Әдістемелік жинақ

Бұл функциялар арасындағы сәйкестік келесі түрде белгіленеді:

39

Z=Lg z=L(g)

1. 
   L(u) = Lu;
   
2. 
   L(u+v) = Lu+ Lv, шарттары орындалса.
   

К -  облысында анықталған, нақты, үзіліссіз {u} функциялар жиыны болсын. Егер uK және vK болса, онда (u,v)= саны u және v функцияларының скаляр көбейтіндісі деп аталады және (u,v)=(v,u) болатыны сөзсіз.

яғни

Егер кез келген мүмкін u функциясы үшін u0 болғанда ғана (Lu, u)0 теңсіздігі орындалса, онда L оператоы оң оператор деп аталады.

gС⁽²⁾[0,1] функциялар жиынында анықталған Lg=-gⁿ операторын қарастырайық және g(0)=0, g^/(1)=0 болсын.

I=I[g(x)] (7.39)

функцияоналы К={g(x)} жиынында анықталған функционал болсын.

(7.39) функционалының экстремумдарын іздеу есебі вариациялық есеп деп аталады. Одан гөрі дәлірек айтсақ (1-сурет): g=g(х) барлық мүмкін функциялар үшін минимум жағдайында I[g]I[g] теңсіздігі орындалатын немесе максимум жағдайында I[g]I[] теңсіздігі орындалатын функцияға жеткілікті жуық функциясын табу керек. g және функцияларының ара қашықтығын әртүрлі түсінуге болады.

1-сурет. (7.39)-есептің геометриялық мағынасы.

1-мысал: М(а,А) және N(b,B) нүктелерінен өтетін g=g(х) жатық қисықтары арасынан доғасының ұзындығы ең кіші түзуді табу керек болсын.

Есеп С⁽¹⁾[a,b] класына жататын g=g(х) қисықтары үшін және g(а)=А, g(b)=B болатын келесі функционалдың минимумын табуға келеді:

Геометриялық мағынасына көңіл аударсақ: ізделінді түзу

Г шекаралы G облысында үзіліссіз коэффициентті (қарапайым немесе дербес туындылы) сызықты дифференциалдық теңдеу берілсін және осы теңдеудің Г шекарасында берілген шекаралық біртекті шарттарды қанағаттандыратын g шешімін табу керек болсын. Бұл теңдеудің сол жағын G+Г облысында жеткілікті үзіліссіз туындылары бар және Г шекарасында шекаралық шарттарды қанағаттандыратын К функциялар жиынында анықталған L сызықты оператор ретінде қарастыруға болады. Сонда есеп келесі операторлық теңдеуді шешуге келеді:

Lg=f(P), (7.40)

R[g]=0, (7.41)

Lg=f(P) (7.42)

R[g]=(P) , РГ, (7.43)

(мұндағы (P) – белгілі функция) біртекті емес шектік есеп

R[g₁]= (P) (7.44)

біртекті шектік есепке келтіріледі, егер g=z+g₁ болып, мұндағы z-жаңа белгісіз және g₁ – (7.43)-шартты қанағаттандыратын жеткілікті жатық функция болса. (7.42) және (7.43) формулалардан Lz=f(P) –Lg₁ және R[z]=0 екенін аламыз. g₁ функциясын таңдау арқылы табуға болады. Сонда бұл әдістің идеясы - (7.39)-(7.40) – шектік есепті әлдебір функционалға минимум немесе экстремум беретін теңсалмақты есеппен алмастыруға келтіру. Практикада өзімізге таныс белгілеулермен жұмыс жасау үшін g функциясын y деп белгілеуге болады.

Т е о р е м а 1. L операторы – К класында анықталған және оң симметриялы сызықты оператор болсын. Онда (7.39)-операторлық теңдеу (7.40)-шекаралық шартпен бірге К класында екі шешім қабылдай алмайды, яғни егер шектік есептің шешімі бар болса, ол міндетті түрде жалғыз болады.