Ф. Р. Гусманова, Б. А. Урмашев, М. Ж. Сақыпбекова
жүктеу/скачать 8,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Жұмыстың мәселелері
- Жалпы теориялық мәліметтер 2.1. Буль алгебрасының негізгі ұғымдары
- 2.2. Логикалық операциялар
4.3 а) 3А7 16 санын ондық санау жүйесіне аудару талап етілсін. Шығарылуы: 3А7 санын қосынды түрінде жазайық: 3А7 16 =3·16 2 +А·16 1 +7·16 0 =3·256+10·16+7·1=768+160+7=935 10 Жауабы: 3А7 16 =935 10 32 Тексеру: 935:16=58 қалдық 7 58:16=3 қалдық 10(А) 935 10 =3А7 16 4.3 ә) 5A1,1B 16 санын ондық санау жүйесіне аудару талап етілсін. Шығарылуы: 5A1,1B 16 санын қосынды түрінде жазайық: 5A1,1B 16 =5·16 2 +А·16 1 +1·16 0 +1·16 -1 +11·16 -2 = =5·256+10·16+1·1+ 0,0625+0,04296875=768+160+7=1441,10546875 10 Жауабы: 5A1,1B 16 = 1441,10546875 10 Тексеру: 1441:16=90 қалдық 1 90:16=5 қалдық 10(А) Бөлшек бөлігін ереже бойынша 16-ға көбейтеміз: 0,10546875*16=1,6875 1 0,6875*16=11,0 11(В) 1441,10546875 10 =5A1,1B 16 5-тапсырма. Ондық бөлшектерді ондық санау жүйесінен екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелеріне (үтірден кейін жеті таңбаға дейін) ауыстыру керек; 5.1. 0,225 10 санын ондық санау жүйесінен екілік санау жүйесіне аудару талап етілсін, үтірден кейін жеті таңбаға дейін. Шығарылуы: 0,225 * 2 = 0,45 0 0,45 * 2 = 0,9 0 0,9 *2 =1,8 1 0,8 *2 = 1,6 1 0,6 *2 = 1,2 1 0,2 *2 = 0,4 0 0,4 *2 = 0,8 0 Жауабы: 0,225 10 = 0,0011100 2 33 5.2 0,56 10 санын ондық санау жүйесінен сегіздік санау жүйесіне аудару талап етілсін. Шығарылуы: 0,56 * 8 = 4,48 4 0,48 * 8 = 3,84 3 0,84*8= 6,72 6 0,72*8=5,76 5 0,76*8=6,08 6 0,08*8=0,48 0 0,48 * 8 = 3,84 3 Жауабы: 0,56 10 =0,4365603 8 5.3. 0,0125 10 санын ондық санау жүйесінен он алтылық санау жүйесіне аудару талап етілсін. Шығарылуы: 0,0125 * 16 = 0,2 0 0,2 * 16 = 3,2 3 0,2*16= 3,2 3 Жауабы: 0,0125 10 = 0,33(3) 16 6-тапсырма. Екілік санау жүйесіндегі сандарды қосыңыздар, азайтыңыздар, көбейтіңіздер. 6.1. X=1001 2 ;Y=101 2 ; X+Y-ті есептеу керек. Шығарылуы: Бір разрядтың берілуі 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Жауабы: 1001 2 +101 2 =1110. 6.2. X=10010 2 ;Y=101 2 ; X-Y-ті есептеу керек. Шығарылуы: 1 0 0 1 0 - 1 0 1 0 1 1 0 1 Жауабы: 10010 2 -101 2 =1101 болады. 34 6.3. X=1011 2 ; Y=101 2 ; X ×Y-ті есептеу керек. Шығарылуы: 1 0 1 1 × 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 Жауабы: 1011 2 х101 2 =110111. 7-тапсырма. Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды қосыңыздар, азайтыңыздар, көбейтіңіздер. 7.1. 7263 8 + 1276 8 амалын орындау керек. Шығарылуы: 7 2 6 3 + 1 2 7 6 1 0 5 6 1 Жауабы: 7263 8 + 1276 8 =10561 8 . 7.2. 7153,217 8 – 2267,145 8 сандарының айырмасын табу керек. Шығарылуы: 7 1 5 3 , 2 1 7 - 2 2 6 7 , 1 4 5 4 6 6 4 , 0 5 2 Жауабы: 7153,217 8 – 2267,145 8 =4664,052. 