Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шектік есептер. Ақырлы – айырымдық әдістер

1. Ақырлы – айырымдық әдіс.

2. Қуалау әдісі.

F(x,y,y^’,y^’’ )=0 (1)

2-ретті дифференциалдық теңдеу берілсін.

Біз осыған дейінгі есептерде Коши есебі деп дифференциалдық теңдеуге қосымша функцияның бір тәуелсіз айнымалыдағы мәні берілген жағдайды айтып жүрдік. Ал функцияның екі тәуелсіз айнымалыдағы мәндері берілсе, есепті ҚДТ үшін шектік есеп деп айтады. Қосымша шарттарды шекаралық шарттар дейді. Коши есебінде тәуелсіз айнымалы ретінде уақытты қарастырғанбыз, сонда есептің физикалық мағынасы серіппеге ілінген дененің еркін қозғалысын зерттеу болған. Ал шектік есепте тәуелсіз айнымалы ретінде ұзындық қарастырылады, яғни есептің физикалық мағынасы қатты серіппенің деформациясын зерттеу немесе, электр желілерін басқару, есептеу, химиялық реакциялардың нәтижелерін есептеу, снаряд қозғалысының теңдеуін құру сияқты практикада қарапайым классикалық әдістермен шешілмейтін «қатты» есептерді зерттеу болып табылады.

(1) теңдеу үшін екінүктелі шектік есеп келесідей қойлады: [a,b] аралығында (1) теңдеуін және осы аралықтың екі шеткі нүктелерінде

₁[y(a), y ^/(a)]=0 (2)

₂[y(b),y ^/(b)]=0

шекаралық шарттарын қанағаттандыратын y=y(x) шешімін табу керек.

(1) теңдеу және (2)- шекаралық шарт сызықты болған жағдайды қарастырайық. Мұндай шектік есептер сызықты шектік есептер деп аталады және төмендегідей түрде жазылады:

y ^// +p(x) y ^/ + q(x) y = f(x) (3)

мұндағы p(x), q(x), f(x) – функциялары [a,b] аралығында үзіліссіз функциялар, ал ₀,₁,₀,₁, A,B –берілген тұрақтылар және ₀+₁0, ₀₁0.

Егер A=B=0 болса, онда (4) – шекаралық шарттар біртекті шекаралық шарттар деп аталады.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін қойылған шектік есепті шешудің жалпы 2 әдісі бар:

1. 
   Дифференциалдық теңдеудің ақырлы – айырымдық немесе шектік – айырымдық түрін қолдану – сандық әдіс.
   

2. 
   Шектік есепті бірнеше Коши есебін шешуге келтіру аналитикалық әдіс.
   

Бұл әдістің негізгі идеясы - шектік есепті шешуді алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге келтіру.

Берілген аралықты бірнеше бөлікке бөлу арқылы бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер жүйесін құрамыз: x₀=a, x_n=b, x_i=x₀+ih (i=1,2,…,n-1), қадамы h=b-a/n және p_i=p(x_i), q_i=q(x_i), f_i=f(x_i) болсын.

x_i түйіндерінде ізделінді функцияның жуық мәнін y(x) және y ^/(x) ,y ^//(x) туындыларын сәйкесінше y_i ,y_i^/ ,y_i ^// деп белгілейік. Құрылған түйіндер жүйесінің әрбір ішкі түйінінде y_i^/(x_i), y_i^//(x_i) туындыларын сәйкес ақырлы – айырымдық қатынастарымен алмастырамыз:

Шекаралық шарттар үшін:

қатынастарын қолданылады.

(5) – қатынастарды (1) – ге қойсақ және шекаралық шарттарды ескерсек, сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін немесе сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл жерде (1)-теңдеудің сипатына көңіл аудару арқылы оның қандай жүйеге келетінін алдын ала анықтауға болады. Егер (1)-теңдеу сызықты болса, онда есеп сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге келеді, ал сызықты емес болса, онда сызықты емес теңдеулер жуйесін шешуге кейде трансцендентті теңдеуді шешуге келеді.

Егер құрылған жүйені шешу қиынға соқса, онда шектік есепті екі Коши есебін шешуге келтіруге болады.

(3), (4)- шектік есепті қарастырайық. (4)-шекаралық шартта деп есептесек,

(6)

екенін көреміз. Мұндағы , - төмендегі түрге келтірілген Коши есептерінің шешімдері болады:

(7)-есептің шешімі , (8)-есептің шешімі , ал (6)-теңдеудегі с – тұрақты, белгісіз. Оны анықтау үшін (4)-шекаралық шартты ескереміз:

(7), (8) - шектік есептердегі туындыларды сәйкес айырымдық қатынастармен алмастырамыз:

36

бұдан келесі есепті аламыз:

(10)-(11)-жүйелерді шешіп болған соң (9)-формуламен с тұрақтысы табылса теңдеуін шешу арқылы ізделінді мәндерді табуға болады.

(3)-(4)-шектік есептерді ақырлы-айырымдық қатынастармен алмастырған соң алынған есепті келесі түрде қарастырайық:

Мұндағы

Y_i+1=c_i (d_i-y_i+2) (i=0,1,2,…,n-2) (17)

с_i,d_i сандары i=0 болғанда

(18)

i=1,2,…,n-2 болғанда біртіндеп

c_i=1/(m_i-k_ic_i-1) (19)

d_i=f_ih²-k_ic_i-1d_i-1

формулалармен есептеледі.

Есептеу этаптары:

Y_n-1=c_n-2(d_n-2-y_n)

Алдын ала табылған c_n-2, d_n-2 мәндерін қолданып y_n мәнін табамыз. Сосын біртіндеп (i=n-1,…,1) үшін (17)- формуланы қолданып y_i мәндерін есептейміз:

Сосын y₀ мәнін (3)-(4)-теңдеулердің ең соңғысының алдындағы теңдеуінен табамыз:

Сонымен, барлық есептеулер екі рет қуаланып шығады. Тура жолда i индексінің өсу ретімен көмекші c_i, d_i сандары алынады. Бұл арада c₀, d₀ сандарын есептеу үшін интегралдау аралығының сол жақ шетіндегі шекаралық шарт қолданылады. Сосын кері жолдың алғашқы қадамында есептелген c_n-2, d_n-2 сандарының интегралдау аралығының оң жақ шетіндегі шекаралық шартпен үйлестірілуін қадағалайды. Осыдан барып I индексінің кему ретінмен біртіндеп y_i ізделінді мәндер есептеледі.

38