Әдістемелік жинақ

Эйткен схемасын есептеуді көршілес L_0123…n(x), L_0123…n,n+1(x) мәндері берілген дәлдік маңайында бір бірімен беттессе тоқтатуға болады.

X_i нүктелерінде y_i мәндерін қабылдайтын n-ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келсі түрде де жазылады:

. (4.7)

1-Мысал:

Төмендегі кестемен берілген функция үшін Лагранж көпмүшелігін құру.

L₁³(x) мүшесін есептемейміз, себебі y₁=0. Бәрін бір біріне қосамыз да көпмүшеліктің соңғы түрін аламыз:

Төмендегі кестемен берілген функцияның x=0.45 нүктесіндегі мәнін анықтау керек.

Есептеуді жеңілдету үшін x=0.05t деп алайық. X-тердің мәні белгілі болғанда t-лардың мәндерін тауып алуға болады, олар: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11. Және x=0.45 болғандағы t=9 болады. Есептеу қадамдары 6^’-кестеде келтірілген.

Сонымен y(0.45)= *1.6604*10^-4=0.6376.

22

Гаусс формулаларын берілген х-тің мәні кестенің ортасына жақын орналасқан жағдайларда қолданады. Егер x>x₀ болса Гаусстың 1-формуласы, x0 болса, Гаусстың 2-формуласын қолданады.

9 - кесте. Гаусс формуласы үшін шектік айырымдар кестесі.

y=e^x функциясының мәндері кесте да келтірілген. X=1.17, x=1.13 нүктелеріндегі мәндерді анықтау керек.

Шектік айырымдарды анықтау 10-кестесін құрамыз.

3-ретті шектік айырымдар тұрақтана бастағандықтан кесте ны осы арада тоқтатамыз. 1,17 нүктесіндегі мәнді есептеу үшін Гаусстың 1-формуласын қолданамыз, себебі, ол нүкте х₀ нүктесінен артық. Q=0.4 болады. Гаусстың 1-формуласына кестедегі мәндерді қоямыз: сонда

e^1.13 дәрежесін есептеу үшін Гаусстың екінші формуласын қолданамыз, себебі 1,13 нүктесі х₀ нүктесінен кіші:

Егер шартын қанағаттандырса, Бессель формуласын қолдануға болады:

Қалдық мүшесі келесі түрде жазылады:

мұндағы .

Бессель полиномын кестелік мәндерді тығыздау үшін де қолданады.

24

8-ДӘРІС. Интегралдаудың сандық әдістері.

1. 
   Ньютон-Котес квадратуралық формулалары.
   
2. 
   Трапеция, симпсон формулалары қателіктерін бағалау.
   
3. 
   L₂ кеңістігіндегі ең жоғарғы дәлдіктегі Гаусс формуласы.
   
4. 
   Кездейсоқ шаманы берілген таралу заңдылығы бойынша моделдеу.
   
5. 
   Еселі интегралдар үшін Монте-Карло әдісі.
   

Сандық интегралдау инженерлік және ғылыми деректерді анализдеу немесе сараптау үшін қажетті. Интегралды классикалық әдістермен аналитикалық түрде алу мүмкін болмаған жағдайларда сандық интегралдау есебі қойылады. Кейде интеграл астындағы функция өте күрделі, кейде функцияның таблицалық мәндері ғана берілуі мүмкін.

Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.

Сандық интегралдау да дәл және жуықтау болып екіге бөлінеді.

Егер абсцисса өсі бойынан алынатын нүктелер бірқалыпты орналасатын болса, онда Ньютон – Котестің дәл квадратуралық формулалары қолданылады, басқа жағдайда жуықтау – Гаусс формулалары қолданылады.

Сандық интегралдаудың негізгі идеясы - интеграл астындағы функцияны [a,b] аралығында интерполяциялық полиномға жіктеу және полиномның әр мүшесін интегралдау арқылы есептеу процесін жеңілдету.

Интегралдың қателігін төмендету үшін интеграл астындағы функция анықталған [a,b] аралығы h қадаммен бірнеше аралыққа бөлу керек: x_i+1-x_i=h, i=1,2,…,n-1. Қадам тұрақты болған жағдайды қарастырайық.

(1)

түрдегі интеграл берілсін. Дәл әдістерге Ньютон-Котес квадратуралық формулалары жататыны жоғарыда айтылған.

1. 
   Трапеция әдісі.
   

Қателікті азайту үшін аралықты бірнеше бөлікке бөліп әр трапецияның ауданын тауып барлығының қосындысы берілген интегралдың мәні деуге болады:

Мұндағы

(4)-формула әдістің қателігін бағалау формуласы деп аталады. Геометриялық мағынасы трапециямен толықтырылған уақытта осы облысқа кірмей қалған аймақтардың қосындысы, кейде оны қиылу қателігі де дейді. Оның мәні өте аз шама болуы керек.

N=2 болса Ньютон – Котес формуласы Симпсон әдісін аныќтайды. [a,b] аралығын екі симметриялы бөлікке бөледі: нүктелері болса, аралыќ жұп болады, есептеу формуласы:

Онда есептеу ќателігі 16-ға азаяды. Ал бөлу аралығы таќ болса, онда [a,b] аралыќтың алғашќы үш бөлігінен үшінші дәрежелі парабола жүргізнміз, бұл жағдайда Симпсоннның үштен сегіздік формуласы ќолданылады:

[a,b] аралығынан х₀ бір түйін алатын болсақ, чғни f(x)=const болады, онда қарастырып отырған аралықта деуге болады. Х₀ нүктесін аралықтың тура ортаңғы нүктесі деп алсақ формуласы шығады, оны тіктөртбұрыштар формуласы дейді, әдістің қателігін азайту мақсатында аралықты бірнеше бөлікке бөліп, әр аралықты тіктөртбұрышпен толтырып, ауданын тауып, барлық аудандарды бір біріне қосады:

Бұл әдісте х айнымалысын өрнекпен алмастырады: . Сонда Гаусс формуласы былай жазылады:

Бұл әдістің ыңғайсыздығы, абсциссадағы мәндер мен коэффициенттер иррационал сандар. Біраќ соған ќарамай интегралдау түйіндерінің саны аз болса да, дәлдігі жоғары.

Ал -лерді табу үшін төмендегі жүйе шешіледі:

Бұл жүйені шешу барысында коэффициенттерді төмендегі 14-кесте көмегімен де аныќтауға болады.

14-кесте . (5.11.1^’)-жүйені шешу барысында анықталған

коэффициенттер.

N=5 болғанда интегралын Гаусс формуласымен есептеу керек болсын. Айнымалыны ауыстырамыз: . Сонда интеграл мына түрге келеді:

x=0 болғанда t=-1;

x=1 болғанда t=1;

Интеграл астындағы функцияның мәндер кесте сын ќұрамыз:

Алынған мәндерді (4)-ќою арќылы интегралды есептейміз:

27

.
Канторовичтің интеграл астындағы функцияның ерекшелігін айшыќтау әдісі

Бұл әдістің негізгі идеясы f(x) функциясынан әлдебір g(x) функциясын бөліп алады да f(x)-g(x) айырымынан интеграл алады, мұндағы f(x)-элементарлы интегралданатын болуы керек, ал g(x) – сандыќ әдістердің біреуімен интегралданатын болуы керек:

Бұл әдіс интеграл астындағы функция келесі түрде берілген жағдайда ќолданылады:

Мұндағы функциясы [a,b] аралығында үзіліссіз дифференциалданатын функция болсын. Онда бұл функцияны Тейлор ќатарына жіктеуге болады. Тейлор ќатарына жіктелген функция түрін деп белгілесек:

Мысалы: ;

Интеграл астындағы функция [a,b] аралығы жатќан (-R,+R) интервалында жинаќталатын дәрежелік ќатарға жіктелетін болсын:

Дәрежелік ќатарды мүшелеп интегралдауға болады, сонда:

Егер (5.9)-ќатар жинаќты болса, онда (5.10)

Әдіс ќателігі ќатар ќалдығы мен дөңгелектеу ќателігінен тұрады.
28

Егер ќатардың таңбасы ауыспалы және абсолютті шамасы бойынша монотонды кемімелі болса, онда ќатар ќалдығы тасталатын (отбрасываемый) ќатар мүшелерінің ең біріншісінің абсолют ќателігінен аспайды.

Басќа жағдайларда ќатар ќалдығын бағалау үшін ќатарлары жеңіл бағаланатын сандыќ ќатарлармен мажорлайды.

Мысал:

Интеграл астындағы функция дәрежелік ќатарға жіктеледі және кез келген х үшін жинаќталады:

Ќатардың үшінші мүшесінен бастап ќалған мүшелерін тастап кетуге болады, себебі олар нөлге өте жуыќ.

Берілген интегралды сандыќ әдістердің ќайсысымен болса да шешу уаќытында берілген дәлдікті ќамтамасыз ететін ќадам таңдау керек. Кейде интегралдау аралығын бірнеше бөлікке бөлу барысында дөңгелектеу, есептеу ќателіктері өсуі мүмкін. Мұндай ыңғайсыздыќќа ұшырамас үшін интегралдау ќадамын дұрыс таңдау керек. Практикада интегралдау ќадамын 2 тәсілмен таңдайды:

1. 
   Ќалдыќ мүшені бағалау арќылы
   
2. 
   Екілік есептеу арќылы.
   

бағалау арќылы h –ты аныќтайды.

Трапеция әдісін таңдайыќ. Ол әдістің ќалдыќ мүшесінің формуласы:

2-тәсілде берілген интеграл h ќадаммен аралыќты n рет бөледі және ќадаммен аралыќты 2n рет бөледі де екі рет есептеледі. алынған интегралдарды сәйкесінше және деп белгілесек, шарты орындалса, онда деп есептеуге болады, мұндағы I – интегралдың дәл мәні. Егер бұл шарт орындалмаса, онда ќадамды тағы да 2-ге кішірейтеді.

Интегралдау ќадамы берілмеген есептерде, алғашќы ќадамды санына жуыќ сан ретінде алуға болады, мұндағы m=2 трапеция формуласы үшін, m=4 – Симпсон формуласы үшін. Бұл тәсіл есепті ЭЕМ көмегімен шешу кезінде ќадамды автоматты түрде компьютер таңдайтындай жағдай тудырады және бірмезгілде есептеу ќадамдары да баќыланып отырады.