7.3. 57 8 × 26 8 сандарын көбейту керек. Шығарылуы: 5 7 × 2 6 4 3 2 + 1 3 6 2 0 1 2 Жауабы: 57 8 × 26 8 =2012 8 . 35 8-тапсырма. Он алтылық санау жүйесіндегі сандарды қосыңыздар, азайтыңыздар, көбейтіңіздер. 8.1. B4F1 16 +2A58 16 сандарын қосу керек. Шығарылуы: B 4 F 1 + 2 A 5 8 D F 4 9 Жауабы: B4F1 16 +2A58 16 =DF49 16 . 8.2. F154A4 16 - 5401FE 16 сандарын азайту керек. Шығарылуы: F 1 5 4 A 4 - 5 4 0 1 F E 9 D 5 2 A 6 Жауабы: B4F1 16 +2A58 16 =9D52A6 16 . 8.3. A7 16 ×B6 16 сандарын көбейту керек. Шығарылуы: A 7 × B 6 3 E A + 7 2 D 7 6 B A Жауабы: A7 16 ×B6 16 =76BA 16 . 36 Өзін өзі тексеруге арналған бақылау сұрақтары 1. Санау жүйесі дегеніміз не? 2. Санау жүйелерінің түрлерін айтыңыз. Сипаттама беріңіз. 3. Санау жүйелерінің арасындағы байланыс. 4. Екілік, сегіздік, ондық, он алтылық санау жүйелеріне сипаттама беріңіз. 5. Бүтін сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйелеріне ауыстыру алгоритмін беріңіз. 6. Бөлшек сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйелеріне ауыстыру алгоритмін беріңіз. 7. Екілік санау жүйесіндегі сандарға қолданылатын амалдар мен олардың орындалу ережелері. 8. Сегіздік санау жүйесіндегі сандарға қолданылатын амалдар мен олардың орындалу ережелері. 9. Он алтылық санау жүйесіндегі сандарға қолданылатын амалдар мен олардың орындалу ережелері. 10. Екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелерінде теріс сандарға амалдар қолданыла ма? 37 ІІ-ТАРАУ. БУЛЬДІК АЛГЕБРА Жұмыс мақсаты Буль алгебрасының негізін меңгеру. Жұмыстың мәселелері Сабақты өту нәтижесінде студент: - негізгі ұғымдардың (қарапайым және күрделі айтылымдар, логикалық операциялар, логикалық өрнектер, логикалық функция) анықтамаларын; - логикалық операциялардың орындалу ретін (приоритет); - ақиқаттық кестелерді құру алгоритмін; - базалық логикалық элементтердің сұлбасын; - логика заңдары мен логикалық өрнектерді түрлендіру ережелерін; - логикалық өрнектерді ықшамдау үшін логика заңдарын қолданаудын; - ақиқаттық кестені тұрғызуды; - күрделі өрнектердің логикалық сұлбаларын тұрғызуды білуі тиіс. Жалпы теориялық мәліметтер 2.1. Буль алгебрасының негізгі ұғымдары Айтылымдарға қолданылатын логикалық операцияларды қарастыратын буль (логика) алгебрасы компьютердің логикалық негізі болып табылады. Буль (логика) алгебрасы – бұл айтылымдарды оқитын, логикалық өрнектер мен логикалық операцияларды қарастыратын математика бөлімі. Логикалық айтылымдар – болымдылық түрде гипотенузаны ұсынатын, ақиқат немесе жалған деп бірмәнді айтуға болатындай хабарлы сөйлем (1-мысал). Айтылымдардың қарапайым (элементарлық) немесе күрделі (құрама) түрлері кездеседі. 1-мысал. «7 – қарапайым сан» сөйлемі ақиқат болғандықтан, айтылым болып табылады. Кез келген сөйлем логикалық айтылым бола бермейді (2-мысал). Сұраулы сөйлем айтылым болмайды. 2-мысал. «Көшеде жүріп қайтайық» сөйлемі айтылым болмайды. Айтылымдық форма – бұл тіке немесе жанама мағынада кем дегенде бір айнымалыны қамтитын және барлық айнымалылар өздерінің мәндерімен алмастырылғанда айтылым болатын хабарлы сөйлем (3-мысал). 3-мысал. «x+3>10» - айтылымдық форма болып табылады, x>7 мәндерінде ақиқат, басқа мәндерде жалған болады. Логика алгебрасы тек қана бір тұрғыдан – ол ақиқат немесе жалған болуына байланысты кез келген айтылымды қарастырады. «Және», 38 «немесе» «емес», «егер ... онда» және т.б. сөздері мен сөз тіркестерінің көмегімен бар айтылымдардан жаңа айтылымдарды құруға болады. Осындай сөздер мен сөз тіркестері логикалық байлам деп аталады. Логикалық байламдардың көмегімен басқа айтылымдардан алынған айтылымдар күрделі (құрама) айтылым деп аталады. Күрделі болмайтын айтылымдар қарапайым (элементарлық) айтылым деп аталады (4-мысал). 4-мысал. «2 саны 12 санына бөлінеді» айтылымы – қарапайым айтылым, «2 саны 12 санына бөлінеді және 4 саны 12 санына бөлінеді» - күрделі айтылым, ол екі қарапайым айтылымы мен «және» логикалық байламының көмегімен құрылған. Логикалық айтылымдармен жұмыс істеу үшін оларды негізінен латын алфавитінің бас әріптерімен белгілейді (5-мысал). 5-мысал. «2 саны 12 санына бөлінеді» қарапайым айтылымын А арқылы, «4 саны 12 санына бөлінеді» қарапайым айтылымын В арқылы белгілейік. Сонда 4-мысалдағы күрделі айтылымды «А және В» арқылы жазуға болады. Бұл жерде «және» - логикалық байлам. А, В – тек қана сәйкес «1» және «0» арқылы белгіленетін «ақиқат» немесе «жалған» мәндерін қабылдайтын логикалық айнымалылар. 2.2. Логикалық операциялар Әрбір логикалық байлам логикалық айтылымдарға қолданатын операция ретінде қарастырылады да, өзінің атауы мен белгіленуі болады (1- кесте). 1-кесте. Негізгі логикалық операциялар Операцияның белгіленуі Оқылуы Операцияның аталуы Балама белгіленуі – ЕМЕС Терістеу (инверсия) Үстінен сызықша ЖӘНЕ Конъюнкция (логикалық көбейту) & НЕМЕСЕ Дизъюнкция (логикалық қосу) + Егер ... онда Импликация Сонда тек қана сонда (... болғанда ғана) Эквиваленттілік ~ XOR Не ... не Шығару НЕМЕСЕ (2 модулі бойынша қосу) 39 Инверсия. ?????? айтылымы жалған болған жағдайда ғана ақиқат, және ақиқат болған кезде ғана жалған болатын жаңа ?????? айтылымы инверсия (терістеу, ЕМЕС / НЕ / NOT операциясы) деп аталады да, ?????? = ??????̅ немесе ?????? = ¬?????? түрінде жазылады және ?????? – ?????? ЕМЕС деп айтылады (6-мысал). 6-мысал. А= «Бүгін сабақ болады», сонда А= «Бүгін сабақ болмайды». Конъюнкция. ?????? және ?????? екі айтылымдар да ақиқат болған кезде ғана ақиқат болатын жаңа ?????? айтылымы A және В екі айтылымдардың конъюнкциясы (лат. conjunctio – біріктіру, логикалық көбейту, ЖӘНЕ / И / AND операциясы) деп аталады да ?????? = ?????? ∧ ?????? немесе ?????? = ??????&?????? түрінде жазылады және ?????? – ?????? ЖӘНЕ ??????-ға тең деп айтылады (7-мысал). 7-мысал. «2 саны 12 санына бөлінеді және 4 саны 12 санына бөлінеді» айтылымы ақиқат, «2 саны 12 санына бөлінеді және 4 саны 12 санынан үлкен» айтылымы жалған. Дизъюнкция. ?????? және ?????? екі айтылымдардың кем дегенде біреуінің мәні ақиқат болған кезде ғана ақиқат болатын жаңа ?????? айтылымы A және В екі айтылымдардың дизъюнкциясы (лат. disjunctio – бөлу, логикалық қосу, НЕМЕСЕ / ИЛИ / OR операциясы) деп аталады да ?????? = ?????? ∨ ?????? немесе ?????? = ??????&?????? түрінде жазылады және ?????? – ?????? НЕМЕСЕ ??????-ға тең деп айтылады (8- мысал). 8-мысал. «2 саны 7 санына бөлінеді немесе 4 саны 10 санына бөлінеді» айтылымы жалған, «2 саны 12 санына бөлінеді немесе 4 саны 12 санынан үлкен» айтылымы ақиқат. Импликация. Егер ... онда, және т.б. байламдармен өрнектелетін операция импликация деп аталады да, белгісімен белгіленеді. А В айтылымы А – ақиқат, В-жалған болған жағдайда ғана жалған болады (9- мысал). ?????? → ?????? = ¬?????? ∨ ?????? логикалық операцияларының көмегімен өрнектеуге болады (9-мысал). 9-мысал. «Егер студент емтиханды «өте жақсы» және «жақсы» бағаларына тапсырса стипендия алады» айтылымын талдайық. Егер студент емтиханды «өте жақсы» және «жақсы» бағаларына тапсырып стипендия алмаған жағдайда ғана импликация жалған болады. Басқа жағдайларда: емтихан «өте жақсы» және «жақсы» бағаларына тапсырылды, стипендия алады, немесе емтиханды тапсыру барысында қандай да бір сабақтардан «қанағаттандырарлық» бағаға тапсырса, стипендия туралы сөз болмайды немесе емтиханды тапсыра алмаса да, стипендия туралы сөз болмайтындығы туралы импликация ақиқат болады Эквиваленттілік. «Сонда, тек сонда ғана», «қажетті және жеткілікті» және т.б. байламдармен өрнектелетін операция эквиваленттілік (бірмәнділік) деп аталады да, немесе ~ белгілерімен белгіленеді (10- мысал). 10-мысал. «Егер сан 2-ге қалдықпен бөлінгенде ғана, ол сан тақ сан болып табылады» айтылымы ақиқат болады, ал «Егер сан 2-ге қалдықпен 40 бөлінгенде ғана, ол сан жұп сан болып табылады» айтылымы жалған болады. Эквиваленттілік элементі қарапайым ?????? ⟷ ?????? = ??????̅ ∙ ??????̅ ∨ ?????? ∙ ?????? = (??????̅ ∨ ??????) ∧ (??????̅ ∨ ??????) логикалық операциялары арқылы өрнектелуі мүмкін. Шығару НЕМЕСЕ («1 және тек қана 1», XOR (Exclusive OR)) немесе 2 модулі бойынша қосынды. Не ... не байламымен өрнектелетін операция Шығару НЕМЕСЕ немесе 2 модулі бойынша қосынды деп аталады да XOR немесе белгілерімен белгіленеді. А және В мәндері беттеспеген кезде ғана А В айтылымы ақиқат болады (11-мысал). 11-мысал. «7 саны – не жұп, не тақ сан» айтылымы – ақиқат. «7 саны – не жай сан, не тақ сан» айтылымы – жалған, себебі осы айтылымды құрайтын екі айтылым да ақиқат. Үш немесе одан да көп логикалық айнымалы үшін жоғарыдағы екі операция бір –бірінен ерекшеленеді: ШЫҒАРУ НЕМЕСЕ операциясы үшін жолда жалғыз ғана бір цифры кездессе қорытынды мән ақиқат болады. Ол элементар ??????̅ ∙ ??????̅ ∙ ?????? ∨ ??????̅ ∙ ?????? ∙ ??????̅ ∨ ?????? ∙ ??????̅ ∙ ?????? логикалық операциялардың көмегімен өрнектеледі. 2 модулі бойынша қосынды. Ену айнымалыларының арифметикалық қосындысының кіші разряды 1-ге тең жолдағы қорытынды мән ақиқат болып табылады. Ол ??????⨁??????⨁?????? логикалық операциялардың көмегімен өрнектеледі. Қорытынды. Терістеу, дизъюнкция және конъюнкция операциялары логикалық айтылымдарды сипаттауға және өңдеуге жеткілікті болып табылады. Логикалық формула – логикалық шамалардан (тұрақтылар мен айнымалылардан) тұратын, логикалық операциялармен біріктірілетін айтылымның символдық жазбасы. Логикалық айнымалы – мәні не логикалық 0-ге тең, не логикалық 1-ге тең айнымалы. Буль (логикалық) функциясы – тек қана 0 немесе 1 мәндерін қабылдайтын логикалық айнымалылардан тұратын функция (12-мысал). 12-мысал. ??????(??????, ??????, ??????) = ¬?????? ∨ ??????&?????? – үш ??????, ??????, ?????? айнымалыларынан тұратын логикалық функция. 2-кесте. Негізгі логикалық операциялар үшін ақиқаттық кестесі A B A A&B A B A B A B A XOR B 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 41 Күрделі өрнектердің ақиқаттық кестесін құру алгоритмі: 1. жол санын анықтау: - жол саны - 2 ?????? +1 (атау жолы); - n – қарапайым айтылымдар саны. 2. баған санын анықтау: - баған саны = айнымалылар саны + логикалық операциялар саны; - айнымалылар (қарапайым өрнектер) санын анықтау; - логикалық операциялар санын және олардың орындалу тізбегін анықтау. Логикалық формулаларды логикалық сұлбалардың көмегімен беруге болады. Компьютердің логикалық элементі элементерлық логикалық функцияны жүзеге асыратын электрондық сұлбаның бөлімі және вентиль, триггер деп аталатын ЖӘНЕ, НЕМЕСЕ, ЕМЕС, ЕМЕС-ЖӘНЕ, ЕМЕС- НЕМЕСЕ және т.б. сұлбалар болып табылады. Негізгі үш логикалық операцияларды жүзеге асыратын үш базалық логикалық элемент бар: - «ЖӘНЕ» логикалық элемент – конъюнктор; - «НЕМЕСЕ» логикалық элемент – дизъюнктор; - «ЕМЕС» логикалық элемент – инвертор. Кез келген логикалық операция үш негізгі операциялардың көмегімен берілу мүмкіндігі болғандықтан ақпаратты сақтайтын және өңдейтін компьютердің кез келген құрылғысы базалық логикалық элементтерден жинақталуы мүмкін. Компьютердің логикалық элементі электр импульстерін беретін сигналдармен орындалады. Импульс болса – сигналдың логикалық мағынасы – 1, импульс жоқ болса – 0 мәніне тең. Логикалық элементтің кірісіне сигналдар – аргументтер мәндері түседі, ал шығысында сигналдар – функция мәні түседі. Логикалық сұлба – логикалық элементтерден тұратын сұлба. Сигналды логикалық элементпен түрлендіру өз алдына логикалық сұлба түрінде берілген, логикалық функцияға сәйкес аққиқат кестесі болып табылатын жағдай кестесімен беріледі. Осындай түрде логикалық операциялар тізбегін бейнелеу мен оларға есептеулер жүргізу ыңғайлы. 42 Логикалық сұлбаларды құру алгоритмі: 1. логикалық айнымалылар санын анықтау; 2. логикалық операциялар саны мен олардың орындалу ретін анықтау керек; 3. әрбір логикалық операцияға сәйкес оның логикалық элементін бейнелеу керек; 4. логикалық элементтерді логикалық операциялардың орындау ретімен біріктіру. 2.3. Логика алгебрасының заңдары Логикалық өрнектерді логика алгебрасының мына заңдарының (теоремаларының), ережелерінің және қасиеттерінің көмегімен түрлендіруге болады: - ассоциативтік (терімділік) заңы (?????? ∧ ??????) ∧ ?????? = ?????? ∧ (?????? ∧ ??????); (?????? ∨ ??????) ∨ ?????? = ?????? ∨ (?????? ∨ ??????). - коммутативтік (орын ауыстыру) заңы ?????? ∧ ?????? = ?????? ∧ ??????; ?????? ∨ ?????? = ?????? ∨ ??????. - дистрибутивтік (үлестірімділік) заңы ?????? ∧ (?????? ∨ ??????) = (?????? ∧ ??????) ∨ (?????? ∧ ??????); ?????? ∨ (?????? ∧ ??????) = (?????? ∨ ??????) ∧ (?????? ∨ ??????). - рефлексивтік (идемпотенттілік) заңы ?????? ∧ ?????? = ??????; ?????? ∨ ?????? = ??????. - терістеуді терістеу (қос терістеу) заңы ??????̿ = ??????. - Блейк-Порецкий (терістеумен түсіп қалу / жұту) заңы ?????? ∧ (??????̅ ∨ ??????) = ?????? ∧ ??????; ?????? ∨ (??????̅ ∧ ??????) = ?????? ∨ ??????. - де Морган (қосжақтылық теоремасы) ережесі ?????? ∧ ?????? ̅̅̅̅̅̅̅ = ??????̅ ∨ ??????̅; ?????? ∨ ?????? ̅̅̅̅̅̅̅ = ??????̅ ∧ ??????̅. - түсіп қалу (жұту) ережесі ?????? ∧ (?????? ∨ ??????) = ??????; ?????? ∨ (?????? ∧ ??????) = ??????. - жапсыру ережесі (?????? ∧ ??????) ∨ (??????̅ ∧ ??????) = ??????; (?????? ∨ ??????) ∧ (??????̅ ∨ ??????) = ??????. - нөлмен және бірмен қосу қасиеті ?????? ∨ 0 = ??????; ?????? ∨ 1 = 1. 43 - нөлге және бірге көбейту қасиеті ?????? ∧ 0 = 0; ?????? ∧ 1 = ??????. - айнымалымен және оның терістеуімен операциялар (қосымша) қасиеті ?????? ∧ ??????̅ = 0; ?????? ∨ ??????̅ = 1; 1̅ = 0; 0̅ = 1. Осы заңдардың дұрыстығын өрнектің оң жағына ақиқат кестесін құрып, оны сол жағындағы мәнмен салыстыру арқылы дәлелдеуге болады. Заңдарға сүйене отырып күрделі логикалық өрнектерді ықшамдауға болады. Күрделі логикалық функцияларды өзіне мәндес қарапайым логикалық функциямен алмастырудың осындай үрдісі функцияны минимизациялау деп аталады. Буль функциясын минимизациялау мақсаты – сұлбадағы логикалық элементтердің ең аз қажетті санын алу. жүктеу/скачать 8,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|