Глоссарийлар
б)Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері
жүктеу/скачать 4,79 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Анықтама .
- Т еорема.
| б)Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері
Евклид R кеңістігінің анықтамасындағы 4-аксиома бойынша кез келген х 0 элементтің (вектордың) скаляр (х, х) көбейтіндісі нақты оң сан. Сондықтан, бұл скаляр (х, х) көбейтіндіден квадрат түбір былай табылады: Анықтама. Евклид R кеңістігінің х 0 элементіне сәйкес келетін (х, х) скаляр көбейтіндінің квадрат түбірін оның нормасы (немесе ұзындығы, модулі) деп атаймыз және оны символымен белгілеп, мына төмендегі = формуламен өрнектейміз. Теорема. Евклид R кеңістігінің кез келген х,у элементіне Коши (х, у)2 (х, х) (у, у) (3) немесе
теңсіздігі орындалады. Дәлелдеуі. Егер нақты сан болса, онда х-у векторы үшін ( х - у, х - у) 0 теңсіздігі орындалады. Бұдан (х,х)-2(х,у) + (у,у)0. -байланысты бұл квадратты үшмүшеліктің теріс болмауы үшін оның дискриминанты оң болмауы: (х, у)2 - (х, х) (у, у) 0. қажетті әрі жеткілікті. Осы теңсіздіктен (4.3) теңсіздігі алынады. Теорема дәлелденді. Теорема. Евклид R кеңістігінің кез келген екі элементіне (векторына): (4) үшбұрыш теңсіздігі орындалады. Дәлелдеуі. Норманың және скаляр көбейтіндінің анықтамасы бойынша: (3)Коши теңсіздігін ескерсек, онда Теорема дәлелденді. Ескерту.. Егер х, у векторлары сызықты тәуелді болса: х = у, онда (4.3) теңсіздігі теңдікке айналады: Шынында да, 2. Егер х, у векторлары сызықты тәуелсіз болса: , онда (4.4) теңсіздігі мына түрде жазылады: < Шынында да, х-у векторы үшін: (х - у, х - у) > 0 немесе (х, х) - 2 (х, у) + (у, у) > 0, Бұдан <0 немесе < Ескерту. Егер х және у векторлары бағытталған кесінділер болса, онда (4.4) үшбұрыш теңсіздігінен шығатын қорытынды: үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы оның басқа екі қабырғасының ұзындықтарының қосындысынан кіші. Нақты евклид кеңістігінде берілген екі векторлардың арасындағы бұрышты (4.5) формуламен анықтауға болады. Егер теңсіздігін ескерсек, онда (4.5) формуладан Коши теңсіздігін аламыз. Теорема. Егер берілген векторын кез келген нақты санға көбейтсек, онда х вектордың ұзындығы берілген x вектордың ұзындығы мен санының модулінің көбейтіндісіне тең: жүктеу/скачать 4,79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|