл жасаған. Максвеллдің макроскопиялық теориясының жетістіктері белгілі. Алайда оның кейбір шектеулері бірте-бірте айқындала бастады. Бұл теориядағы электромагниттік өрістің күйі төрт векторлық функция , арқылы сипатталады, бірақ шамаларының да физикалық мағынасы ( -ті айтпағанда) толық түсінікті болмады. 4). Заряд тығыздығы ρ және ток тығыздығы ұғымдары да белгілі бір нақтылауды қажет етті. Максвелл теориясындағы материяның қасиеттері тәжірибеден анықталған ε және µ (және γ электр өткізгіштігі ) шамаларымен сипатталады, олардың табиғаты да анық емес. Сонымен, теория дамыған сайын Максвелл теңдеулер жүйесінің өзі әмбебап емес екендігі және материалдық теңдеулер (47.14) анық жуықтау екендігі айқын бола бастады. Бұл қиындықтар Г.Лоренц негізін қалаған үздіксіз ортаның электродинамикасына статистикалық тәсілдің дамуына түрткі болды. Сәйкес теория , (сонымен қатар және ) шамаларының мағынасын нақтылап, заттың электромагниттік қасиеттерін микроскопиялық тұрғыдан түбегейлі түсінуге мүмкіндік берді.Үздіксіз ортаның электродинамикасына статистикалық тәсілдің негіздерін ұсынуға және оны кейіннен феноменологиялық тәсілмен салыстыруға көшеміз. Зат көптеген зарядталған бөлшектерден тұрады – электрондар мен атом ядролары, оларды элементар деп санауға болады.2) Олар тудыратын электромагниттік өрісті микроскопиялық деп атап, электр және магниттік микроөрістерді және кіші әріптерімен белгілейік. Г.Лоренцтің негізгі гипотезасы мынада: бұл шамалар да (8.1) теңдеулер жүйесіне бағынады, бұл тұрғыда олар Максвелл – Лоренц теңдеулері деп аталады: (48.1) Мұнда кіретін микроскопиялық заряд тығыздығы және ток тығыздығы (2.12)-і формулалар арқылы анықталады, мұндағы – затты құрайтын "элементар" бөлшектердің электр заряды. Бұл бөлшектердің қозғалыс теңдеулерін (48.1) қосу керек, оны Ньютонның екінші заңының теңдеулері түрінде символдық түрде жазамыз.5): (48.2) Мұнда Faext – бұл электромагниттік немесе электромагниттік емес сыртқы күш. Өріс теңдеулері жүйесін (48.1) және бөлшектердің қозғалыс теңдеулері жүйесін (48.2) бірлесіп шешу, негізінен, микроскопиялық электромагниттік өрісті, яғни және шамаларын толығымен анықтауы керек . Алайда (48.2) типтегі теңдеулердің көп болуына байланысты заттағы өрісті егжей-тегжейлі сипаттау мүмкін емес. Оның үстіне, бұл артық және жай ғана қажет емес. Өйткені, барлық микроскопиялық шамалар, соның ішінде және , өрістері кеңістікте де (∼10−8см тән қашықтықтармен) және уақыт бойынша (∼10−16с тән аралықтармен) ретсіз және өте күрт өзгереді. Әрине, сенсорлардың соңғы өлшемдеріне және оның инерциясына байланысты ешқандай макроқұрылым мұндай өзгерістерді түзете алмайды. Шындығында, ол өлшенетін шамалардың кейбір орташа мәндерін тіркейді, осылайша негізгі физикалық қызығушылық тудырады. Сонымен, қатты ортаның электродинамикасы, кез-келген статистикалық (макроскопиялық) теория сияқты, микроскопиялық функциялардың өздерімен емес, макроскопиялық шамалармен жұмыс істейді , (48.3) мұнда бұрыштық жақшалар тиісті орташа процедураны көрсетеді. Түсінікті болу үшін біз анықтамамен енгізілген кеңістік пен уақыт1) бойынша орташалау туралы ғана айтамыз (48.4) Мұнда ∆V – макроскопиялық шағын ("физикалық шексіз аз") көлем, радиусы-векторы бар қоршаған нүкте ={x y z, , }, ∆t – t моментін қамтитын макроскопиялық қысқа уақыт аралығы. Бұл терминдер келесідей түсіндіріледі. ∆V көлемі бөлшектердің үлкен санын қосу үшін жеткілікті үлкен (тән микроскопиялық қашықтықтармен салыстырғанда) деп саналады, егер тек орташа есеппен айту керек болса. Сонымен қатар, бұл көлем соншалықты аз, оның екі жартысында есептелген орташа мәндер бірдей. Жоғарыда айтылған ∆t уақыт аралығына да қатысты , ол бір жағынан үлкен болуы керек (тән микроскопиялық уақыттармен салыстырғанда), ал екінші жағынан ол жеткілікті түрде аз болуы керек (жоғарыда түсіндірілген мағынада). Орташа операциясы (48.4) сызықтық болып табылады: (48.5) (α1 және α2 – ерікті тұрақтылар), бұл интегралдың негізгі қасиеттерінен бірден туындайды. Сонымен қатар, ол координаттар мен уақыт бойынша дифференциалдау операцияларымен алмастырылады: (48.6) мұндағы
Бұл қатынастар сәйкес айнымалыларға қатысты анықтаманың (48.4) екі жағын да дифференциалдау арқылы, содан кейін туынды және интегралдық белгілерді қайта реттеу арқылы алынады. (48.6) ішінен, атап айтқанда, (48.7) Енді Максвелл–Лоренц теңдеулеріне (48.1) жүгінеміз және оларды көрсетілген тәсілмен орташаландырамыз. (48.5) – (48.7) формулаларын ескере отырып, аламыз . (48.8) Егер белгілерді енгізсек (48.9) онда (48.8) біз (48.10) (48.10.II) және (47.10.II). теңдеулер түріндегі толық сәйкестігі назар аударарлық. Максвелл теориясында электр және магнит өрістері және болатын векторларды (48.9) анықтайтын болсақ, онда бұл теңдеулер формасы жағынан ғана емес, мазмұны жағынан да сәйкес келеді. Осылайша, §47-де азды-көпті феноменологиялық тұрғыдан енгізілген және шамаларының физикалық мағынасы толығымен нақтыланады (217-беттегі бірінші ескертуді қараңыз). векторы микроскопиялық электр өрісінің орташа кернеуі , ал векторы – микроскопиялық магнит өрісінің орташа индукциясы. Басқаша айтқанда, және анықтау мағынасында макроскопиялық шамалар болып табылады (48.3). 23-бетте айтылғандай, терминологиядағы кейбір айырмашылықтар (электр өрісінің кернеуі, бірақ магниттік индукция) таза тарихи себептерге байланысты. Бұл айырмашылық одан әрі пайда болады.. Максвелл теңдеулерінің екінші жұбын интерпретациялауда ешқандай проблемалар туындамайтынын және бұл кездейсоқ емес екенін көреміз. Бұл теңдеулерге материяның сипаттамалары кірмейді, өйткені оларда өрістің материалдық көздері жоқ, яғни функциялары . Максвелл теңдеулерінің бірінші жұбындағы жағдай мүлдем басқаша. Ендігі біздің басты міндетіміз (48.10.I) теңдеулерге нақты физикалық мағына беру, ол үшін оларға енгізілген өрнектерін тәжірибе жүзінде өлшенген шамалармен байланысын орната отырып, қандай да бір жолмен ашу қажет. Бірден айта кетейік, бұл мәселе жалпы түрде шешілмейді, өйткені орташа мәндерінің құрылымы қарастырылып отырған материалдық орта мен электромагниттік өрістің қасиеттеріне байланысты. Бұл мәселені нақты жүйелер үшін зерттеудің екі әдісі бар. Біріншісі зат құрылымының белгілі бір микроскопиялық модельдерін тарта отырып (48.2) қозғалыс теңдеулерін егжей-тегжейлі статистикалық талдауға негізделген.6). Бұл жол ең дәйекті, бірақ ол өте күрделі7) және әлі де айтарлықтай сандық нәтижелерге әкелген жоқ. Екінші әдіс Максвеллдің феноменологиялық теориясына және зат пен макроскопиялық электромагниттік өрістің қасиеттері туралы кейбір жалпы болжамдарға негізделген. Бұл жол өте дәйекті болмаса да, бірақ ол салыстырмалы түрде қарапайым және жемісті. Болашақта біз оны ұстанамыз, тек анда-санда зат құрылымының микроскопиялық модельдеріне жүгінеміз. §49. Статистикалық және феноменологиялық тәсілдерді салыстыру Материалдық орта мен макроскопиялық өрістер Максвелл теңдеулері (47.10) олар үшін жарамды болсын. Содан кейін осы теңдеулердің бірінші жұбы ғана талданады (49.1) Мұнда негізгі проблемалар шоғырланған, өйткені бұл теңдеулерге ρ және өрісінің көздері, яғни заттың сипаттамалары кіреді. Электрлік орын ауыстыру түсінігін енгізу әдісінің өзінен көрініп тұрғандай (§47 басын қараңыз) заттың электрлік қасиеттері белгілі бір дәрежеде және өрістерінің айырмашылығымен сипатталады. Ол деп белгіленеді, ал векторы заттың поляризациясы деп аталады. Сонымен, жазамыз , (49.2) сонда
. (49.3) Сол сияқты, заттың магниттік қасиеттері және өрістерінің арасындағы айырмашылықпен сипатталады, ол − деп белгіленеді (минус белгісіне назар аударыңыз), мұндағы – магниттелу: , (49.4) немесе
. (49.5) SI-ді қолданған кезде және шамаларының тікелей "мағынасы" жоғалады, өйткені осы бірліктер жүйесінде анықтама бойынша, . (49.6) Енді Максвелл теңдеулерін (49.1) қайта жазамыз, (49.3) және.(49.5) өрнектерін D және H алмастырып, мүшелерді қайта жазамыз: (49.7) Бір қарағанда, мұндай процедура мағынасыз, өйткені ол екі белгісіз және өрістерінің орнына және екі белгісіз векторлық өрістерді енгізуге дейін азайтады. Бірақ, төменде көретініміздей және векторлары, және қарағанда, өте айқын физикалық мағынаға ие.Сонымен қатар, олар арқылы бізді қызықтыратын орташа мәндер тікелей көрсетіледі. Мұны тексеру үшін (49.7)-ті (48.10.I) теңдеулерімен салыстырамыз, (49.8) §48 микроскопиялық Максвелл – Лоренц теңдеулерін орташалау арқылы алынған. (49.8) мен (49.7) салыстыру мынаны көрсетеді (49.9) және
(49.10) Электродинамикада келесі терминология қолданылады. Шамасы (49.11) жүктеу/скачать 1,72 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|