§ 7.4 Жазықпараллельді ауыстыру

123
фронталь проекциялары  Ф  жазықтығы ізінен олардың қозғалысы А
1
1
  В
1
1
 
проекцияларымен проекциялық байланысында белгілі болады. Осылай ауыс-
тыру нəтижесінде АВ кесіндісі П
2
 проекциясының фронталь жазықтығына 
нақты шамамен проекцияланады.
116-суретте кесіндінің айнала ауысуының і осі жəне ось төңірегінде 
бұрудың δ бұрышы анықталған.
Проекцияланатын жазықтыққа жататын жазық фигураның нақты шамасы 
оны проекция жазықтығына параллель жағдайға көшіру арқылы анықталады. 
117-суретте АВС үшбұрышы көлденең проекцияланған жазықтыққа жатады. 
Жазықтық ізіндегі түзу кесінді оның A
1
B
1
C
1
 горизонталь проекциясы 
болып табылады. A
1
B
1
C
1
 құлдыраған көлденең проекциясын А
1
1
В
1
1
С
1
1
 еркін 
жағдайына, проекция осінің параллель бағытына келтіреміз.
Көлденең түзулерде – А, В жəне С нүктелері қозғалысының жазықтық 
ізінде үшбұрыш төбесі - А
1
, В
1
 жəне С
1
 
проекцияларымен проекцияланған 
байланысында бұл нүктелерді,  олардың жеткіліксіз фронтальды проекция-
лары А
І
2
, B
І
2
 жəне С
2
1
 проекциясын анықтаймыз.
А
І
2
, B
І
2,
  С
І
2
 фронтальды проекциясын АВС үшбұрышының нақты 
шамасымен анықтайды.
Оның жағдайына аралас үшбұрыш жазықтығында М
1
1
 жəне М
2
2
 проек-
циялары арқылы берілген  М нүктесі алынды, М нүктесінің М
1
 жəне M
2
 негізгі 
проекциясын табу үшін графикалық құрылыс көрсетілген.
2
А
2
В
2
С
2
М
I
М
2
I
В
2
I
А
2
I
С
2
I
С
1
I
В
1
I
М
1
I
А
1
1
А
1
М
1
С
1
В
.
.
Ш
Н

124
Оның проекцияларының біреуі өзіне тең түрінде қала отырып, геометрия-
лық бейнесін параллель көшіру кезінде сызба жазықтығына ауысады.
Еркін жағдайдағы АВС үшбұрышының (118-сурет) көлемін табу үшін 
жазықпараллельді бұру əдісінің қолданылуын көрсетеміз. Мұндай есеп 
екі дүркін бұру арқылы шешіледі. Бірінші бұруда АВС үшбұрышы П
1
 
проекциясының көлденең жазықтығына перпендикуляр жағдайына келтіріледі. 
Екінші бұруда бұл үшбұрыш П
2
 проекциясының фронталь жазықтығына 
параллель жағдайға келтіріледі. Бұл үшін үшбұрыш жазықтығында C
2
  E
2
 
фронталін белгілейміз. C
2
  E
2
 проекциясын С
2
1
  Е
2
1
 жағдайына проекциялау 
бағытымен сəйкес келетіндей етіп бұрамыз. Бұл жағдайда үшбұрыш 
жазықтығының фронталі П
1
 проекциясының көлденең жазықтығына 
перпендикуляр, ал үшбұрыш көлденең проекцияланған жазықтық түрінде 
көрінеді. Түзудің кесіндісі жаңа жағдайдағы үшбұрыштың А
1
1
 В
1
1
 С
1
1
 көлденең 
проекциясы болып табылады.
Одан кейін екінші рет бұру арқылы П
2
 проекция жазықтығына параллель 
орналасады. Бұл жағдайда А
1
1
  В
1
1
  С
1
1
 көлденең проекциясы проекция осі 
бағытына параллель А
1
2
 В
1
2
 С
1
2
 жағдайына келтіріледі. А
2
2
 В
2
2
 С
2
2
 жеткіліксіз 
фронталь проекциясы нақты шамадағы АВС үшбұрышын білдіреді.
Жазықпараллель бұру тəсілі арқылы қосымша сызбаларды тұрғызудың 
проекцияланатын түзу төңірегіндегі бұру əдісінен артықшылығы бар. Бұл 
жерде геометриялық фигуралардың проекциялары еркін орналасады, барлық 
бұрулар мен көмекші доғалар болмайды, бірақ құрылыс сызбасы көп орынды 
алады.
2
А
2
В
2
С
2
Е
1
А
1
В
1
С
1
Е
I
А
1
I
I
E
C
1
1
{
I
B
1
II
B
1
II
C
1
II
А
1
I
С
2
I
В
2
I
А
2
I
Е
2
II
А
2
II
В
2
II
С
2
x
.
.
Ш
Н
1
f
2
f
I
f
2

125
§ 7.5 Проекцияны түзу, параллель жазықтықтары төңірегінде бұру 
Проекцияда жазық фигураның шын көлемін осы деңгей түзу сызығының 
-фигураның түзу сызығының, проекцияның параллель жазықтығының 
төңірегінде бұру арқылы анықтауға болады. Бұл жағдайда жазық геометриялық 
бейнені ось төңірегінде бір рет бұру арқылы проекция жазықтығына параллель 
жағдайына келтіруге болады.
АВС үшбұрышын горизонталь төңірегінде бұру арқылы нақты шамасын 
анықтауға арналған графикалық құрылысты көрсетейік (119-сурет). Үшбұрыш 
жазықтығында еркін түрде бұру осін – мысалы, үшбұрыштың С төбесі 
арқылы өтетін һ горизонталь таңдаймыз. Үшбұрыштың А жəне В төбелері һ 
осі төңірегінде қоршау бойымен айналады (бұрылады), С төбесі бұру осіне 
жатады жəне өзінің қалпын өзгертпейді.
Үшбұрыш көлденең жазықтыққа параллель жағдайға ие болған кезде В 
жəне А нүктелерінің радиустары осы жазықтыққа параллель болады, яғни 
проекция жазықтығына нақты шамамен проекцияланады.
В нүктесінің  бұру орталығы  О нүктесі  болады,  В нүктесінің Г 
119
-
сурет
2
В
2
А
2
С
1
В
0
1
C
С {
1
А
0
А
0
В
1
1
2
1
1
h
1
O
2
O
.
.
Ш
Н
3
*
3
*
x
2
h

126
жазықтығымен көлденең проекцияланатын Һ бұруының осі осы оське 
перпендикуляр болады. В төбесінің бұру радиусы П
1
 проекциясының 
көлденең жазықтығына АВС үшбұрышы жазықтығының өте үлкен еңісінің 
ОВ түзу сызық кесіндісі арқылы анықталады. ОВ кесіндісінің ұзындығын (В 
нүктесінің бұрылу осі) тікүшбұрыш тұрғызу арқылы анықтауға болады.
О орталығынан В нүктесін оның қозғалысының Гп
І
 жазықтығы ізінің 
бағыты бойынша бұру, радиусының ұзындығын алу үшін  деңгей жазықтығына 
дейін біріккен В нүктесінің В
0
 проекциясын белгілейміз. А нүктесінің А
0
 
біріккен проекциясын табу үшін де осыған ұқсас амалды орындаймыз. Бірақ, 
А нүктесі В
1
 түзуіне жəне осы нүкте қозғалысының Г жазықтығына жататын 
шарттан да қорытынды жасауға болады. А
0 
В
0 
С
0
 біріккен көлденең проекция 
АВС үшбұрышына конгруэтті.
Берілген құрылыстарды пайдалана отырып (бірақ кері тəртіпте), 
үшбұрыштың біріккен жағдайына жататын негізгі нүкте проекцияларын 
анықтауға болады. 
1.  Сызбаны түрлендіру тəсілі дегеніміз не?
2.  Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі дегеніміз не?
3.  Айналдыру тəсілі дегеніміз не?
4.  Сызбада түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық 
шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?
5.  Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын 
айналдыру тəсілімен қалай анықтайды?
6. Сызбада нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын проекция 
жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?
7. Сызбада 
екі 
жазықтықтың 
бұрыштық 
шамасын 
проекция 
жазықтығын 
алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?
8.  Сызбада айқас екі түзу сызықтың арақашықтығын проекция 
жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды?
Ба ылау 
с ра тары

127
9.  Жазықтыққа бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру 
тəсілімен қалай анықтайды?
10.   Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру 
тəсілімен қалай анықтайды?
11.   Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен қалай анықтайды?
1.  Жалпы жағдайда орналасқан А(20;10;20) жəне В(35;15;30) төбелері 
арқылы берілген түзу сызықтың нақты шамасын проекция жазықтығын 
алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.
2. 
Кеңістіктегі орналасқан А(10;20;25) В(25;15;30) С(30;20;20) жазықтығы 
мен  D(20;10;30)  нүктесінің арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру 
тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.
3.  Жалпы жағдайда орналасқан А(10;10;25) В(25;15;25) жəне С(20;20;25) 
Е(30;25;20) айқас түзу сызықтарының арақашықтығын проекция жазықтығын 
алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.
4.  А(10;10;25) В(25;15;25) С(30;20;20) жəне А(10;10;25) В(25;15;25) 
Е(30;20;20) жазықтықтарының арасындағы бұрыштық проекция жазықтығын 
алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.
5.  Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы  А(10;20;25) В(25;15;30) 
С(30;25;20) жазықтығының нақты шамасын деңгей түзуінің бойында 
айналдыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.
6.  Жалпы жағдайда орналасқан  А(10;20;25) В(25;15;30) С(30;25;20) жаз-
ық тығының нақты шамасын беттестіру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз.
Жатты у есептері

128
Кеңістікте орналасқан, жазықтықтардың жиынтығынан құралған, 
кеңістікті шектейтін, бітеу біртұтас геометриялық денені көпжақты беттер 
дейді. Көпжақты бет деп - табандары үш немесе одан да көп көпбұрыштардың 
жиынтығынан құралған геометриялық фигураны айтады (120-сурет). 
Көпжақты беттердің жақтары мен қырлары жəне төбелері болады. Көпжақ-
ты беттердің жақтары дегеніміз - беттердің жазықтық болып келетін жағы. Ал, 
көпжақты беттердің қырлары деп беттердің жақтарымен қиылысқан сызығын 
айтады. Көпжақты беттердің қырлары өзара қиылысып, беттердің төбелерін 
береді. 
Көпжақты беттердің жақтарының, қырлары мен төбелерінің өзара орна-
ласу ларына байланысты жай жəне дұрыс болып екі түрге бөлінеді. 
VІІІ-тарау
КӨПЖА ТЫ БЕТТЕР
0
П
)
a
)
c
)
b
)
d
)
e

129
Дұрыс көпжақты бет деп жақтарының бұрыштары мен аудандары өзара 
тең болатын беттерді айтады. Кей жағдайда бұл беттерді Платон денелері 
деп атайды, себебі Платон бұл көпжақтарды зерттеп, олардың атын қойған. 
Беттер жақтарының сандарына байланысты көпжақты беттер төмендегі 
түрлерге бөлінеді: тетраэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын төрт 
жақты көпжақты бет) (120, а-сурет), октаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш 
болатын сегіз жақты көпжақты бет) (120, с-сурет), икосаэдр (жақтары өзара 
тең үшбұрыш болатын жиырма жақты көпжақты бет) (120, e-сурет), гексаэдр 
(жақтары өзара тең төртбұрыш болатын алты жақты көпжақты бет) (120, 
b-сурет) жəне додекаэдр (жақтары өзара тең бесбұрыш болатын он екі жақты 
көпжақты бет) (120, d-сурет).
Жай көпжақты беттер жақтарына байланысты призма (жақтары өзара 
перпендикуляр орналасқан), пирамида (жақтары бір ғана нүктеге ұмтылатын) 
жəне призматоид (табаны мен үсті өзара параллель орналасқан, жақтары 
үшбұрыш немесе трапеция болатын) болып бөлінеді. 
§ 8.1 Жай көпжақты беттер
8.1.1 Призма бетіндегі нүктенің орналасуы 
Екі параллель табаны болатын, жақтары осы табандарына өзара пер-
пендикуляр көпжақты бет-
ті тікбұрышты призма деп 
айтады. Табандарына бай-
ланысты призмалар үшжақ-
ты, төртжақты, бесжақты 
жəне т.б.с.с. түрлерге бөлі-
неді. 
Егер табандары жақта-
рына перпендикуляр болмай, 
жалпы жағдайда орналасқан 
болса, онда көпжақты бетті 
жалпы жағдайдағы призма 
деп айтады. Бұл призмалар 
да табандарына байланысты 
үшжақты, төртжақты, бес-
жақ ты жəне т.б. түрлерге 
бөлінеді. 
Енді осы аталған приз-
маларда нүктелердің орна-
1
П
1
A
A
 
1
B
B
 
C
A
K
M
1
C
C
 
2
А
1
K
2
П
N
B
L
2
L
2
В
2
N
2
M
2
K
2
С

130
ласуларын қарастырайық (121 
жəне 122-суреттер). 
Тікбұрышты проекцияларда 
тікбұрышты призмаларды қол-
данған өте қолайлы, себебі 
тікбұрышты призманың екі 
табандары горизонталь проекция 
жазықтығында беттесіп, бір ғана 
көпбұрышты береді. 
121-суретте  АВС жəне А
1
В
1
С
1 
 
табандары үшбұрышты тік-
бұрышты призманың кеңістіктегі 
кескіні мен 122-суретте  көлденең  
П
1
  горизонталь жəне фронталь 
проекция жазықтықтарындағы 
кескіні көрсетілген. Тікбұрышты 
проекцияларда тікбұрышты приз-
малардың қырлары көлденең  П
1
  
горизонталь проекция жа 
зық-
тығына перпендикуляр болған-
дықтан, табандары бет 
тесіп, тек 
бір ғана үшбұрышты береді. 
Осы тікбұрышты призманың 
жағында жатқан  К  жəне  N  нүк-
телері мен тікбұрышты призманың қырларында орналасқан  М  жəне  L 
 
нүктелері берілген. 
Егер эпюрде  L
1
  нүктесі  В
1
=В
1
  нүктелерімен беттесіп жатса, онда  L  
нүктесінің фронталь проекциясы призманың  В
2
В
2 
 қырының бойында жатады.
Егер  М  нүктесінің горизонталь проекциясы  А
1
=А
1
  жəне  В
1
=В
1 
  қырында 
орналасса, онда  М  нүктесінің фронталь проекциясы призманың  А
2
 мен  В
2
  
қырының бойында жатады.
Егер N нүктесі призманың жоғарғы табаны АВС үшбұрышында орналасса, 
онда  N  нүктесінің горизонталь проекциясы  А
1
=А
1
; В
1
=В
1 
; С
1
=С
1
  үшбұрыш 
бойында жатады, ал  N
2
  фронталь проекциясы призманың  А
2
 мен  В
2
  қырының 
бойында жатады.
8.1.2 Призма мен түзу сызықтың қиылысуы 
Алдымен тікбұрышты призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың 
қиылысу жолын қарастырамыз. 
1
1
C
C
 
1
1
A
A
 
1
1
B
B
 
1
K
1
M
1
N
1
L
2
B
2
M
2
К
2
L
2
N
2
С
2
А
2
B
2
А
2
С

131
Тікбұрышты проекциялар 
жүйесінде тікбұрышты табандары  
АВС 
 
 үшбұрышты призма мен 
жалпы жағдайда орналасқан  DE  
түзу сызығының көлденең  П
1
  
горизонталь жəне  П
2
  фронталь 
проекция жазықтықтарындағы 
кескіні берілген (123-сурет). 
Призма қырлары  П
1
  горизон-
таль проекция жазықтығына 
перпендикуляр болғандықтан, 
олардың табандары беттесіп, 
тек бір ғана үшбұрышты береді. 
Бұл  П
1
  горизонталь проекция 
жазықтығына да  D
1
E
1
  түзу 
сызығы призманың В
1
С
1
В
1
С
1 
 жəне 
А
1
С
1
А
1
С
1
  жақтарын  K
1
  жəне  L
1
  
нүктелерінде қиып өтеді. Енді бұл 
қиылысу нүктелерінің фронталь 
проекциясын анықтау үшін, осы 
 
K
1
  жəне L
1
 нүктелерінен байланыс 
сызығының көмегімен  П
2
  
фронталь проекциясындағы D
2
E
2
 
түзу проекциясына түсіреміз. Бұл  
D
2
E
2
  түзу сызығымен қиылысқан 
нүктелерді  K
2
  жəне  L
2
  нүктелері 
деп белгілейміз (123-сурет). 
Табылған  K
2
  жəне  L
2
  нүктелері көрінбейтін болғандықтан,  D
2
E
2
  түзу 
сызығының ортасы көрінбейді. 
Енді жалпы жағдайда орналасқан қиғаш призма мен жалпы жағдайдағы 
түзу сызықтың қиылысу нүктелерін анықтау жолын қарастырайық. 
124-суретте кеңістікте орналасқан қиғаш АВС жəне А
1
В
1
С
1 
 табандары 
үшбұрышты призманың көрнекі кескіні мен жалпы жағдайдағы  DE  түзу 
сызығы берілген. 
Жалпы жағдайдағы қиғаш призма мен түзудің қиылысу нүктелерін табу 
үшін, алдымен кеңістікте орналасқан  DE   түзу сызықтың төбелерінен қиғаш 
призманың қырларына параллель етіп сəуле жүргіземіз. Бұл сəулелер  П
1
  го-
ризонталь проекция жазықтығын  D
1
  жəне  E
1
  нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы 
табылған  D
1
  жəне  E
1
 -ді өзара қоссақ, онда  DE  түзу сызығының  П
1
  горизонталь 
проекция жазықтығының бойында жатқан проекциясын табамыз. Бұл табылған  
D
1
E
1
  түзу сызығы қиғаш призманың горизонталь проекция жазықтығындағы 
1
1
C
C
 
1
1
A
A
 
1
1
B
B
 
1
K
1
D
1
E
1
L
1
П
2
П
2
С
2
В
2
В
2
D
2
K
2
A
2
A
2
E
2
L
2
С

132
табанын  K
1
  жəне    L
1
  
нүктелерінде қиып 
өтеді. Енді керісінше 
осы нүктелерден 
қиғаш призманың 
қырларына парал-
лель сəулелер жүргі-
земіз. Жүргізілген 
сəулелер кеңістікте 
орналасқан  DE  түзу 
сызығын  K  жəне  L  
нүктелерінде қияды. 
Бұл түзу сызықтың 
 
DK  жəне  LE  кесін-
ділері көрінеді де, ал 
 
K  жəне  L  нүктелері 
арасы призма ішінде қалып, 
көрінбей қалады. 
Енді осы жалпы жағдай-
дағы қиғаш призма мен 
түзу дің қиылысу нүктелерін 
Монж эпюрасында немесе 
тікбұрышты проекция жа-
зық тықтар жүйесінде қарас-
тырайық (125-сурет).
Табандары  АВС  үшбұ-
рышты болатын жалпы жағ-
дайдағы қиғаш приз ма мен 
кеңістікте орналасқан  DE 
 
 
түзу сызығының фронталь 
жəне горизонталь проекция 
жазықтықтарындағы проек-
циялары берілген. 
Қиғаш призма мен түзу-
дің қиылысу нүктелерін 
табу үшін, D
2
E
2
  түзу сызық 
проекциясынан қиғаш 
приз 
маның қырларына па-
раллель болатын сəу 
ле 
лер 
жүргіземіз. Бұл сəулелер  х  
осімен қиы лысып, байланыс 
1
П
1
A
1
B
B
C
A
1
C
L
K
1
E
1
K
1
L
1
D
D
E
1
C
/
1
A
1
B
1
A
/
1
B
/
1
C
1
L
1
K
/
1
E
1
E
1
D
/
1
K
/
1
L
/
1
D
1
П
2
D
2
К
2
П
/
2
А
2
L
2
E
2
B
2
C
/
2
С
/
2
В
2
A

133
сызығын сызамыз. Ал  D
1
E
1
  түзу сызық проекциясынан қиғаш призманың 
горизонталь проекциясындағы қырларына параллель сəулелер жүргізіп, 
байланыс сызығымен қиылыстырамыз. Бұл қиылысқан нүктелерді  D
1
/
  
жəне  E
1
/
  
деп белгілеп, өзара қосып,  D
1
/
E
1
/
  түзу сызығын табамыз (125-сурет). Табылған 
түзу сызықты призманың төменгі табанына түсірсек, А
1
/
В
1
/
С
1
/
 үшбұрышының  
А
1
/
В
1
/
 қырын  K
1
/
  нүктесінде, ал  А
1
/
С
1
/
  қырын  L
1
/
  нүктесінде қиып өтеді. Осы 
нүктелер арқылы призма қырларына параллель сəулелер жүргізіп,  D
1
E
1
  түзу 
бойынан  K
1
  жəне  L
1
  нүктелерін табамыз. Бұл  K
1
  жəне  L
1
  нүктелерінің арасы 
призма ішінде қалып, көрінбейтін сызық болғандықтан, бұл арақашықтықты 
штрих сызығымен көрсетіп қоямыз. Енді осы нүктелерден байланыс сызығын 
жүргізіп, фронталь проекция жазықтығындағы  D
2
E
2
  түзу бойынан  K
2
  жəне  
L
2
  нүктелерін табамыз.
Сонымен кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы қиғаш призма мен 
жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың фронталь жəне горизонталь 
проекция жазықтықтарындағы қиылысу нүктелерін анықтадық.  
 
8.1.3 Пирамида бетіндегі нүктенің орналасуы 
Бір ғана табаны болатын жəне табаны көлденең жазықтыққа параллель 
болатын, қырлары бір нүктеден (төбеден) тарайтын жəне төбесінен түскен 
перпендикуляр табанының ішінде болатын көпжақты беттің бұл түрін 
дербес жағдайда орналасқан пирамида деп айтады (126-сурет). Табандарына 
байланысты пирамидалар 
үш жақты, төртжақты, бес-
жақ ты жəне т.б. түрлерге 
бөлінеді. 
Төбесінен түскен перпен-
дикуляр табанының ішінде 
болмайтын көпжақты бет 
түрін жалпы жағдайда 
орна 
ласқан пирамида деп 
айтады (128-сурет). Мұндай 
пирамидалар да табандарына 
байланысты үшжақты, төрт-
жақты, бесжақты жəне т.б. 
түрлерге бөлінеді. 
Енді нүктенің жоғарыда 
аталған пирамидалар бетін-
дегі орналасуларын,  фрон-
таль жəне горизонталь 
1
П
A
C
L
B
M
2
П
/
1
K
S
K
2
M
2
A
2
C
2
S
2
L
2
K

134
проекция жазықтықтарындағы про-
ек цияларын қарастырайық (126 
жəне 127-суреттер).
Сонымен 126-суретте АВС үш-
бұрышты табаны жəне  S  төбесі 
бар дербес жағдайда орналасқан 
пирамиданың кеңістіктегі кескі-
ні мен фронталь проекция жазық-
тығындағы проекциясы көрсетіл ген. 
Бұдан басқа бұл дербес жағдайда 
орналасқан пирамиданың АS 
 
қырындағы  М  жəне  АС  табанында 
жатқан  L  нүктелері мен  ASC 
 
жағындағы       К  нүктелері берілген. 
Ал 127-суретте осы кеңістіктегі 
орналасқан пирамиданың горизон-
таль жəне фронталь проекция 
жазықтықтарындағы проекциялары, 
яғни эпюрасы көрсетілген. Бұл 
эпюрде дербес жағдайда орналасқан 
пирамидаға тиісті пирамида бойында 
əртүрлі жағдайда орналасқан  K, L  
жəне  M  нүктелерін алайық. Егер 
эпюрде  M  нүктесінің фронталь 
жəне горизонталь проекциялары  S
2
A
2
    жəне    S
1
A
1
  қырларында орналасса, 
онда бұл нүкте пирамиданың  SA  қырында жатады. Ал егер  L  нүктесінің 
фронталь жəне горизонталь проекциялары пирамиданың  АВС  табанының  
A
2
С
2
  жəне  A
1
С
1
  қырларында орналасса, онда L  нүктесі пирамиданың  АВС  
табанында орналасады. Ал енді  К  нүктесі - пирамиданың  ASC  жағында 
(бетінде) орналасқан нүкте. Оны анықтау үшін пирамиданың S  төбесінен  
ASC  жағында орналасқан  К
1
  нүктесі арқылы пирамида табанын қиятын 
сəуле жүргіземіз. Бұл сəуле пирамида табанын  К
1
/
  нүктесінде қиып өтеді. 
Табылған  К
1
/
 нүктесінен байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция 
жазықтығына көтеріп,  К
2
/
  нүктесін табамыз. Осы нүкте мен пирамиданың     
S
2
  төбесін қосамыз. Табылған түзу бойынан  К
2
  нүктесінің фронталь 
проекциясын байланыс сызығының көмегімен табамыз (127-сурет).
Енді жалпы жағдайда орналасқан пирамида бойындағы тиісті нүктелерді  
қарастырайық. 
128-суреттегі пирамида бойында əртүрлі жағдайда орналасқан  K, L  жəне  
M  нүктелерін алайық. 
128-суретте кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы пирамида бойында 
1
A
1
C
1
B
1
L
1
K
1
M
/
1
K
1
П
2
С
2
K
2
П
2
В
2
А
2
L
2
M
2
S
1
S
1
S
/
2
K

135
жатқан нүктелер қарас-
тырылған. Енді осы нүкте-
лердің фрон 
таль жəне 
гори зонталь 
проекция 
жазықтығындағы проек-
цияларын қарастырайық 
(129-сурет). 
Жоғарыда айтылған 
мысалдағыдай, егер жал-
пы жағдайда орналасқан 
пирамиданың  M  нүк-
те сінің 
проекциясы  
фронталь  S
2
A
2
    жəне  
горизонталь S
1
A
1
    қыр-
ларында орналасса, 
онда бұл  M  нүктесі 
пирамиданың  SA 
 
қырында орналасады. Ал,  L 
 
нүктесінің фронталь жəне 
горизонталь проекциялары пира-
мида табанының  A
2
С
2
  жəне  A
1
С
1
  
қырларында орналасқан, яғни 
 
L  нүктесі пирамида табанында 
жатады. Ал, егер  К  нүктесінің 
фронталь жəне горизонталь 
проекциясы пирамиданың  ASC 
 
жағында (бетінде) орналасқан 
нүкте болса, онда бұл нүкте 
жалпы жағдайда орналасқан 
пирамиданың  ASC  жағына 
тиісті болады. Ал, жақ бетіндегі 
нүктені табу жолы  129-суретте 
көрсетілген. 
1
П
A
C
L
S
B
K
M
K
1
A
1
C
1
B
1
L
2
.
3
K
1
M
1
S
1
П
1
K
2
S
2
C
2
L
2
П
2
A
2
K
2
B
2
M

136
8.1.4 Пирамида мен түзу сызықтың қиылысуы 
Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың 
қиылысу нүктелерін қарастырайық. 
Тікбұрышты жазықтықтар жүйесінде тікбұрышты  АВС  табаны,  S  төбесі 
бар пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан  МN  түзу сызығының фронталь 
жəне горизонталь проекция жазықтығындағы кескіндері берілген (130-сурет).
Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу 
нүктелерін табу үшін, профессор С.М. Колотовтың көмекші проекция тəсілін 
пайдалана отырып, пирамиданың  S
2
  төбесінен жалпы жағдайда орналасқан 
түзу сызықтың  М
2  
жəне  N
2  
төбелерінен өтетін сəуле жүргіземіз. Бұл сəулелер  
х  осі мен  М
2
/
   
жəне  N
2
/
 
  нүктелерін қиылыстырып, одан əрі төмен қарай 
байланыс сызықтарын жүргіземіз. Енді пирамиданың горизонталь проекция 
1
A
1
C
1
B
1
L
1
K
1
M
1
П
2
С
2
K
2
П
2
В
2
А
2
L
2
M
2
S
2
N
/
2
N
/
2
M
/
1
N
1
N
/
1
M
/
1
L
/
1
K
1
S

137
жазықтығындағы  S
1
  төбесінен түзу сызықтың  М
1  
жəне  N
1  
төбелерінен 
сəуле жүргізіп,  М
2
/
  
жəне  N
2
/
 
  нүктелерінен түсірілген байланыс сызығымен 
қиылыстырамыз. Бұл қиылысқан нүктелерді  М
1
/
   
жəне  N
1
/
 
  деп белгілеп 
аламыз. Табылған  М
1
/
N
1
/
 
  түзуі кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы  
М
1
N
1
  түзу сызығының пирамиданың табанына түскен түрі. Бұл  М
1
/
N
1
/
 
  
түзу сызығы  пирамида табанының  А
1
В
1
  қырын  L
1
/
    жəне    А
1
С
1
  қырын  
К
1
/
  нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған нүктелерді пирамиданың  S
1
  
төбесімен қоссақ, онда бұл жүргізілген түзу жалпы жағдайдағы  М
1
N
1
  түзу 
сызығын  L
1
  жəне  К
1
  нүктелерінде қиып өтеді. Суретте көрсетілгендей түзу 
сызықтың  L
1
  жəне  К
1
  нүктелері арасы пирамида ішінде болғандықтан, бұл 
аралық көрінбейді. Байланыс сызығының көмегімен осы нүктелерді фронталь 
проекция жазықтығында орналасқан  М
2
N
2
  түзу сызығымен қиылыстырып,  
L
2
  жəне  К
2
  нүктелерін табамыз. Егер  K  нүктесі түзу сызықтың пирамидаға 
кіретін нүктесі болса, онда  L  нүктесі түзу сызықтың пирамидадан шығатын 
нүктесі болады. 
1
C
/
1
A
1
B
1
A
/
1
B
/
1
C
1
L
1
P
/
1
E
1
E
1
D
/
1
D
/
1
L
1
П
2
D
2
P
2
П
/
2
А
2
L
2
E
2
B
2
C
/
2
С
/
2
В
2
A
х
P

138
8.1.5 Көпжақты беттердің жазықтықпен қиылысуы 
Жалпы жағдайда орналасқан призма беттерінің жазықтықпен қиылысу 
сызығын, яғни қимасын анықтау есептерін қарастырайық (131-сурет). 
Көлбеу призма беттерінің жазықтықпен қиылысу сызықтарын қарастыру 
үшін көлбеу призма мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықты аламыз.        
Бұл – жазықтық ізімен берілген  Р  жазықтығы. Көлбеу призманың  қырлары 
арқылы фронталь проекцияланушы жазықтықтарын жүргіземіз. Бұл 
жазықтықтар берілген  Р  жазықтығымен қиылысып, көлбеу призманың 
қырларын  D, L  жəне  E  нүктелерінде қиып өтеді. 
Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда табылған қима жалпы 
жағдайда орналасқан жазықтығы мен призманың қиылысу сызығы болып 
табылады. 
8.1.6 Көпжақты 
беттердің өзара 
қиылысуы 
Көпжақты беттердің 
өзара қиылысу сызығын 
анықтау үшін, көптеген 
əдістерді пайдалануға 
болады. Осындай əдіс-
тердің ішінде көп тараған 
түрі қиюшы жазықтықтар 
əдісі болып табылады. 
Төменде осы əдісті пайда-
ланып, мысал қарас-
тырайық. 
Мысал ретінде жалпы 
жағдайда орналасқан көл-
беу үшжақты призма мен 
тік орналасқан үшжақты 
призмалардың қиылысу 
сызығын қарастырайық 
(132-сурет).  
Екі призманың қиылысу 
сызығын табу үшін призма 
қырларын қиып өтетін 
қиюшы жазықтықтарын 
2
П
2
А
2
M
1
П
2
С
1
C
1
E
2
В
2
K
1
B
1
D
1
M
1
K
1
A
2
E
2
D
1
Р
2
L
2
A
2
К
1
L

139
жүргіземіз. Қиюшы Р
1
 жазықтығы тік орналасқан үшжақты призманың 
қырынан өтіп, көлбеу орналасқан үшжақты призманың табанын  К
1
  жəне  
М
1
  нүктелерінде қиып өтеді. Байланыс сызығының көмегімен фронталь 
проекция жазықтығынан   К
2
  жəне  М
2
  нүктелерін табамыз. Бұл нүктелерден 
жүргізілген түзулер тік орналасқан үшжақты призманың қырын  С
2
  жəне  L
2
  
нүктелерінде қиып өтеді. Осындай жолмен бірнеше қиюшы жазықтықтар 
жүргізіп, екі призманың бірнеше нүктелерін (А, В, Е жəне D) табамыз. 
Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда бұл нүктелердің 
жиынтығы жалпы жағдайда орналасқан жəне тік орналасқан призмалардың 
қиылысу сызығы болады.  
1.  Көпжақты бет дегеніміз не?
2.  Дұрыс көпжақты бет дегеніміз не?
3.  Дұрыс көпжақты беттердің түрлері?
4.  Жай көпжақты бет дегеніміз не?
5.  Жалпы жағдайдағы көпжақты бет дегеніміз не?
6.  Көпжақты бет пен түзу сызықтың қиылысу нүктелері қалай 
анықталады?
7.  Көпжақты бет пен жазықтықтың қиылысу сызығы қалай анықталады?
8.  Көпжақты беттердің өзара қиылысу сызығы қалай анықталады?
Ба ылау 
с ра тары

140
1.  Тікбұрышты төртжақты призма мен пирамиданың проекциясын салып 
көрсетіңіз.
2.  Қиғашбұрышты төртжақты призма мен пирамиданың проекциясын 
салып көрсетіңіз.
3.  Тікбұрышты үшжақты призма бетіндегі А, В жəне С нүктелерінің 
жетіспейтін проекцияларын салып көрсетіңіз (1-сурет).
4.  Тікбұрышты үшжақты призма мен жазықтықтың қиылысу сызығын 
салып көрсетіңіз (2-сурет).
Жатты у есептері
x
2
П
1
П
2
А
1
В
1
С
сурет

1
5.  Тікбұрышты үшжақты пирамида мен түзу сызықтың қиылысу 
нүктелерін салып көрсетіңіз (3-сурет).
6.  Қиғашбұрышты үшжақты призма мен АВ түзу сызығының қиылысу 
нүктелерін салып көрсетіңіз (4-сурет).
7.  Екі қиғашбұрышты үшжақтың өзара қиылысу сызығын салып 
көрсетіңіз (5-сурет). 
8.  Үшжақты пирамида мен үшжақты призманың қиылысу сызығын 
салып көрсетіңіз (6-сурет).
x
2
П
1
П
2
5
1
5
сурет

2

141
x
2
A
1
A
2
B
1
B
2
П
1
П
сурет

3
x
2
A
1
A
2
B
1
B
2
П
1
П
сурет

4
x
2
A
1
A
2
B
1
B
2
П
1
П
сурет

4
9. Қиғашбұрышты  үшжақты 
пирамида мен қиғаш үшжақты 
призманың қиылысу сызығын салып 
көрсетіңіз (7-сурет).
x
2
П
1
П
сурет

6
x
2
П
1
П
сурет

7

142
Инженерлік графикада қисық сызықтар нүкте мен түзу сызықтан кейінгі 
қарапайым геометриялық элемент болып саналады. Қисық сызықтар күн-
делікті өмірде əртүрлі жағдайда кездесіп отырады. 
Қисық сызықтар əртүрлі жағдайларда: - белгілі бір заңдылықпен үздіксіз 
қозғалатын нүктелер жиынтығы; - екі қиылысып жатқан беттердің қиылысу 
сызығы; - математикалық теңдеулер; - нүктелер жиынтығының берілген 
қасиеттері арқылы беріледі.
Қисық сызықтар жазықтық жəне кеңістік сызықтары болып екі топқа 
бөлінеді. 
Егер қисық сызықтың барлық нүктелері жазықтық бойында орналасқан 
болса, онда бұл сызықты жазықтық қисық сызығы дейді. Егер қисық сызық-
тың бір немесе бірнеше нүктесі ғана жазықтық бойында орналасса, қалған 
нүктелері кеңістікте болса, онда бұл сызықты кеңістік қисық сызығы дейді.
Бұл топтан басқа қисық сызықтар заңды жəне заңсыз сызықтар болып 
бөлінеді. Ешқандай заңға бағынбайтын жəне кездейсоқ сызылатын қисық 
сызықтың түрін заңсыз сызылған қисықтар дейді. Бұл қисық сызыққа 
топографиялық беттегі горизонталь деңгейлік сызықтары мысал бола алады. 
Заңды қисық сызықтар белгілі бір заңдылық арқылы пайда болады. 
Заңды қисық сызық аналитикалық теңдеулеріне қарай трансцендентті жəне 
алгебралы болып бөлінеді.
Трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері де рационалды функциялар 
болмайды. Бұл сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы (латынның 
жаймаланған деген сөзі) мен эвольвентасы (латынның жаймаланатын деген 
сөзі), синусоид жəне с.т.б.
Егер қисық сызық теңдеуі рационалдық (көпмүшелік) функциялар 
(декарттық координаталар) түрінде берілсе, онда сызық алгебралық қисық 
сызық деп аталады. Алгебралық қисық сызық теңдеуінің дəрежесіне қарай екі 
дəрежелі, үш дəрежелі, төрт дəрежелі  жəне  т.б.с.с.
Сызба геометрияда жазықтық қисық сызықтарының дəрежелерін қисық 
сызықтың түзу сызықпен қиылысу нүктелері арқылы анықтайды. 

жүктеу/скачать 5,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: