Дәріс электродинамиканың негізгі ұҒымдары алдағы үш тарауда басты міндеттердің бірі шешіледі – классикалық электродинамиканың құрылысын салу және егжей-тегжейлі талқылау. Ол кестеде келтірілген
§57. Идеал диэлектриктегі электромагниттік толқындар
жүктеу/скачать 1,72 Mb.
|
§57. Идеал диэлектриктегі электромагниттік толқындар Енді алдыңғы параграфта талқыланған жағдайға қарама-қарсы жағдайды қарастырайық. Бұл орын ауыстыру тогымен салыстырғанда өткізгіштік тогын елемеуге болатын жағдайды білдіреді (керісінше емес!). Бұл, ең алдымен, «идеалды» диэлектриктерге тән, олар үшін жоғары дәлдікпен , демек, орнатуға болады. Диэлектрик бүкіл кеңістікті толтырады, ол изотропты және біртекті және онда сыртқы зарядтар жоқ деп есептейміз: . Сонымен қатар, электромагниттік өріс оған қарапайым материалдық теңдеулер ⃗статикалық мәндерімен ε және µ (біркелкілігіне байланысты ε , ). Жасалған болжамдар бойынша (47.10) идеалды диэлектриктегі өріс үшін Максвелл теңдеулерінің келесі жүйесіне келеміз: . (57.1) Соңғы теңдеудің екі жағынан роторды алып, векторлық талдау формулаларын және алғашқы екі теңдеуді (57.1) пайдалана отырып, аламыз , немесе
. (57.2) Оқырманға өрісі бірдей теңдеуге бағынатындығын көрсету ұсынылады. Оның үстіне, (47.20) , үшін анық көрінетіндей, және скалярлық және векторлық потенциалдары да ұқсас теңдеулерді қанағаттандырады. Сонымен, қарастырылып отырған жағдайда өріс айнымалыларының әрқайсысы үшін ( векторларының және скаляр құрамдастары ) толқындық теңдеу дұрыс болады. , (57.3) , (57.4) §33 - та анықталғандай, (57.3) теңдеу осі бойымен таралатын жазық толқындар түрінде шешім қабылдауға мүмкіндік береді : , (57.5) немесе, жалпы жағдайда, бағыттаушы векторы бар түзу сызық бойымен:: . (57.6) Нәтижесінде (57.4) формуласымен анықталған мәні біртекті идеалды диэлектриктегі электромагниттік толқындардың таралу жылдамдығының мағынасы бар деп тұжырымдаймыз. Жазық монохроматикалық толқындар ерекше қызығушылық тудырады, олар үшін барлық өріс айнымалылары , соның ішінде гармоникалық заңға сәйкес өзгереді: , . (57.7) Мұнда – циклдық жиілік, – толқындық вектор, – комплекстық векторлық амплитудалар, сонымен қатар, оң жақта Re нақты бөлігінің символы бар екендігі түсініледі [(35.14)-пен салыст.]. Бұл толқындардың қасиеттерін анықтау үшін біз §35 қосымшасында қолданылған әдісті қолданамыз және оның негізі мынаны бақылау болып табылады , , (57.8) . (57.7) өрнегін (немесе ) үшін (57.3) толқындық теңдеуге ауыстыру мынаны береді , осыдан , біз жиілік пен толқын саны арасындағы байланысқа немесе дисперсия заңына келеміз: немесе (57.9) [(35.5)-пен салыстр.]. Енді біз өрнектерді (57.7) үшін Максвелл теңдеулерінің әрқайсысына (57.1) ауыстырамыз. Бірінші теңдеуден табамыз . Осыған ұқсас нәтиже векторы үшін (57.1) үшінші теңдеуден алынған. Сонымен, біртекті идеал диэлектриктегі жазық монохроматикалық (және кез келген жазық) электромагниттік толқындар вакуумдағы сияқты көлденең болады: . (57.10) [(33.17)-мен және (33.18)-бен салыстр.]. (57.1) екінші теңдеу осыны береді , мұнда (57.9) формулалар да қолданылады. (57.1)-дің соңғы теңдеуі ұқсас нәтижеге әкеледі. Нәтижесінде жазық монохроматикалық электромагниттік толқындағы векторлары арасындағы байланыстарға келеміз , (57.11) [(33.15)-пен және (33.16)-мен салыстр.], бұл векторлардың өзара ортогональ екенін көрсетеді , және олардың модульдері арасындағы қатынасты орнатады: (57.12) [(33.19)-бен салыстр.]. Біз координаталар жүйесін түскен толқын векторлары жазықтығында болатындай етіп таңдаймыз және толқындық векторларының әрқайсысы үшін тиісті индекстері бар бағыттаушы бұрыштарды енгіземіз. Қабылданған келісімдерге байланысты , – түсу бұрышы – шағылу бұрышы – сыну бұрышы . Түскен, шағылған және сынған толқындардағы электр өрісі үшін (57.7) өрнектерді таңдап алынған координаталар жүйесіне жазамыз: Енді екі ферромагниттік емес изотропты біртекті идеал диэлектриктер болсын, диэлектрлік тұрақты , сәйкесінше аудандарын толтырады (суретті қараңыз). Бірінші ортадан бөлім шекарасына, яғни жазықтығына сипаттамалары бар жазық монохроматикалық электромагниттік толқын түссін. Бөлім шекарасында бұл толқын ішінара шағылысады (сол ортада таралады) және ішінара сынады (басқа ортаға ауысады). Біздің міндетіміз – шағылған және сынған толқындардың негізгі қасиеттерін орнату. . (57.13) Шекаралық шарттарға сәйкес (47.16), екі ортаның бөліну шекарасында толық электр өрісінің тангенциалдық құраушысы үздіксіз: , (57.14) немесе, (57.13) ескеруімен, . Бұл теңдік айнымалыларының барлық мәндерінде орындалуы керек, сондықтан одан , (57.15, a) , (57.15, б) . (57.15, в) Бірінші қатынастар электромагниттік толқынның жиілігі шағылу және сыну кезінде өзгеріссіз қалатынын көрсетеді. Соңғы қатынастардан мынаны көруге болады , (57.16) Яғни "сәулелер" түскен, шағылған және сынған ( тиісті толқындық векторлары орналасқан түзулер) бір жазықтықта орналасқан. Бұл шағылу және сыну заңдарының стандартты тұжырымының бірінші бөлігі. (57.15) қалған қатынастарды талдағанда, болатынын ескереміз.Осыдан және де -ден теңдік шығады , (57.17) бірінші жағдайға ауыстырылған кезде (57.15, б) шағылу заңына әкеледі . (57.18) Сынған және түскен толқындар үшін (57.9), (57.4) және (57.15,а) , (57.19) мұнда ортаның абсолютті сыну көрсеткіштері енгізіледі , (57.20) сондай-ақ олардың салыстырмалы сыну көрсеткіші (57.21) (қарастырылып отырған жағдайда болатынын еске саламыз). (57.15,б)-дің екінші шартына (57.19) қойғанда , немесе аламыз, және біз сыну заңына келеміз . (57.22) , (57.23) мұнда амплитудалар нақты болып таңдалады (бастапқы фазалар нөлге тең) және барлық белгілер анық көрсетілген. Магнит өрісінің құраушыларын (57.23) және қатынасындағы (57.11) арқылы табамыз (сонымен бірге суретті қараңыз): . (57.24) Жалпы электр және магнит өрістерінің тангенциалдық құраушыларының үздіксіздік шарттарын [(47.16) формулалары] береді , , осыдан,(57.23) және (57.24) ескере отырып, , . (57.25) қатысты осы алгебралық қатынастарды шешіп, аламыз , . Алымдар мен бөлгіштерді –ге бөліп, салыстырмалы сыну көрсеткішін енгізу арқылы [қараңыз. (57.21)] , (57.26) , . (57.27) Біз шағылған және сынған толқындардағы энергия ағындарын салыстырғымыз келеді. Олардың әрқайсысы үшін Пойнтинг векторы осыған тең , (57.28) мұнда (47.25) формуласын және теңдігін, сондай-ақ ортогоналдылық қатынасын (57.11) және өрістерінің (57.12) модульдері арасындағы қатынасты қолдандық. Қарастыру тікелей екі орта арасындағы бөліну шекарасында жүзеге асырылады, сондықтан деп қарастыру қажет . (57.23) белгілеудің нақты түріне көшкенде, бізді қызықтыратын үш толқындағы векторының модулі үшін біз мынаны аламыз , , . (57.29) Бұл өрнектерді (57.28) орнына қойып, (57.27) ескере отырып, табамыз, , , (57.29, a) . Табиғи анықтамалар бойынша шағылу коэффициенті R және өткізу коэффициенті T енгізіп , , (57.30) біз олар үшін (57.29) арқылы аламыз , . (57.31) Тікелей қосу мынаны көрсетеді . (57.32) Бұл нәтиже қарастырылып отырған жүйеде электромагниттік энергия сақталатындығын көрсетеді. Ол жылуға диссипирацияламайды, яғни, екі ортаның бөлім шекараларының арасындағы электромагниттік толқындар жұтылмайды (әрине, олар әр ортаның қалыңдығында жұтылмайды). (57.31) формулалардан көрініп тұрғандай, егер тасымалдағыштар бірдей дерлік болса, яғни , онда . Бұл жағдайда электромагниттік толқын іс жүзінде шағылыспай бөлім шекарасынан өтеді. Егер орталар күрт өзгеше болса, яғни немесе , онда . Бөлім шекарасында электромагниттік толқын толық дерлік шағылысудан өтеді. §58* Өткізгіш ортадағы электромагниттік толқындар Алдыңғы параграфтарда ығысу тогын елемеуге болатын жақсы өткізгіштің және өткізгіштік тогы жоқ идеалды диэлектриктің төтенше жағдайлары талданған.. Енді аралық ортадағы электромагниттік өрісті қарастырайық - жартылай өткізгіштерде немесе электролит ерітінділерде. Жиіліктер орын ауыстыру тогы мен өткізгіштік токпен салыстыруға болатындай жоғары деп саналады, бірақ өте жоғары емес, ең қарапайым материалды теңдеулер статикалық мәндері жарамды болып қалады. Біз біртекті ортаны және сыртқы зарядтар жоқ деп болжаймыз. Сонда (47.10)-нан келесі теңдеулер жүйесіне келеміз: . (58.1) Роторды соңғы теңдеудің екі бөлігінен алып, (58.1) қалған теңдеулерді қолдана отырып, біз аламыз . немесе
. (58.2) Осыған ұқсас теңдеу магнит өрісі үшін де жарамды. Бізді гармоникалық заңға сәйкес уақыт өте келе өзгеретін өріс қызықтырады:
Бұл өрнекті (58.2) орнына қою осыны береді , (58.4) бұл жерде белгілеу енгізілген . (58.5) Түбірдің белгісін -ның елестетілген бөлігі оң болатындай етіп таңдаймыз, яғни . Бұл шарттың мәні болашақта айқын болады. Тапсырманы нақтылайық. Өткізгіш орта жартылай кеңістікті толтырсын және бөлу шекарасында орта–вакуум координаттарына тәуелді емес гармоникалық өрісті қоздырсын (мысалы, тегіс монохроматикалық толқын бетіне вакуум жағынан қалыпты түрде түседі): , (58.6) мұнда – нақты амплитуда. Ортаның барлық нүктелеріндегі электромагниттік өрісті табу қажет, яғни болғанда. есебінің осы тұжырымдалуымен және (58.3) сәйкес келетіні анық, , (58.7) мұндағы функциясы (58.4) түріндегі теңдеуге бағынады: . (58.8) Бұл теңдеудің жалпы шешімі былай жазылады (58.9) (58.5) формуласымен берілген "толқындық санымен". Біз орнатқандықтан, өрістің ретінде шектелуі талабынан болатыны шығады. тұрақтысы (58.6) шартынан анықталады: . Нәтижесінде осыны аламыз . (58.10) Осыған ұқсас теңдеу магнит өрісі үшін де жарамды. Осылайша, біртекті өткізгіш ортада таралатын жиілігі және толқын саны болатын жазық монохроматикалық толқын түрінде алынады. Толқынның амплитудасы экспоненциалды заң бойынша сөну көрсеткіші тереңдіктен төмендейді, электромагниттік энергияның жылу энергиясына диссипацияға сәйкес келеді. §38 нәтижелеріне сәйкес толқындардың фазалық және топтық жылдамдығы формулалар бойынша есептеледі , . (58.11) (58.5)-ден үшін, содан кейін үшін айқын өрнектерді алу қиын емес, бірақ олар өте қиын, сондықтан олар көрсетілмейді. Біз екі шекті жағдайды талқылаумен шектелеміз. Егер өткізгіштік төмен болса (жақсы диэлектрик), онда үшін (58,5) өрнегі шамамен келесідей түрленеді: , осыдан
, . (58.12) толқынының саны идеалды диэлектриктегі толқын санына (57.9) сәйкес келеді, ал толқынның сөнуі жиілікке тәуелсіз деп санауға болады: оның амплитудасы тереңдікте есе азаяды . (58.13) Бұл жағдайда ескеріп кетейік , (58.14) яғни электромагниттік энергияны сіңіру өте әлсіз болады. (58.12) бірінші формуладан фазалық және топтық жылдамдықтарды аламыз . (58.15) Олар жиілікке тәуелді емес және бір-біріне тең, бұл дисперсия заңының сызықтығымен байланысты [(38.9)-мен салыст.]. Сонымен қатар, бұл жылдамдықтар идеалды диэлектриктегі электромагниттік толқындардың таралу жылдамдығына сәйкес келеді. Жоғарыда аталған шектеу жағдайларының бірі өткізгіштіктің жоғары мәндеріне және салыстырмалы түрде төмен жиіліктерге сәйкес келеді: , осыдан
, . (58.16) Мұнда әлсіреу үлкен, ал толқынның есе әлсіреуі тері қабатының қалыңдығында болады (§56 қараңыз). Фазалық жылдамдық жиілікпен артады: . (58.17) Топтық жылдамдықты табу үшін бірінші қатынасты (58.16) бойынша ажыратамыз: . Осыдан аламыз , (58.18) яғни топтық жылдамдық фазалық жылдамдықтан екі есе көп, бұл дисперсияның квадраттық заңына тән [(38.9) формуланы талқылауды қараңыз]. Қорытындылай келе, Максвеллдің екінші теңдеуіне (58.1) жүгінейік. Егер электр өрісі гармоникалық заңға (58.3) сәйкес уақыт бойынша өзгерсе, онда бұл теңдеуді келесі түрде қайта жазуға болады , немесе
. (58.19) Біз оны осы формада көрінетінін көреміз , (58.20) идеал диэлектрик үшін Максвеллдің екінші теңдеуіне (57.1) ұқсас, бірақ жиілігіне байланысты комплексті диэлектрлік өтімділігі бар, . (58.21) Жасалған ескертуді келесі параграфқа қысқаша кіріспе ретінде қарастыруға болады, онда ол әр түрлі бағытта жалпыланады және дамиды. жүктеу/скачать 1,72 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|