§ 9.1 Жазықтық қисық сызықтар

143
Жазықтық қисық сызықтары алгебралық жəне трансцендентті болып 
бөлінеді. Қисық сызық теңдеуі рационалдық функцияларда берілсе, онда 
қисық сызық алгебралық қисық сызық болады. Ал, керісінше, трансцендентті 
қисық сызықтар теңдеулері рационалды функциялар болмайды. 
Жазықтық алгебралық қисық сызықтар теңдеуінің дəрежесіне қарай 
екі дəрежелі, үш дəрежелі, төрт дəрежелі  жəне  т.б.с.с. болып бөлінеді. Ал 
трансцендентті қисық сызықтарға мысал ретінде шеңбердің эволютасы 
мен эвольвентасы, синусоид жəне т.б.с.с. қисық сызықтар жатады. Төменде 
жазық тық алгебралық қисық сызықтарға мысал ретінде екі дəрежелі қисық 
сызықтар мен шеңбердің эволютасы, эвольвентасы, синусоидасын қарастырып 
отырмыз. 
9.1.1 Екінші ретті қисық сызықтар
Күнделікті адам өмірінде, оның ішінде механикада, оптикада, кеме, көліктер 
жəне ұшақтар жасауда, сəулет-құрылыс ғимараттарын салғанда, көптеген 
техникалық есептерді шешкенде жəне сызба геометрияда алгебралық қисық 
сызықтардың ішінде көп қолданылатын түрі  – екінші ретті 
қисықтар. 
Екінші ретті қисық сызықтардың қарапайым түрі - 
шеңбер. Себебі, шеңбердің алге 
б 
ра 
лық теңдеуі екінші 
дəрежелі тең 
деу 
мен сипатталады. Бұл шеңберге гео-
метриялық қасиеттері жағынан эллипс, парабола жəне 
гипербола ұқсас болады.  
Бұл аталған екінші ретті қисық 
сызықтар ерте заманда белгілі болған. 
Біздің эрамыздан бұрынғы  IV ғасырда 
өмір сүрген ежелгі грек ғалымы Менехм 
осы екінші ретті қисық сызықтарды 
зерттеумен айналысқан. Евклид пен Архимедтің бұл 
қисықтарды зерттеуде еңбектері өте үлкен. Ежелгі грек 
ғалымдары еңбектерінде екінші ретті қисық сызықтарды 
конус пен жазықтықтың қималары арқылы алып, оларды 
конустық қималар деп атаған (133-сурет). 
133-суреттен көріп отырғандай, егер кесуші (сары) 
жазықтық тік дөңгелек конустың осіне параллель болып 
кесілетін болса, онда конустың қимасы гипербола болады. 
Ал, егер кесуші (қара) жазықтық тік дөңгелек конустың жасалушысына 
параллель болып кесілетін болса, онда конустың қимасы парабола болып 
шығады (133-сурет). 
Егер дөңгелек конусты (қоңыр) кесуші жазықтық жалпы жағдайда 
орналасқан болып кесілсе, онда конустың қимасы эллипс болады (133-сурет). 
Ескерту, егер қоңыр кесуші жазықтық дербес жағдайда болып (тік дөңгелек 
конустың табанына параллель болса) кесілсе, онда конустың қимасы шеңбер 
болады (133-суретте бұл шеңбер көрсетілмеген). 

144
Ежелгі гректің ұлы геометрі Аполлоний (250 - 200 жылдарда өмір сүрген) 
екінші ретті қисық сызықтар туралы сегіз кітаптан тұратын құнды еңбек 
жазып, ол қисықтарды бір жүйеге келтіріп, теориясын жасаған. Аполлоний 
екінші ретті қисық сызықтардың фокустарын (латынның ошақ деген сөзі), 
хордаларын, түйіндес диаметрлерін жəне асимптоталарын анықтаған. 
Өкінішке орай, Аполлоний өмір сүрген кезде декартты координаталар жүйесі 
болмағандықтан, ол кесінділер мен аудандар тілінде баяндаған. 
Екінші ретті қисық сызықтардың негізгі теңдеулерін алғаш рет Пьер Ферма 
қорытып шығарған. Ол теңдеу: 
=
2
y
 2 рх+тх
2
   
түрінде жазылады. 
Егер дербес жағдайда 
 
k
m
−
=
 болса, онда 
эллипс 
тің (ежелгі гректің 
«эллейпсис» кем түсіру 
деген сөзі) теңдеуі шыға-
ды (134-сурет). Сонымен 
эллипс деп берілген екі 
нүктеге дейінгі қашық-
тықтарының қосын 
дысы 
тұрақты болатын нүкте-
лердің геометриялық ор-
нын айтады. 
S
O
i
O
1
F
2
F
A
B
C
D
c
2
x
y
E

145
Егер екінші ретті қисық 
сызықтардың негізгі тең-
деуін дегі 
 
0
=
m
 болса, 
онда параболаның (ежелгі 
гректің «параболе» дəл түсіру 
деген сөзі) теңдеуі шығады 
(135-сурет). 
Парабола деп берілген 
нүкте (параболаның фокусы-
нан) берілген түзуден (дирек-
трисадан) бірдей қашық-
тықтағы нүктелердің геомет-
риялық орнын айтады. 
Екінші ретті қисық сызық-
тардың үшінші түрін қарас-
тырайық (136-сурет). Егер 
қисықтың негізгі теңдеуіндегі 
k
m
=
 болса, онда гипер-
боланың (ежелгі грек тілін-
де «гиперболе» деген асырып түсіру деп аударылады) теңдеуі шығады. 
Гипербола деп берілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының айырмасы 
тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орнын айтады. 
O
1
F
A
P
x
y
P
2
P
1
R
1
R
O
1
F
A
x
y
1
R
/
1
R
2
F
A

146
Осы аталған екінші ретті қисық сызықтардың алғаш рет атын қойған 
Аполлоний болатын. 
Екінші ретті қисық сызықтарды поляр теңдеулерімен де көрсетуге болады. 
Бұл поляр теңдеуін:
ϕ
cos
1 e
p
r
−
=
Леонард Эйлер (1707 – 1783) дəлелдеп енгізген. Бұл теңдеуден эллипсті 
теңдеуін алу үшін  е
<1   болуы қажет. Ал,  е=1  болса, парабола,  е> 1 болса 
гипербола болады. 
9.1.2 Трансценденттік қисық сызықтар
Қисық сызықтардың жанамасы мен осы жанама сызықтың санына 
байланысты класы болады. Қисық сызықтың жанамасы деп кез келген 
қисықтың бір нүктесі арқылы түскен нормаль сызығына перпендикуляр 
сызылған сызықты айтады. Ал егер қисық сызықтан тысқары жатқан бір 
нүкте арқылы қисық сызыққа жанама жүргізсек, онда бұл жанама сызықтары 
қисық сызықтың класын анықтайды. Мысал ретінде кез келген екінші 
ретті қисықтарды алсақ, олардың кластары екі болады, өйткені біз тысқары 
орналасқан бір нүктеден бұл сызықтарға екі жанама жүргізе аламыз. 
Сонымен жоғарыда айтып кеткендей, трансцендентті қисық сызықтар 
теңдеулері тригонометриялық функциялар болады. Шеңбердің эвольвента-
сын мысал ретінде 
қарастырайық (137- 
сур ет). 
Шеңберді бірдей 
тең бөліктерге бөле-
міз. Осы бөлінген 
шеңбердің барлық 
нүктелерінен шең-
бер 
ге жанама түзу-
лер сызамыз. Енді 
шеңбердің ұзын 
ды-
ғын:  
R
l
π
2
=
теңдеуімен анық-
тап алып, осы  l  
түзуін де шеңберді 
O
F
A
R
l
S
2
 
7
R
7
R
B
C
D
E
G

147
бөлген санға бөлеміз. Бұл анықталған бөліктерді өзі аттас бөліктерінен 
жүргізілген жанама сызығына өлшеп саламыз. Табылған нүктелерді қисық 
сызғыштың (лекала) көмегімен қосып, шеңбердің эвольвентасын саламыз. 
Келесі мысалды трансцендентті синусоида қисық сызығын қарастырайық 
(138-сурет). Синусоида деп шеңбер нүктелерінің екі еселі бірқалыпты 
іргелі қозғалысы мен қайтымды қозғалыстарының шеңбер ұзындығына 
перпендикуляр болып келетін нүктелер жиынтығынан құрылған қисық 
сызықты айтады. Синусоиданы салу үшін шеңберді тең бөлшектерге бөлеміз. 
Содан кейін шеңбердің ұзындығын анықтап осы түзуді де тең бөліктерге 
бөлеміз. Шеңбер осінен осы бөліктерге перпендикуляр түзулер түсіріп, 
шеңбердің бөлінген бөліктерінен осы сызыққа параллель сызықтар жүргіземіз. 
Табылған нүктелерді қисық сызғышпен қоссақ, синусоида қисығы шығады.  
O
F
A
R
l
S
2
 
B
C
D
E
G
K
b
a
c
d
e
f
g
k
A
§ 9.2 Кеңістіктік қисық сызықтар
Кеңістіктік қисық сызықтардың жазық қисықтардан айырмашылығы 
- сызықтардың бір немесе бірнеше нүктелерінің ғана жазықтық бойында 
жату мүмкіндігі (139-сурет). Бұл кеңістік қисық сызықтарына мысал ретінде 
цилиндрлік жəне конустық бұрама сызықтарын қарастырайық. Бұрама қисық 
сызық нүктенің бірқалыпты айналуы мен түзу сызықты қозғалысынан пайда 
болады. 
Цилиндрлік бұрама қисық сызық деп бірқалыпты айналатын түзудің 
бойымен қозғалатын нүктенің жүру жолын айтады (140-сурет). 
Кей жағдайда цилиндрлік бұрама қисық сызықты гелиса деп те атайды. 
140-суреттен көріп отырғандай, шеңберді тең бөлікке бөліп, шеңбердің 
ұзындығын  анықтап, оны тең бөлікке бөліп алып, осы нүктелерді өзара 
перпендикуляр сызықтармен қосып, бұрама сызықты саламыз. Нүктенің 

148
1
O
F
A
R
l
S
2
 
1
A
B
C
D
E
G
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
G
1
K
2
A
2
B
2
C
2
G
K
2
K
2
A
A
2
E
h
цилиндр бойымен толық бір бұрама 
айналғанда, көтерілген биіктігін  (h) бұра-
ма сызықтың адымы дейді.   
Егер цилиндрлік бұрама қисық сызық-
тың нүктесі шеңбер осінен сағат тіліне 
бағыттас айналса, онда бұрама сызық 
оңқай сызық болады. 
Егер сызықтың нүктесі шеңбер осінен 
сағат тіліне қарама-қарсы айналса, онда 
цилиндрлік бұрама сызық солақай болады 
(140-сурет). 
Конустық бұрама қисық сызық деп 
өзімен қиылысатын түзуден бірқалыпты 
айналатын түзудің бойымен қозғалатын 
нүктенің жүру жолын айтады (141-сурет). 
Конустық бұрама сызық пен цилиндрлік 
бұрама қисық сызықтың айырмашылығы 
-  оның шеңбердегі үстінен қараған түрі 
Архимедтің спиралі түрінде берілсе, 
конустың алдынан қарағандағы көрінісі 
кеміген (өшкен) синусоида түрінде 
беріледі (141-сурет).  
1
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
G
1
K
2
D
2
B
2
C
2
G
2
K
2
A
2
E
h
2
F
2
L
1
L

149
1.  Қисық сызық дегеніміз не?
2.  Жазықтық қисық сызығы дегеніміз не?
3.  Кеңістік қисық сызығы дегеніміз не?
4.  Жазықтық қисық сызығы дегеніміз не?
5.  Трансцендентті қисық сызық дегеніміз не?
6.  Алгебралық қисық сызық дегеніміз не?
7.  Екінші ретті қисық сызықтар дегеніміз не?
8.  Шеңбердің эвольвентасы дегеніміз не?
9.  Қисық сызықтың жанамасы дегеніміз не?
10.  Қисық сызық класы дегеніміз не?
11.  Қисық сызық нормалі дегеніміз не?
12.  Гелиса дегеніміз не?
13.  Конустық бұрама қисық сызық дегеніміз не?
Ба ылау 
с ра тары
Жатты у есептері
1.  Диаметрі 30 мм болатын шеңбердің эвольвентасын салып көрсетіңіз.
2.  Диаметрі 40 мм болатын шеңбердің синусоидасын салып көрсетіңіз.
3.  Табанының диаметрі 30 мм, биіктігі 60 мм болатын дөңгелек тік 
цилиндрдің гелисасын салып көрсетіңіз.
4.  Биіктігі 70 мм, ал табанының диаметрі 30 мм болатын дөңгелек тік 
конустың конустық бұрама қисық сызығын салып көрсетіңіз.

150
Инженерлік графикада беттер деп бір заңдылық арқылы кеңістіктегі 
сызықтардың қозғалуы мен жиынтықтарынан құралған геометриялық 
фигураны айтады. Бұдан басқа беттер біркелкі екіпараметрлі нүктелер 
жиынтығы мен беттің қаңқасы арқылы беріледі. Геометрияда кез келген 
фигураның қозғалысы кинематикалық əдіске жатады. Сондықтан беттің 
құралуы оның жасалушы сызығы мен осы сызықтың кеңістіктегі қозғалу 
заңына байланысты. Осы жасалушысына байланысты беттердің түрлері көп. 
Төменде беттердің өмірде көп кездесетін жəне қолдануға ыңғайлы айналмалы, 
бұрама, құлама жəне топографиялық беттер түрін қарастырамыз. 
§ 10.1 Айналмалы беттер
Айналмалы беттер деп кез келген сызықтың тұрақты бір ось бойымен 
айналуынан құралған бетті айтады. Айналмалы бет болғандықтан, оның 
параллелі (сызықтың кез келген нүктесі шеңбердің бойымен айналғандағы 
сызық) жəне меридианы (бетті айналу осінен қиып өтетін жазықтық пен 
беттің қимасы) болады. Сызықтардың айналу осіне жəне орналасуларына 
байланысты айналмалы беттер конус, цилиндр, сфера (шар), гиперболоид, 
параболоид, эллипсоид жəне т.с.с. болып бөлінеді. Енді осы беттердің ішіндегі 
көп тараған түрі дөңгелекті конус пен цилиндрді қарастырамыз. 
10.1. Айналу конус беті
Конус деп тұрақты бір ось бойымен жəне осы оське сүйір немесе доғал 
бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады. 
Конус беті көлденең горизонталь  П
1
  проекция жазықтығында орналасуына 
байланысты қиғаш жəне тік болып екіге бөлінеді. 
Егер конус бетінің тұрақты осі көлденең  П
1
  проекция жазықтығына тік 
бұрышпен орналасса, онда  П
1
  жазықтығына тік орналасқан конус болып 
Х-тарау
БЕТТЕРДІ  ПРОЕКЦИЯЛАРЫ

151
табылады (142-сурет). 
Тік конус бетті дөң-
гелек табанымен жəне 
жасаушы көлбеу сызы-
ғымен беріледі.  
142-суреттің  жоғар-
ғы жағында  тік  дөңге-
лекті конустың кеңіс-
тіктегі кескіні көр-
сетілген. Мұндағы 
 
АВ түзуі тік конустың 
жасалушысы болса, 
конустың айналу осі  i  
сызығы болады.
Айта кету керек, 
конус табанына байла-
нысты эллипсті, параболалы, гиперболалы, дөңгелекті т.б. болып бөлінеді. 
Ал, 143-суретте тік дөңгелекті конустың тік бұрышты жазықтықтар жүйесі, 
фронталь жəне горизонталь проекциясы 
көрсетілген. 
Мұндағы  А
2
В
2
    жəне    А
1
В
1
  түзу 
сызықтары тік конустың фронталь 
жəне горизонталь проекция жазық-
тықтарындағы жасалушылары болса, 
ал  S
2
    жəне    S
1
 конустың төбесі 
болады. Ал, тік конустың фронталь 
проекция жазықтығында айналу осі  i
2
  
сызығы болса, горизонталь проекция 
жазықтығында айналу осі  i
1
  сызығы  А
1
  
жəне  S
1
  нүктелерімен беттесіп кетеді.
Енді осы конус бетінде орналасқан 
 
С  нүктесін қарастырайық (143-сурет). 
Конус бетінің жасалушылары бір 
нүктеден тарайтын болғандықтан, 
конустың бетінде орналасқан кез келген 
нүктеден жасалушы түзуін жүргізіп, 
нүктенің фронталь жəне горизонталь 
проекцияларын тауып аламыз.  
Егер конус бетінің айналу осі көлденең  
П
1
  проекция жазықтығына сүйір немесе 
доғал бұрышпен орналасса, онда 
1
П
A
S
B
O
i
1
П
1
B
1
1
1
i
A
S
 
 
2
2
A
S
 
2
i
2
B
2
П
2
С
1
С

152
мұндай конус  П
1
  жазықтығына 
қиғаш орналасқан конус болады 
(144-сурет). Қиғаш конусқа мысал 
ретінде 144-суретте өзара тік 
бұрышты орналасқан проекциялар 
жазықтықтарындағы фронталь 
жəне горизонталь проекциясы 
көрсетілген. 
Мұнда да  А
2
В
2
    жəне    А
1
В
1
  
түзу сызықтары қиғаш конустың 
фронталь жəне горизонталь 
проекция жазықтықтарындағы 
жасалушылары болып келеді. 
Ал,  S
2
  жəне  S
1
  қиғаш конустың 
проекция жазықтықтарын-
дағы төбесі болады. Қиғаш 
конус 
тың фронталь проекция 
жазықтығында айналу осі  i
2
  
сызығы болса, горизонталь 
проекция жазықтығында 
айналу осі  i
1
  сызығы болады. 
Сурет 
те берілгендей, қиғаш 
конустың горизонталь проекция 
жазықтығындағы конус табаны 
шеңбер болады. 
Енді   конус бетінде қиғаш орналасқан  С  нүктесін қарастыратын болсақ, 
онда конус бетінің жасалушылары бір нүктеден тарайтынын біле отырып, 
конустың бетінде орналасқан кез  келген нүктеден жасалушы түзуін жүргізіп, 
нүктенің фронталь жəне горизонталь проекцияларын тауып аламыз.  
10.2. Айналу цилиндр беті
Цилиндр деп тұрақты бір ось бойымен жəне осы оське тік бұрышпен 
орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады (145-сурет). 
Цилиндр беті де проекция жазықтықтарына орналасуларына байланысты 
қиғаш жəне тік орналасқан болып екі түрге бөлінеді. Айналмалы беттердің 
табанына байланысты цилиндрлі беттер элиппсті, параболалы, дөңгелекті 
жəне тағы басқа сол сияқты болып көптеген түрлерге бөлінеді. 
Егер цилиндр бетінің тұрақты айналу осі көлденең  П
1
  горизонталь проекция 
жазықтығына тік бұрышпен орналасса, онда цилиндрлік бет  П
1
  жазықтығына  
1
П
1
B
1
1
S
A
 
i
1
O
2
B
2
O
2
2
S
A
 
2
П
2
i
1
i
2
С
1
С

153
тік орналасқан болып табы-
лады (145-сурет).
145-суретте тік дөңгелекті 
цилиндрдің кеңістіктегі 
орналасқан кескіні көрсе-
тілген. Мұндағы  АВ  түзу 
сызығы тік цилиндрдің 
жасалушысы, ал  i  түзу 
сызығы цилиндрдің айналу 
осі болады. 
Ал, 146-суретте тік дөң-
гелекті цилиндрдің фронталь 
жəне горизонталь проекция 
жазықтықтарындағы кескіні 
көрсетілген. Бұл жерде  А
2
В
2
  
жəне  А
1
В
1
  түзу сызықтары 
- фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы тік цилиндрдің 
жасалушысы. Горизонталь проекция жазықтығындағы цилиндрдің төменгі 
жəне жоғарғы табандары өзара беттесіп, бір ғана шеңберді береді. Ал, 
фронталь проекция жазықтығындағы 
цилиндрдің проекциясы төрт бұрышты 
болады. Егер цилиндр бетінде  С 
 
нүктесі орналасқан болса, онда осы 
 
С  нүктесі арқылы цилиндр бетінің 
жасалушысына параллель түзу 
жүргізіп, цилиндрдің табанымен 
қиылыстырып, нүктенің горизонталь 
проекциясын табамыз.  
Егер цилиндр бетінің айналу осі 
көлденең  П
1
  горизонталь проекция 
жазықтығына сүйір немесе доғал 
бұрышпен орналасса, онда мұндай 
цилиндр  П
1
  горизонталь проекция 
жазықтығына  қиғаш орналасқан 
цилиндр болады. 
Қиғаш цилиндр бетінің кеңістіктегі 
кескіні 147-суретте көрсетілген. Бұл 
суретте  АВ  түзу сызығы қиғаш 
цилиндрдің жасалушысы болса,  i 
 
сызығы цилиндрдің айналу осі болады. 
Қиғаш цилиндр бетінің табандары 
1
П
B
A
A
O
i
1
П
1
B
1
O
1
i
2
П
2
i
2
A
2
B
2
С
1
A
1
С

154
өзара параллель 
жəне көлденең 
 
П
1
  горизонталь 
проекция жазық-
тығына да парал-
лель орна 
ласқан 
бет. Бірақ айта 
кету керек, қиғаш 
цилиндр бетінің 
табандары өзара 
əртүрлі жəне 
горизонталь про-
ек ция жазық-
тығына параллель 
болмайтын қиғаш 
цилиндр беті бола-
ды. 
Келесі 148-суретте 
кеңістіктегі қиғаш 
цилиндр бетінің гори-
зонталь жəне фронталь 
проекция жазықты-
ғындағы эпюрасы  көр-
сетілген. 
Егер қиғаш цилиндр 
бетінің горизонталь 
проекциясын қарас-
тыратын болсақ, онда 
ол проекция жазық-
тығында цилиндр 
беті 
нің табандары екі 
шеңбер күйінде көрсе-
тілген. 
148-суретте А
2
В
2
  
жəне  А
1
В
1
  түзу 
сызықтары фрон-
таль жəне гори 
зон-
таль проекция жа 
зық-
тықтарындағы көл-
денең немесе қиғаш 
орналасқан цилиндрдің 
B
i
A
O
O
1
П
i
1
П
1
B
i
/
1
O
1
O
1
i
1
A
2
П
2
i
2
B
2
A
/
2
O
2
O
2
С
1
С

155
жасалушысы болып табылады. Ал, цилиндрдің айналу осі  i
2
 жəне i
1
  нүктелі 
үзбе сызықтары арқылы берілген. 
Егер қиғаш цилиндр бетінде  С  нүктесі орналасқан болса, онда осы  С  
нүктесі арқылы беттің жасалушысына параллель түзу жүргізіп, цилиндрдің 
табанымен қиылыстырып, нүктенің горизонталь проекциясын табады 
(148-сурет).   
10.3. Конус пен цилиндрдің түзу сызықпен қиылысуы
Конус пен цилиндр кеңістікте орналасқан жалпы жағдайда түзу сызық пен 
«кіру» жəне «шығу» деп аталатын екі қиылысу нүктесі болады. 
Төменде тікбұрышты дөңгелек конус пен жалпы жағдайда орналасқан 
 
АВ  түзу сызығының фронталь жəне горизонталь проекция жазықтығындағы 
кескіндері берілген (149-сурет).
Қиылысу нүкте-
лерін табу үшін, 
кеңістікте орна-
ласқан жалпы жағ-
дайдағы түзуді 
конус табанына 
түсі реміз. Ол үшін 
фронталь проекция 
ж а з ы қ т ы ғ ы н д а ғ ы 
конус тың  S
2
  төбесі 
мен жалпы жағ-
дайдағы түзу сызық-
тың  А
2
    жəне  В
2
  
төбелерінен өтетін 
түзу жүргіземіз. Бұл 
түзулер  х  осімен 
қиылысып,  А
2
/
  
жəне В
2
/
  нүктелерін 
бере ді. 
Табылған 
осы нүктелерден 
горизонталь проек-
ция жазықтығында 
байланыс сызық-
тарын жүргізіп 
қоямыз. Енді гори-
зонталь проек-
ция жазықтығында 
1
П
1
B
1
1
i
S
 
2
S
2
i
2
B
2
П
2
С
1
С
2
A
1
D
/
1
С
/
1
D
2
D
/
2
B
/
2
A
/
1
A
/
1
B

156
конустың  S
1
  төбесі мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың  А
1
    жəне  В
1
  
төбелерінен өтетін түзу жүргіземіз. Ал, бұл түзулер  байланыс сызықтарымен 
қиылысып,  А
1
/
    жəне  В
1
/
  нүктелерін береді. Осы нүктелерді өзара қоссақ, 
онда бұл түзу конус табанын  С
1
/
    жəне  D
1
/
  нүктелерінде қиып өтеді. Енді 
осы нүктелерді конустың  S
1
  төбесімен қосамыз. Бұл түзулер жалпы 
жағдайдағы  А
1
В
1 
 түзу сызығын  С
1
    жəне  D
1
  нүктелерінде қиып өтеді. 
Осы табылған нүктелерден байланыс сызығының көмегімен фронталь 
проекция жазықтығында орналасқан  АВ  түзуімен қиылыстырып,  С
2
  жəне 
D
2
  нүктелерін табамыз. Жалпы жағдайдағы түзу сызықтың горизонталь 
проекция жазықтығындағы  С
1
    жəне  D
1
  нүктелерінің аралары конус ішіне 
кіріп тұрғандықтан көрінбейтін сызықпен сызылады. Ал, фронталь проекция 
жазықтығындағы  А
2
В
2
  түзу сызығының проекциясында С
2
    жəне  D
2
  
нүктелерінің аралары көрінбейді. 
1
П
1
B
i
/
1
O
1
O
1
i
1
A
2
П
2
i
2
B
2
A
/
2
O
2
O
2
С
1
С
/
1
С
1
D
/
1
D
2
D
/
2
A
/
2
В
/
1
A
/
1
В

157
Енді қиғашбұрышты дөңгелек цилиндр мен жалпы жағдайда орналасқан  
АВ  түзу сызығының қиылысу нүктелерін қарастырайық (150-сурет)
Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы  АВ  түзуімен цилиндрдің 
қиылысу нүктелерін табу үшін, алдымен  АВ  түзу сызығын цилиндрдің 
табанына түсіреміз. Жалпы жағдайдағы түзу сызықтың  А
2
  жəне В
2
  төбелерінен 
цилиндрдің жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз жəне бұл түзулер  х  
осімен қиылысып,  А
2
/
  жəне В
2
/
  нүктелерін береді. Осы нүктелерден байланыс 
сызықтарын жүргіземіз. Енді осындай жолмен горизонталь проекция 
жазықтығындағы түзу сызықтың  А
1
    жəне  В
1
  төбелерінен цилиндрдің 
жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз. Бұл түзулер алдында жүргізген 
байланыс сызықтарымен  А
1
/
    жəне  В
1
/
  нүктелерінде қиылысады. Осы 
нүктелерді өзара қосып,  А
1
/
В
1
/
  түзуін табамыз. Ал, бұл түзу цилиндр табанын  
С
1
/
    жəне  D
1
/
  нүктелерінде қиып өтеді. Табылған нүктелерден цилиндрдің 
жасалушысына параллель түзулер жүргіземіз. Бұл түзулер берілген  А
1
В
1 
 түзу 
сызығымен  С
1
  жəне D
1
  нүктелерінде қиылысады. С
1
  жəне D
1
  нүктелерін 
байланыс сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығында 
орналасқан  АВ  түзуімен қиылыстырып,  С
2
  жəне D
2
  нүктелерін табамыз. 
Горизонталь проекция жазықтығындағы түзу сызықтың  С
1
    жəне  D
1
  
нүктелерінің аралары жəне фронталь проекция жазықтығындағы  А
2
В
2
  түзу 
сызығының проекциясында С
2
  жəне D
2
  нүктелерінің аралары цилиндр ішіне 
кіріп тұрғандықтан, көрінбейтін сызықпен сызылады. 
10.4. Конус пен цилиндр беттерінің жазықтықпен қиылысуы
Жоғарыдағы «Қисық сызықтар» тақырыбынан белгілі болғандай, егер 
тікбұрышты дөңгелек конусты кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы 
жазықтық қиып өтетін болса, онда конустың қималары эллипс (егер қиюшы 
жазықтық жалпы жағдайда орналасса), парабола (егер қиюшы жазықтық 
жасалушыға параллель орналасса), гипербола (егер қиюшы жазықтық айналу 
осіне параллель орналасса), шеңбер (егер қиюшы жазықтық бет табанына 
параллель орналасса) болады. Ал, егер тікбұрышты дөңгелек цилиндрді 
кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық қиып өтетін болса, онда 
цилиндрдің қимасы эллипс немесе шеңбер болады.
Енді осы айтқандарды ескере отырып, бірнеше мысалдар қарастырайық 
(151-сурет). Алғашқы мысал ретінде қиғаш бұрышты дөңгелек конус пен дербес 
жағдайда орналасқан  Р  жазықтығын алайық. Конус пен  Р  жазықтығының 
қиылысу сызығын табу үшін, фронталь проекция жазықтығындағы конус пен 
жазықтықтың  А, В  жəне  С  қиылысу нүктелерін анықтаймыз. Конустың  S
2
  
төбесі арқылы осы нүктелерден түзу сызықтар жүргіземіз. Бұл түзулер дөңгелек 
конустың табанын қиған нүктелерден байланыс сызықтарын жүргіземіз. 
Жүргізілген байланыс сызықтары горизонталь проекция жазықтығында 

158
конустың табанымен қиы-
лысып, бірнеше нүктелерді 
береді. Енді осы нүктелерді 
горизонталь проекция 
жазықтығында конустың 
 
S
1
  төбесімен қосамыз. 
Бұл жүргізілген сызықтар 
жоғарыда табылған нүкте-
лерден түскен байланыс 
сызығымен қиылысып,  А
1
, 
В
1
    жəне    С
1
  нүктелерін 
бере ді. 
Егер табылған нүктелерді 
өзара қосатын болсақ, онда 
қиғашбұрышты дөңгелек 
конус пен  Р  жазықтығының 
қиылысу сызығын табамыз. 
Келесі мысал ретінде 
тікбұрышты дөңгелек 
цилиндр мен кеңістікте 
орналасқан жалпы жағ-
дайдағы  Р  жазықтығын 
алайық (152-сурет).
Тікбұрышты дөң 
ге лек 
цилиндр мен  Р  жазық-
тығының қиылысу сызы-
ғын табу үшін, горизонталь проекция жазықтығында фронталь проекция 
жазықтығына проекцияланушы қиюшы жазықтықтар жүргіземіз. Горизонталь 
проекция жазықтығында жоғарғы жəне төменгі табандары беттесіп 
жатқандықтан, цилиндрдің қимасы да цилиндр табанымен беттесіп кетеді. 
Мысалда осы қиманың төрт  А,  В,  С  жəне  D  нүктелерін ғана алып көрсеткен. 
Конус пен жазықтықтың  А, В  жəне  С  қиылысу нүктелерін анық-таймыз. 
Қиюшы жазықтықтар  Р  жазықтығының горизонталь ізімен қиылысқан 
нүктелерінен байланыс сызығымен фронталь проекциясына көтеріп,  Р 
 
жазықтығының фронталь ізіне параллель сызықтар болып сызылады. Бұл 
түзулерді дөңгелек конустың табанын қиған нүктелерден байланыс сызықтары 
арқылы фронталь проекция жазықтығына көтереміз. 
Егер табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, онда тікбұрышты дөңгелек 
цилиндр мен жалпы жағдайда орналасқан  Р  жазықтығының қиылысу 
сызығын  табамыз. 
1
П
1
B
1
S
i
1
O
2
B
2
O
2
S
2
П
2
i
1
i
2
С
1
С
2
А
1
С
1
А
2
Р
1
Р
2
6
2
7

159
10.5. Беттердің өзара қиылысуы
Беттердің өзара қиылысу сызығын анықтаудың сызба геометрияда көптеген 
əдістері бар. Осындай көп əдістердің ішінде кеңінен тараған жəне қолайлы 
түрлері  қиюшы жазықтықтар жəне концентрлі шеңберлер əдістері болып 
табылады. 
Қиюшы жазықтықтар əдісін пайдаланып, екі айналу беттің қиылысу 
сызығын анықтау есебіне мысал қарастырайық (153-сурет).  
Кеңістікте орналасқан тікбұрышты дөңгелек цилиндр мен сфера (шар) 
айналу беттерінің фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарындағы 
проекциялары берілген. Айналу беттерінің осьтері бір нүктеде қиылыспаған 
жағдайда, екі беттің қиылысу сызығын қиюшы жазықтықтар əдісі арқылы 
шешеді.
Қиюшы жазықтықтар əдісін пайдалану үшін, фронталь немесе горизонталь 
1
П
1
B
1
O
1
i
2
П
2
i
2
A
2
B
2
С
1
A
1
С
2
Р
1
Р
1
6
1
7
1
:
1
D
2
D
2
B
1
B

160
1
П
1
B
1
O
1
i
2
П
2
i
2
A
2
B
/
1
О
1
С
2
6
2
7
2
С
2
D
1
D
1
A
1
B
1
С
1
D
/
2
R
//
2
R
/
1
R
//
1
R
2
О
2
Е
2
Е
1
Е
1
Е
2
D
проекция жазықтықтарында бірнеше параллель қиюшы жазықтықтар 
алынады. Бұл алған қиюшы жазықтықтар міндетті түрде екі қиылысып жатқан 
бетке ортақ болуы керек. Біздің мысалымызда горизонталь проекция жазық-
тығына параллель  
Σ
  жəне  Т  жазықтықтарын алдық. Бұл жазықтықтар 
фронталь проекция жазықтығында сфераны радиусы  R
2
/
  жəне  R
2
/
  болатын 
аралықта қиып өтеді. Ал, горизонталь проекция жазықтығында радиусы 
 
R
1
/
  жəне  R
1
/
  болатын шеңбер жүргіземіз. Жүргізілген екі шеңбер цилиндр 
табанымен төрт нүктеде қиылысады. Енді осы нүктелерден байланыс 
сызығының көмегімен фронталь проекция жазықтығына жүргізіп, параллель  
Σ
  жəне  Т  жазықтықтар бойынан  D  жəне  E  нүктелерін тауып аламыз. 
Фронталь проекция жазықтығында цилиндр мен сфера  А
2
  жəне  В
2
  нүкте-

161
лерінде қиылысса, горизонталь проекция жазықтығында  С
1
  нүктелерінде 
қиылысады. Бұл нүктелерді характерлі нүктелер деп атайды. 
Егер барлық табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, онда біз кеңістікте 
орналасқан тікбұрышты дөңгелек цилиндр мен сфераның қиылысу сызығын 
табамыз. 
Келесі мысал ретінде, қиылған тікбұрышты дөңгелек конус пен айналу осі 
горизонталь проекция жазықтығына параллель орналасқан айналу бетінің 
қиылысу сызығын қарастырайық (154-сурет).  
Егер айналу беттерінің фронталь жəне горизонталь проекция 
жазықтықтарындағы проекцияларында айналу осьтері бір нүктеде қиылысқан 
болса, онда мұндай жағдайда екі беттің қиылысу сызығын концентрлік 
сфералар (шеңберлер) əдістері арқылы анықтайды.
154-
сурет

162
Радиусы  R
min
  болатын алғы шеңберді айналу осі горизонталь проекция 
жазықтығына параллель орналасқан айналмалы бетті жанап өтетіндей етіп 
сызамыз. Жанап сызылған шеңбер екі нүктені береді жəне осы нүктелерді 
қосып, түзу жүргіземіз. Бұл сызылған шеңбер қиылған тікбұрышты дөңгелек 
конусты  х  осіне параллель болатын екі нүктеде қиып өтеді. Осы нүктелерді 
өзара қосып, түзу сызық жүргіземіз. Горизонталь жүргізілген бұл түзу 
жанама нүктелерін қосқан түзумен  С
2
  жəне  D
2
  нүктелерінде қиылысады. 
Енді радиусы  R
max
  болатын шеңберді айналу осі горизонталь проекция 
жазықтығына параллель орналасқан айналмалы бет пен қиылған тікбұрышты 
дөңгелек конустың қиылысқан нүктелерінен өтетіндей етіп сызамыз. 
Жоғарыда көрсетілген жолмен  А
2
    жəне    В
2
  нүктелерін табамыз. Келесі 
қиылысу нүктесін табу үшін,  радиусы  R  болатын шеңбер жүргіземіз. Бұл 
сызылған шеңбер айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель 
орналасқан айналмалы бетті вертикаль сызық жасап, ал қиылған тікбұрышты 
дөңгелек конусты горизонталь сызық жасап қияды. Енді осы сызықтар өзара 
қиылысып,  1
2
=1
2
/
  жəне  2
2
=2
2
/
  нүктелерін береді.
Егер  табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, онда қиылған тікбұрышты  
дөңгелек конус пен айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель 
орналасқан айналмалы беттің фронталь проекция жазықтығындағы қиылысу 
сызығын табамыз. 
Енді горизонталь проекция жазықтығындағы қиылысу сызығын табу 
үшін, алдымен айналу осі горизонталь проекция жазықтығына параллель 
орналасқан айналмалы беттің айналу осіне  А
2
    жəне    В
2
  нүктелерінен 
байланыс сызығының көмегімен түсіріп,  А
1
  жəне  В
1
  нүктелерін табамыз. Ал  
С
1
  жəне  D
1
  нүктелерін табу үшін, радиусы қиылған тікбұрышты дөңгелек 
конусты  х  осіне параллель болатын түзу сызығы болатын шеңберді  С
2
  жəне  
D
2
  нүктелерінен түскен байланыс сызығымен қиылыстырамыз. Осындай 
жолмен  1
1
=1
1
/
  жəне  2
1
=2
1
/
  нүктелерін тауып аламыз. 
Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда айналу осі горизонталь 
проекция жазықтығына параллель орналасқан айналмалы бет пен қиылған 
тік бұрышты дөңгелек конустың горизонталь проекция жазықтығындағы 
қиылысу сызығын табамыз. 
Ескерту, сызбада қиылысу нүктелері қызыл, ал көмекші нүктелер көк түсті 
бояумен боялған.

жүктеу/скачать 5,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: