ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ ТІКБҰРЫШТЫ ДЕКАРТТЫҚ КООРДИНАТАЛАР

325 

 

 

2

1

M

M

  кесіндісі  берілсін.  Кесіндінің  қатынасы 





M

M

MM

2

1

  шартын  қанағаттандыратын  осы 

кесіндінің 

 

y

x

M

;

  нүктесінің  координата-ларын 

табу керек. 





2

2

2

,

y

y

x

x

M

M







  және 





y

y

x

x

MM







1

1

1

,

 

- векторларын құрамыз. 

Векторлар коллинеар, ендеше: 

.

2

1

2

1















y

y

y

y

x

x

x

x

 





;

2

1

x

x

x

x









 

;

2

1

x

x

x

x











 





1

2

1











x

x

x

 

;

1

2

1











x

x

x

 

.

1

2

1











y

y

y

 

Кесіндіні  берілген 

1







  қатынасқа  бөлетін 

 

y

x

M

,

  нүктесінің  координаталарын  

осы  табылған  формула  бойынша  анықтайды.  Егер 

1





  болса,  онда  кесіндіні  қақ  бөлу 

формуласы шығады: 

;

2

2

1

x

x

x





 

;

2

2

1

y

y

y





 

1-мысал 





4

;

2

1



M

  және 

 

2

;

6

2

M

  нүктелері  берілген. 

2

1

M

M

 

кесіндісінің ортасының 

координаталарын табу керек. 

Шешуі: 

2

2

4

2

6

2











x

;

    

;

3

2

2

4







y

  

 

3

;

2

M

. 

 

Жауабы: 

 

3

;

2

M

. 

Анықтама  Бірінші  дәрежелі 

y

x,

  айнымалыларымен  берілген  теңдеу  жазықтықта 

түзуді анықтайды. Түзудің жалпы теңдеуі мына түрде беріледі: 

,

0







С

Ву

Ах

 

мұндағы 

A

 мен 

B

 айнымалылары – түзудің коэффициенттері. 

 

1.  Егер  бос  мүше 

0



C

  болса,  онда  теңдеу  мына  түрге  келеді: 

0





Ву

Ах

.

0



x

, 

0



y

 сандары түзу теңдеуін қанағаттандырады, ендеше түзу бас нүкте арқылы өтеді.  

 

2.  Егер  х-тің  коэффициенті 

0



A

  болса,  онда  теңдеу 

0





С

Ву

  немесе 

const

В

С

у







 түріне келеді, онда ол 

Ox

 осіне параллель түзу болады.  

 

3. 

y

-тің коэффициенттері 

0



B

 болса, онда түзу 

0





С

Ах

 түріне келеді, ал  бұл 

жағдайда түзу 

Oy

 осіне параллель  болады. 

 

4.  Егер 

0





C

A

  болса,  онда 

0



By

 





0



y

 түзуі 

Ox

 осімен беттеседі.  

 

5.  Егер 

0





C

B

  болса,  онда 

0



Ax

 





0



x

 түзуі 

Oy

 осімен беттеседі.  

Түзудің координата осьтерімен қиылысу 

нүктелері 

 

0

;

1

a

M

 және 

 

b

M

;

0

2

 белгілі деп 

326 

 

есептейік. Түзу  өтетін 

2

1

, M

M

 нүктелері белгілі болғандықтан                                                 

екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі:    

 

;

0

0

0











â

y

a

a

x

  

.

1





â

y

a

x

 

Бұл түзудің кесінділік теңдеуі деп аталады.  

Объектінің (сызықтың, жазықтықтың, беттің) теңдеуін құру үшін қажет амалдар: 

1)  объектіде  жататын  ағымдағы  координатасымен 

 

y

x

M

;

  немесе 





z

y

x

M

;

;

 

нүктесін алу; 

2)  объектінің өзіне тән қасиетін математикалық қатыс түрінде жазу; 

3)  түрлендіру арқылы теңдеуді қарапайым түрге келтіру.  

2-мысал  Центрі 





0

0

0

; y

x

M

  ңүктесінде  жататын  және  радиусы 

R

-ге  тең  шеңбер 

теңдеуін құру керек. 

Шешуі: 

   

 

 

 

 

 

Центрі 





0

0

0

; y

x

M

 

               Сурет 5 – 

нүктесінде жататын 

шеңбер. 

 

y

x

M ;

 

нүктесін 

Шеңбер  бойынан  

аламыз, 

R

M

M



0

 



 



R

y

y

x

x

M

M











2

0

2

0

0

, 



 



2

2

0

2

0

R

y

y

x

x









. 

Жауабы: 



 



2

2

0

2

0

R

y

y

x

x









 - шеңбердің теңдеуі.  Егер 

шеңбердің 

центрі 

координаталар  жүйесінің  бас  нүктесінде  жатса,  онда  теңдеу  мына  түрде  беріледі: 

2

2

2

R

y

x





. 

Анықтама  Жазықтықтағы  фокус  деп  аталатын  екі  нүктеден  қашықтықтарының 

қосындысы әрқашанда 

a

2

 тұрақты шамаға тең болатын нүктелердің геометриялық орнын 

эллипс дейді. 

               Сурет 5 – Эллипс. 





0

;

1

c

F



  және 

 

0

;

2

c

F

 эллипстің фокустары деп, 

1

r  және  

2

r  фокальдық радиустары 

деп аталады. 

Эллипстің теңдеуін қорытып шығару үшін жазықтықтың 

 

y

x

M ;

 нүктесін аламыз да 

оның фокустан арақашықтық формуласын қарастырамыз:  





;

2

2

1

1

y

c

x

r

M

F









          





;

2

2

2

2

y

c

x

r

M

F









 

Эллипстің анықтамасы бойынша осы екі қашықтықтың қосындысы тұрақты және 

a

2

-ға тең: 

327 

 









;

2

2

2

2

2

2

1

a

y

c

x

y

c

x

r

r

















 

Эллипстің  теңдеуі  математикалық  жолмен  құрылды,  енді  түрлендіру  арқылы  оны 

ықшамдаймыз: 













;

4

4

2

2

2

2

2

2

2

y

c

x

y

c

x

a

a

y

c

x



















 





2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

2

c

cx

x

y

c

x

a

a

c

cx

x



















 

Ұқсас мүшелерін біріктіріп, ықшамдаймыз: 

,

2

2

c

a



    

2

2

2

b

c

a





            

1

2

2

2

2





b

y

a

x

                                                                                               (1) 

(1)  –  эллипстің  канондық  теңдеуі.  Эллипстің  координаталар  осьтерімен  қиылысу 

нүктелерін табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз. 

OX

:   

































a

x

a

x

y

b

y

a

x

y

2

2

2

2

2

2

0

,

1

0

 

Эллипстің  





0

;

1

a

M



,   

 

0

;

2

a

M

 екі төбесін аламыз. 

a

M

M

2

2

1



 эллипстің үлкен осі 

деп,  ал  а  үлкен  жарты  осі  деп  аталады.  Эллипстің  ордината  осімен  қиылысу  нүктелерін 

табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз. 

OY

:  















,

1

0

2

2

2

2

b

y

a

x

x

  



















b

y

b

y

x

2

2

0

  

Сонда  эллипстің  қалған  екі 





b

M



;

0

3

,     

 

b

M

;

0

4

  төбесін  аламыз. 

b

M

M

2

4

3



  - 

эллипстің  кіші  осі  деп,  ал 

b

  кіші  жарты  осі  деп  аталады.  (1)  теңдеуден  және  суреттен 

эллипстің 

OX

 және 

OY

 осьтері бойынша симметриялы орналасқаны көрініп тұр. 

Анықтама:  Жазықтықтағы  фокус  деп  аталатын  екі  нүктеден  қашықтықтарының 

айырымы  арқашан  тұрақты  шама 

a

2

-ға  тең  болатын  нүктелердің  геометриялық  орнын 

гипербола дейді. 

Гиперболаның канондық теңдеуін сәйкес түрлендірулер жүргізу арқылы аламыз. 

 

1

2

2

2

2





b

y

a

x

                                                                                                 (2)                                                                                                  

Теңдеуден  гиперболаның 

OX

  және 

OY

  осьтері  бойынша  симметриялылығы 

көрінеді. 

 

 

Параболаның канондық теңдеуі:  

px

y

2

2



. 

        

0



a

 болғандағы 

c

bx

ax

y







2

 квадраттық  

        теңдеу де парабола болып табылады.  

 

 

 

328 

 

 

жүктеу/скачать 7,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: