§ 7.1 Проекцияны түрлендіру сипаттамасы жəне негізгі əдістері

107
§ 7.2 Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі
Графикалық есептерді шешу кезінде берілген ортогональдық сызба 
көп жағдайда нəрсе мен оны жеке элементтері жөнінде көрнекі ұғым бере 
алмайды, позициялық жəне метрикалық есептерді шешу кезінде оңай бола 
алмайды. Кейде берілген есептің шешуі болуы немесе оны жеңілдету нəтижесі 
болуы мүмкін қосымша сызбаларды құруға тура келеді. Бұндай қосымша 
сызбаларды проекция жазықтықтарын алмастыру əдісі арқылы құруға болады. 
Бірақ, зат кеңістікте ось қалпын сақтайды. Проекция жазықтықтарының 
бағытын өзгертеді: алмастыру кезінде проекцияның екі жазықтығының өзара 
перпендикулярлығы міндетті түрде сақталады.
101-суретте проекция жазықтықтарының кеңістіктегі бейнесі жəне П
1
 
жəне П
2
 жазықтығындағы  А
1
 жəне A
2
  ортогональдық проекциялары бар А 
нүктесі берілген.  П
1 
көлденең жазықтығымен қосымша П
4
 тік жазықтығы, 
П
1
 перпендикуляр жазықтығы проекция жазықтықтарының қосымша 
жүйесін құрайды. Сол сияқты П
4
 жазықтығындағы А нүктесінің A
4
 қосымша 
проекциясының да құрылысы көрсетілген. П
1
 проекциясының жазықтығы екі 
жүйеге негізгі  П
2
 / П
1
 жəне қосымша П
4
 / П
1
 ортақ болып табылады.
А нүктесі мен П
1 
жазықтығының арақашықтығы бірінші мен екінші 
жүйелерде де бірдей, яғни Z
A
 аппликаты мен А
2 
нүктесінің А
1
 көлденең 
проекциясы екі жүйе үшін де өзгермеген күйінде қалады.
Проекция жазықтығының бір жүйесінен екіншісіне өтуді ортогональдық 
сызбадан да оңай қадағалауға болады (102-сурет).  А  нүктесі  А
1
  жəне  А
2
  
проекцияларымен П
2
 / П
1
 проекция жазықтықтарының жүйесінде берілген. 
Қосымша құрылған проекциялаушы П
4 
жазықтығының проекция осі сызбада 
 
  
П
2
 / П
1
 проекция жазықтықтарының қосымша жүйесін айқындайды.
П
1 
жазықтығындағы А нүктесінің A
4
 жазықтығы тура (проекциялық 
 
1
П
2
П
4
П
х
х
1
П
4
П
2
А
x
A
1
П
4
A
2
П
1
A
z
A
z
A
1
x
z
A
z
A
1
x

108
байланыс сызығы), қосым-
ша перпендикуляр ось-
тен Z
A
 қашықтығында 
одан А нүктесінен П
1
 
проек циясының көлденең 
жазықтығына дейінгі 
қашық тықта орналасқан. 
Z
A
 көлемі негізгі сызбадан 
бел гілі  болады.
102, 103-суреттерде 
про ек ция 
жазықтығының 
қосымша жүйесін П
2 
жəне 
П
4 
екі өзара перпендикуляр 
жазықтықтар анықтайды.
Проекцияның бір жа-
зық тығын алмастыру көп 
жағдайда берілген есептің ақырғы шешімін бере алмайды. Кейде проекция-
ның екі немесе одан да көп жазықтықтарын алмастыруға тура келеді.
Проекцияның қосымша жазықтықтары проекция жазықтықтарын 
өзгертетін есептің шарттарынан таңдалады.
Егер проекцияның қосымша жазықтығы түзу кесіндіге немесе жазық 
2
A
A
x
A
1
A
4
A
4
П
2
П
y
A
y
A
2
A
1
A
x
A
x
2
П
1
П
2
П
4
П
1
х

109
фигураға параллель болса, онда мұндай кесінді (жазық фигура) осы проекция 
жазықтығында бастапқы көлемін өзгертпей проекцияланады.
Үшбұрыш күйінде берілген проекцияланатын жазықтықтың жазық 
фигурасының нақты көлемін анықтаймыз (104-сурет). АВС үшбұрышы 
Q проекцияланатын жазықтықта жатсын делік. Үшбұрыш жазықтығына 
параллель  П
3 
проекцияның қосымша жазықтығын таңдаймыз жəне А, В жəне 
С үшбұрышының A
4
, В
4
 жəне С
4
 биіктіктерінің қосымша проекцияларын 
анықтаймыз.
A
4
В
4
С
4
  проекциясы  АВС  үшбұрышының  бастапқы  көлемінде  көрсетеді.            
М нүктесінің М
4
 проекциясы үшбұрыш жазықтығында өз бетінше таңдалды. 
104-суретте бұл нүктенің М
1
 жəне М
2
 негізгі проекцияларының құрылысы 
көрсетілген. 
Егер жазық фигура проекцияның негізгі координаттық жазықтықтарына 
қатысты өздігінен (жалпы) орналасса, онда оның көлемін кейінгі екі проекция 
жазықтықтарын алмастырудың көмегімен анықтайды. Негізгі сызбаға 
қосымша тағы да екі жазық фигура сызбасы құрылады.
2
П
1
П
2
А
2
М
1
1
2
1
2
С
1
А
1
В
1
М
1
С
4
С
4
В
4
М
4
1
1
Х
4
А
2
В
1
П
4
П
x

110
Бірінші қосымша сызба арқылы проекцияланатын жазықтықта орналас-
қан фигураны елестетуге болады; екінші қосымша сызба жазықтықта, 
проекцияның параллель жазықтығында орналасқан жəне оның нақты көлемін 
анықтайтын фигура туралы түсінік береді.
Еркін орналасқан жазықтық сызбасын проекцияланатын жазықтыққа қайта 
алмастыру кезінде осы жазықтықта ең басты сызықтардың бірін – əрқайсысы 
проекцияның қосымша жазықтықтарының бағытын айқындайтын көлденең 
немесе фронталь сызықтарын таңдау керек. Еркін жағдайдағы жазықтықты 
проекцияланатын жазықтыққа алмастыру кезінде П
1 
жəне П
2 
проекция 
жазықтықтарының берілген жазықтықтың α бұрыштары мен β көлбеуін 
анықтайды.
Егер үшбұрыш көлденеңі проекция қосымша жазықтығының бағыты 
болса, онда үшбұрышы осы проекция жазықтығына перпендикуляр, яғни 
проекцияланатын жазықтық орнын алады. Бұндай жағдайда П
1 
проекциялық  
көлбеу жазықтығының α бұрышы анықталады.
Егер үшбұрыш фронталі проекция қосымша жазықтығының бағыты 
болса, онда үшбұрыш осы проекция жазықтығына перпендикуляр жəне 
проекцияланатын жазықтыққа қатысты орын алады. Бұндай жағдайда П
2 
проекциялық фронталь жазықтығының  β  бұрышы анықталады.
Еркін жағдайдағы жазық фигура проекцияның қосымша жазықтығына 
қатысты проекциялану түрінде көрінетін қосымша сызбаның графикалық 
құрылысын қарас 
ты-
райық. Еркін орналасқан 
жазықтық бөлігі АВС 
үшбұрышы түрінде 
беріл  сін 
(105-сурет). 
А 
биіктігі арқылы фронталь 
жүргіземіз. Сызбада Af 
фронталінің A
2
В
2
 фрон-
тальді проекциясы проек-
цияның қосымша жазық-
тығына қарай проекциялау 
бағытын көрсетеді.
Af  фронталіне пер-
пен дикуляр 
П
4 
проек-
циясының қосымша жа-
зық тығын таңдаймыз. С 
нүктесінің проекциялау 
бағытында (байланыс 
сызығы) оның С
4
 қосымша проекциясын белгілейміз жəне байланыс 
сызығына перпендикуляр етіп, есептеудің негізгі сызығын жүргіземіз. В 
4
В
2
А
2
В
2
С
2
1
1
А
1
С
1
В
1
1
1
х
4
С
4
4
1
{
А
1
П
2
П
2
П
4
П
2
f
1
f

111
жəне С нүктелерінің у
в
-у
с
 координаттарының айырмасын белгілейміз де, В 
нүктесінің В
4
 қосымша проекциясын анықтаймыз. Осыған ұқсас, А жəне  ???? 
нүктелерінің у
А
-у
с
 координаттарының айырмасын белгілеп, А нүктесінің A
4
 
қосымша проекциясын анықтаймыз.
А, В жəне С нүктелерінің A
4
, В
4
, С
4
 проекциялары бір түзуде орналасқан 
жəне П
3 
проекциясының қосымша жазықтығына қатысты проекциялаушы 
болып табылатын үшбұрыштың жазықтық ізінің орнын анықтайды. Бұл 
жазықтық көлбеуінің α бұрышының айырмасының негізгі сызығына қарай 
бағыты П
2 
проекциясының фронталь жазықтығына қатысты үшбұрыш 
жазықтығы көлбеуінің бұрышы болып табылады.
Еркін жағдайдағы АВС үшбұрышының нақты өлшемін анықтауға арналған 
графикалық құрылымды көрсетейік (106-сурет). Есеп екі дүркін проекция 
жазықтықтарын алмастыру арқылы шешіледі. П
2 
проекциясы фронтальді 
жазықтығын қосымша проекцияланушы П
4 
проекция жазықтығымен алмас-
тырамыз. Егер П
4 
жазықтығының бағыты жазық фигураға көлденең болса, 
фигура проекцияланатын жазықтыққа қайта салынады. В биіктігі арқылы 
өтетін үшбұрыш көлденеңі П
4 
проекциясының қосымша жазықтығының 
бағытын айқындайды.
П
4 
жазықтығында 
біз көлденең мен 
үш бұрыш тың құл-
ды раған проек-
ция сын 
аламыз. 
Көлде нең нүктеге 
п р о е к ц и я л а н а д ы , 
ал үшбұрыш түзу 
кесіндісіне проек-
цияланады.
П
1 
проекциясының 
көлденең жазық-
тығын фигураның 
параллель жазық-
тығы – П
4 
қосымша 
жазықтығымен ал-
мас  тыра 
отырып, 
фигураның П
4 
жазық-
тығындағы нақты 
көлемді бейнесін 
аламыз.
2
А
2
В
2
С
1
С
1
А
1
В
5
С
5
А
4
А
4
C
5
В
2
1
1
1
4
4
4
1 h
В
{
{
Х
1
Х
2
Х
.
.
Ш
Н
2
h
1
h
2
П
1
П
1
П
4
П
4
П
5
П

112
1-графикалық ес еп. К нүктесі мен ab түзуіне дейінгі арақашықтықты анық-
тау (107-сурет).
Шешуі. Нүкте мен түзуге дейінгі арақашықтықты нүктеден түзуге дейін 
түсірілген перпендикуляр кесінді арқылы анықтаймыз. ab түзуі проекцияның 
біз жазықтығына қатысты болып табылатын проекция жазықтығының 
жүйесін таңдау қажет. Бұл жағдайда  М  нүктесінен осы сияқты түзуге 
түсірілген перпендикуляр кесінді проекция жазықтығымен параллель жəне 
осы жазықтыққа нақты көлеммен проекцияланады.
Еркін  қалыптағы ab перпендикуляр түзуінің  проекция жазықтығын таңдау 
үшін, проекция жазықтығын екі дүркін алмастыру қажет.
П
4
/П
2
 проекциясының жазықтықтар жүйесінде ab түзуінің кесіндісі П
3 
проекциясының жазықтығына параллель жəне осы жазықтыққа нақты 
көлемде проекцияланады. П
4 
/ П
5
 проекциясының жазықтықтар жүйесінде 
1
А
1
В
2
А
4
А
2
В
4
В
5
5
5
1
{
{ В
А
5
М
4
М
2
М
1
М
1
1
2
1
4
1
Х
2
П
1
П

113
ab түзуінің кесіндісі П
4 
проекциясының жазықтығына параллель жəне осы 
жазықтыққа нүкте түрінде проекцияланады. 
Осы жазықтықта сəйкес құрастырулар арқылы берілген М нүктесінің М
4 
проекциясын анықтаймыз. М
4 
проекциясы М нүктесінен ab түзуіне дейінгі 
арақашықтықтың нақты көлемін көрсетеді. Перпендикулярдың М
1
1
1
 жəне 
М
2
1
2
  проекцияларын негізгі проекция жазықтықтары жүйесінде тиісті 
құрылымдар арқылы соңғы проекция жазықтықтары жүйесінен бастапқы 
(негізгі) жүйеге ауыстыра отырып анықтаймыз.
2-графикалық есеп. ab жəне cd параллель түзулерінің арақашықтығын 
анықтау (108-сурет).
Шешуі. Есепті проекция жазықтықтарын алмастыру əдісімен шешу 
үшін, қосымша жүйенің проекциясы жазықтықтарының бірі берілген түзуге 
перпендикуляр болуы керек. Оларға перпендикуляр түзудің жазықтықтағы 
проекцияны нүктеге өзгереді. Олардың арақашықтығын түзулер арасындағы 
қашықтық анықтайды.
Эпюрда берілген (108-сурет) мұндай есеп проекция жазықтығын екі 
рет алмастыру арқылы шешіледі. Бірінші қосымша жүйенің проекция 
Х
1
Х
2
Х
2
а
2
b
2
c
2
d
1
b
1
d
1
a
1
c
4
c
4
a
4
d
5
5
5
m
d
c
{
{
4
b
5
5
5
n
b
a
{
{
1
n
2
n
4
n
1
m
2
m
4
m

114
жазықтықтарының бірі түзулерге параллель, ал екінші қосымша жүйенің 
проекциясының жазықтығы осы түзулерге перпендикуляр.
ab жəне bc түзуіне параллель П
3 
жазықтығын таңдай отырып, олардың a
4
 
b
4
 жəне b
4
  c
4
 қосымша проекцияларын анықтаймыз. Түзуге перпендикуляр 
П
4 
жазықтығын таңдай отырып, олардың a
5 
b
5
 жəне c
5 
d
5
 проекцияларын 
анықтаймыз. П
5
 жазықтығында түзулер нүктеге проекцияланады.
Бір түзудің кез келген нүктесінен екіншісіне түсірілген перпендикуляр 
кесіндісі П
3 
проекциясының жазықтығына бұрмалаусыз проекцияланады. Ол 
жəне де түзулер арақашықтығын анықтайды. Перпендикуляр кесіндісінің m
4 
n
4
 жаңа проекциясын белгілей отырып, қайта құрастыру арқылы оның негізгі 
m
1 
n
1
 жəне m
2 
n
2 
проекциясын табамыз.
3-графикалық есеп. К нүктесінен АВС үшбұрышынан жазықтығына дейінгі 
арақашықтықты анықтау (109-сурет).
Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы нүктеден осы жазықтыққа 
түсірілген кесінді көмегімен анықталады. П
3 
проекциясының жазықтығын, 
АВС перпендикуляр жазықтығын таңдаймыз. Белгілі графикалық əдісі 
2
А
2
В
2
С
2
М
1
А
1
В
1
С
1
М
4
А
4
С
4
В
4
М
Х
4
1
2
1
1
1
2
П
1
П
1
h
2
h

115
бойынша A
4
, В
4
, С
4
 қосымша проекциясын – үшбұрыш жазықтығының ізін 
жəне М нүктесінің М
4 
 проекциясын анықтаймыз.
М
4
 проекциясынан перпендикулярды жазықтық ізіне түсіре отырып, М 
нүктесінен бастап жазықтыққа дейінгі ізделіп отырған қашықтыққа тең М
4
 
1
1 
 кесіндісін табамыз. Кері тəртіппен құру арқылы М
1
 кесіндісінің М
1
  1
1
 
жəне M
2
 1
2
 проекциясын П
2
/П
1
 проекциясы жазықтығының негізгі жүйесінде 
анықтаймыз.
4-графикалық есеп. Σ
1
 жəне Σ
2
 іздерімен берілген Σ жазықтығы бар ЕҒ 
профильді түзуінің қиылысу нүктесін табу (110-сурет).
Шешуі. П
4
П
1
 проекциясы жазықтықтарының қосымша жүйесін таңдаймыз, 
бұл жерде берілген Σ жазықтығы П
3 
жазықтығына қатысты проекцияланушы 
болып табылады. П
4 
проекциясы жазықтығының бағыты етіп, Σ көлденең 
жазықтығын аламыз, яғни көлденең із Σп’. Σп’ көлденеңіне қарай түзу 
бұрыштың астынан өтетін П
1 
/ П
4
 проекциясының осін белгілейміз. П
4
 
проекциясында Σп
4
 ізін жəне ЕҒ түзуінің Е
4
 Ғ
4
 проекциясын анықтаймыз.
Е
4
  Ғ
4
 проекциясы Σп
4
  ізімен К
4 
 нүктесінде қиылысады. К нүктесінің K
1
 
жəне  K
2
 негізгі проекциясын анықтаймыз. K
1
 көлденең проекциясының 
қиылысу сызықтары қосымша байланысу сызығында жəне E
1
  F
1
 көлденең 
проекциясында анықталады.
Х
2
6
1
6
2
F
1
F
2
E
1
E
x
6
4
F
4
E
4
6
1
X
1
K
4
K
2
K
2
П
1
П
1
П
4
П

116
K
2
 фронталь проекциясы сəйкес көлденең жазықтықтың фронталь 
проекциясына жатады.
5-графикалық есеп. АВС үшбұрышы мен EDFK төртбұрышы түрінде 
берілген екі жазық фигураның қиылысу сызығын құрастырамыз жəне олардың 
проекциядағы көрінісін анықтаймыз (111-сурет).
Шешуі. Көпбұрыштың қосымша сызбасын, мысалы АВС үшбұрышы 
проекциялаушы болатындай етіп құрамыз. Үшбұрыштың А
1
 горизонталі 
П
ң
 проекциясының қосымша жазықтығының бағытын көрсетеді. A
4
В
4
С
4
 
жəне Е
4
D
4
F
4
K
4
 көпбұрыштарының проекцияларын анықтаймыз. Жəне де 
АВС үшбұрышының A
4
В
4
С
4
 проекциялары түзу сызықтың кесіндісі түрінде 
бейнеленеді. Бұл үшбұрыш жазықтығының – оған перпендикуляр П
4
 
проекциясы жазықтығының ізі болады. Екі көпбұрыштың жазықтықтары 
түзу сызықтың бойымен қиылысады. Бұл сызықтың проекциясының біреуі 
үшбұрыш жазықтығының ізіне – П
4
 проекциясының қосымша жазықтықтағы 
АВС үшбұрышының проекциясына жатады. 
M
1
N
1
 жəне M
2
N
2
 негізгі проекцияларының жазық фигураларының қиылысу 
сызығы кері тəртіппен құру арқылы анықталады. П
1
 жəне П
2
 проекция 
жазықтығына қатысты көпбұрыштар жағының көрінісін бəсекелес нүктелер 
əдісімен стрелканың бағыты бойынша анықтаймыз.
4
A
4
B
4
C
4
K
4
E
4
F
4
D
1
X
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
D
2
F
2
K
2
E
1
E
1
F
1
D
1
K
X
2
h
1
h
1
П
1
П
4
П
2
П
2
m
1
m
4
m
2
n
1
n
4
n
1
m

117
§ 7.3 Бұру (айналдыру) тəсілі
Бұл əдіс заттың қосымша сызбаларын осы затты ось төңірегінде бұру 
арқылы проекция жазықтықтарының өзгермейтін негізгі жүйесінде құруды 
қарастырады. Ол механизмдер мен машиналардың конструкцияларының 
түрлі айналмалы формаларын зерттеу кезінде қолданылады.
 7.3.1 Проекцияланатын түзу сызықтар төңірегінен бұру
Затты бұру арқылы осы заттың көптеген сызбаларын проекция 
жазықтықтарының бір негізгі жүйесінде құруға болады. Бірақ проекция 
жазықтықтары өзгеріссіз қалдырылады. Қарастырылып отырған зат проекция 
жазықтықтарына перпендикуляр осьтер төңірегінде бұру арқылы жаңа 
жағдайға əкеледі. Жаңа жағдайда оның ортогональдық проекциясы, яғни 
заттың сызбасы құрылады. 
Проекция жазықтығына перпендикуляр осьтер төңірегінде нүктені бұруды 
эпюрде қарастырамыз. А нүктесі (112-сурет) көлденең проекцияланатын і 
түзуінің төңірегінде бұрылады делік. А нүктесінің қозғалу траекториясы бұру 
осіндегі  О  орталықты шеңбер болып табылады. Шеңбердің Ф жазықтығы 
– көлденең жəне перпендикуляр бұру осі. Оны нүктені көшіру (қозғау) 
жазықтығы деп атаймыз.
2
i
1
1
O
i
{
2
A
2
O
I
A
2
II
A
2
1
A
I
A
1
II
A
1
2
П
)
1
П
)

118
АО радиусы А
1
O
1
 нақты шамасында проекцияның көлденең жазықтығында 
проекцияланады. Осьтер төңірегінде бұру арқылы А нүктесінің біріккен 
проекцияларын анықтауға болады. А
1
 көлденең проекциясы шеңбердің 
доғасы бойымен, ал фронтальды А
2
 көлденең түзу бойымен – Фп
2
 ізімен А 
нүктесінің алмастыру жазықтығымен ауыстырылады.
А
1
 нүктесі А нүктесінің осьтер төңірегінде сағат тілі бағытына кері бағытта 
α бұрышына бұру арқылы анықталады.
А
2
 нүктесін і түзу осі төңірегінде бұру арқылы Г фронтальды жазықтығымен 
бірігеді.
Графикалық есеп. Берілген А нүктесін і көлденең түзуі төңірегінде бұру 
арқылы Σ (a∩b) жазықтығына енгіземіз (113-сурет).
Шешуі. А нүктесі қозғалысының траекториясы Ф көлденең жазықтығындағы 
шеңбер болып табылады. Бұру орталығы О нүктесі болады. Ф жазықтығы 
берілген Σ жазықтығын доға көлденеңі бойымен А нүктесінің қоршауын жəне 
көлденең А
1
 жəне А
2
 нүктелерінде қиылысады. Ол осы нүктелер А нүктесінің 
төңірегінде айналатын бастапқы жағдайын белгілейді.
Қандай да бір фигураны проекцияланатын түзу төңірегінде бұру осы 
фигураның нүктелерін бұруға апарады.
113-
сурет
I
A
2
2
A
II
A
2
2
в
2
а
2
с
1
с
1
а
1
в
II
A
1
I
A
1
1
A
2
О
1
1
i
О {
2
П
)

119
Ф фронтальды проекциялаушы жазықтыққа жататын АВС үшбұрышын 
нақты шамада анықтайық (114-сурет).  Бұру осі – і фронтальды 
проекцияланатын түзуі – үшбұрыштың С төбесі арқылы өтеді дейік.
Үшбұрыш жазықтығын і осі төңірегінде бұра отырып, П
1
 проекциясының 
көлденең жазықтығына параллель Ф жағдайына келтіреміз. Үшбұрыштың А 
жəне В төбелері осы нүктелер қозғалысының фронтальды жазықтықтарын 
анықтайтын қоршаудың доғал бойымен ауысады. Фп
2
 ізі Ф жазықтығының 
біріккен ізі болып табылады.
А жəне В нүктесінің А
2
 жəне В
2
 біріккен фронтальды проекциясын 
анықтаймыз. Бұл нүктелердің А
1
 жəне B
1
 көлденең проекциялары, қозғалыс 
жазықтығының іздеріне сəйкес келетін олардың проекцияланған байланысы 
да анықталады. С нүктесі бұру осінде орналасады жəне өзінің бастапқы 
түрін өзгертпейді. Біріккен жағдайдағы АВС үшбұрышы A
1
B
1
C
1
 жəне 
114-
сурет
2
A
2
B
2
C
I
A
2
I
B
2
2
K
I
K
2
1
A
1
B
I
C
C
1
1
{
I
B
1
I
A
1
1
K
I
K
1
2
П
)
2
П
)
Н
.
Ш
.

120
A
2
B
2
C
2
 проекциялары арқылы беріледі. Көлденең A
1
B
1
C
1
 проекциясы 
үшбұрыш көлемін қатесіз береді. Үшбұрыштың біріккен жағдайындағы К 
нүктесінің К
1
 проекциясын ерікті түрде белгілейміз. Осы нүктенің негізгі 
(бастапқы) проекцияларын анықтау үшін, үшбұрыш жазықтығын бастапқы 
жағдайға келтіру керек. Барлық құрылыстар осыған ұқсас, бірақ кері ретімен 
орындалады.
Еркін жағдайдағы жазық фигураның нақты шамасы бір проекцияланатын 
түзу төңірегінде бұру арқылы анықталмайды. Проекцияланатын түзу 
төңірегінде бұрған кезде, фигураны проекцияланатын жазықтың жағдайына 
əкеледі, содан кейін екінші проекцияланатын түзу төңірегінде бұрған кезде 
проекция жазықтығына параллель жағдайына əкеледі. Осы жазықтыққа 
фигура нақты шамамен проекцияланады.
Еркін орналасқан жазықтыққа жататын кез келген фигураны көлденең 
немесе фронтальды проекцияланатын жазықтық  етіп қайта беруді келесі 
тəртіпте орындауға болады. Фигураны проекцияланған түзу төңірегінде бұра 
отырып, осы фигураның жазықтығы проекция жазықтығына перпендикуляр 
болуы мүмкіндігін байқауға болады. Мысалы, АВС үшбұрышы жазықтығын-
да (115-сурет) А
1
 көлденеңін таңдай отырып жəне үшбұрышты көлденең 
проекцияланатын і түзуінің төңірегінде бұра отырып, фигура жазықтығының 
115-
сурет
I
C
2
I
A
2
I
B
J
2
2
{
I
A
1
2
2
1
A
{
1
1
1
A
{
I
B
1
1
C
1
C
1
1
1
1
B
I
C
1
2
B
2
1
2
C
2
C
1
1
2
h
1
h
1
1
h

121
проекцияның көлденең жазықтығына еңіс бұрышы тұрақты болып қала 
береді, ал проекцияның фронтальды жазықтығына еңістің бұрышы өзгереді.
Фигура жазықтығы егер осы фигураның көлденең сызығы проекцияның 
фронталь жазықтығына перпендикуляр болса, онда ол проекцияның фронталь 
жазықтығына перпендикуляр. Көлденең проекцияланатын осі төңірегіндегі 
жазық фигураның бұрылу бұрышы осы жазықтық көлденеңінің бастапқы 
жəне соңғы жағдайлары арасындағы δ бұрышымен анықталады. Осы бұрышқа 
берілген үшбұрыштың В жəне С биіктігінің B
1
 жəне C
1
 проекциялары көлденең 
айналады. B
2
 жəне C
2
 фронталь проекциялар көлденең сызық бойымен В жəне 
С нүктелері қозғалысының жазықтықтары ізімен ауыстырылады.
АВС үшбұрышы A
1
B
1
C
1
 жəне A
2
B
2
C
2
 проекцияларының біріккен 
жағдайындағы түрінде көрінеді. Бұл жағдайда үшбұрыш жазықтығы 
фронтальды проекцияланатын Ф жазықтығы болып табылады. Проекция 
жазықтығына көлденең жазықтық бөлігінің еңіс бұрышы жазықтықтың 
проекция осі бағытына қарай Фп
І
 ізінің еңіс бұрышы арқылы анықталады.
Еркін жағдайдағы жазықтықты проекцияланатын жазықтыққа қайта 
беру арқылы, бұдан əрі қарай үшбұрыш өлшемін табуға арналған есепті 
шығарамыз. Үшбұрыштың төбесі арқылы өтетін j┴П
2
 бұру осін таңдаймыз. 
АВС үшбұрышының фронтальды проекцияланатын Ф жазықтығын ось 
төңірегінде бұру арқылы көлденең жазықтық жағдайына əкелеміз. Бұл 
жағдайда АВС үшбұрышы нақты шамадағы П
1
 проекциясының көлденең 
жазықтығына проекцияланады.
Еркін жазықтықта орналасқан фигураны көлденең проекцияланатын 
жазықтыққа алмастыруға болады, ол үшін оны проекцияның перпендикуляр 
фронталь жазықтығының осі төңірегінде бұру керек. Фигура жазықтығына 
фронтальды таңдаймыз. Фигураны фронтальды проекцияланатын түзу 
төңірегінде фронталь проекцияның көлденең жазықтығына перпендикуляр 
болатын жағдайға дейін бұру арқылы фигура жазықтығы проекцияның 
көлденең жазықтығына перпендикуляр екенін анықтаймыз. Ось төңірегіндегі 
жазық фигураның бұрылу бұрышы осы фигура фронталінің бастапқы жəне 
соңғы жағдайлары арасындағы бұрышы арқылы анықталады. 
Еркін орналасқан жазықтықты фронтальды проекцияланатын жазықтық 
етіп қайта беру үшін, бұру осі етіп көлденең проекцияланатын түзуді алған 
дұрыс. Фигура оның көлденеңі П
2
 проекциясының фронтальды жазықтығының 
бағытымен сəйкес келген жағдайға келтіріледі.
Еркін жағдайда орналасқан жазықтықты көлденең проекцияланатын 
жазықтық етіп қайта беру үшін бұру осі етіп фронтальды проекцияланатын 
түзуді алған дұрыс. Фигураны бұру арқылы оның фронталі  П
1
  проекциясының 
көлденең жазықтығының бағытымен сəйкес келетін жағдайға келтіріледі.

122

жүктеу/скачать 5,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: