Список использованных источников

37 
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СО СМЕЩЕНИЕМ 
Оспанов К.Н. 
 Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан 
E-mail: ospanov_kn@enu.kz  
 
Рассмотрим уравнение  
 
(1)
,
=
)
(
)
(
:=
0
f
y
x
q
y
x
r
y
y
L





 
где 
)
,
(
=


R
x
, 
)
(
=
2
2
R
L
L
f

. 
Решением уравнения (1) назовем функцию 
y
, если существует последовательность 

1
=
}
{
n
n
y
 
из  множества 
)
(
(2)
0
R
C
  дважды  непрерывно  дифференцируемых  и  финитных  функций,  такая,  что 
0,
2

 P
P
y
y
n
 
0
2
0

 P
P
f
y
L
n
 при 
,


n
 где 
2
P
P

 - норма 
.
2
L
 
В настоящей работе обсуждаются условия: 
а) замыкаемости в 
2
L
 оператора  
qy
y
r
y
y
L





:=
0
, 
 определенного на множестве 
)
(
(2)
0
R
C
; 
b) существования и единственности решения уравнения (1). 
Пусть 
g
 и 
h
 - некоторые непрерывные на 
R
 функции. Положим 
 
 
0),
>
(
=
)
(
)
,
(
2
)
(0,
2
,
t
h
g
t
t
L
t
L
h
g

P
P
P
P

 
 
 
0),
<
(
=
)
(
)
,
(
2
,0)
(
2
,






L
L
h
g
h
g
P
P
P
P
 
 
 
.
)
(
sup
),
(
sup
max
=
,
0
<
,
0
>
,











h
g
h
g
t
h
g
t
 
Справедливо следующее утверждение. 
 Теорема. Пусть 
r
 - непрерывно дифференцируемая, а 
q
 - непрерывная комплекснозначные 
функции, такие, что  
 
2,
<
<
1
1,
|)
(|




r
Im
r
Re
 
 
 


.
<
,
max
,
1,

r
Re
q
r
Re


 
Тогда для любого 
2
L
f

 уравнение (1) имеет, притом единственное решение. 
Когда  коэффициент 
r
  не  ограничен,  уравнение (1) отличается  от  уравнения  Штурма-
Лиувилля. Случай 
0
=
q
 изучался в [1]. 
Работа  частично  поддержана  проектом 5132/ГФ4  и  программой 0085/ПЦФ  Комитета  науки 
Министерства образования и науки Республики Казахстан. 
 
Список использованных источников 
1. 
Ospanov K.N., Akhmetkaliyeva R.D
. Separation and the existence theorem for second order nonlinear 
differential equation // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. - 2012. - Vol. 66. - P. 1-12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

38 
РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ  
Псху А.В. 
Институт прикладной математики и автоматизации,  
Нальчик Россия  
E-mail: pskhu@list.ru 
 
Рассмотрим уравнение 
, 
 
где 
∈  , 
∈ , 
, … ,
∈ Ω, Ω
0,
…
0,
⊂
, 
 
1
Γ
  
 
–  дробный  интеграл  Римана-Лиувилля  порядка 
  по  переменной 
 [1]; 
 – заданная 
интегрируемая функция, 
 – искомое решение. 
Рассматриваемое  уравнение  является  нагруженным  интегральным  уравнением  Вольтерра 
второго рода с частными дробными интегралами.  
В случае одной независимой переменной одномерное уравнение Абеля второго рода решено в 
работе [2].  
Многомерное  интегральное  уравнения  Абеля  по  области  специального  вида  исследовалось  в 
работе [3].  
Относительно  теории  нагруженных  уравнений,  а  также  теории  интегральных  уравнений  с 
частными интегралами укажем монографии [4], [5] и [6]. 
К линейным уравнениям Вольтерра вида (1) приводят, в частности, реализация метода функции 
Римана для гиперболических уравнений [7]. 
В  данной  работе  строится  явное  представление  решения  исследуемого  уравнения  в  терминах 
специальной функции Райта.  
 
Список использованных источников 
1. 
Нахушев А.М.
 Дробное исчисление и его применение. – М: Физматлит, 2003. 272 с. 
2. 
Hille E., Tamarkin J.D.
 On the Theory of Linear Integral Equations // The Annals of Mathematics, Second 
Series, 1930. Vol 31, No 3. P. 479-528. 
3. 
Raina R.K., Srivastava H.M., Kilbas A.A., Saigo M
. Solvability of some Abel-type integral equations involving 
the Gauss hypergeometric function as kernels in the space of summable functions // ANZIAM J., 2001. Vol 43, No 2. P. 
291-320. 
4. 
Нахушев А.М
. Нагруженные уравнения. – М.: Наука, 2012. 232 с. 
5. 
Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И
.  Нагруженные  уравнения  как  возмущения  дифференциальных 
уравнений. – Алматы: FЫЛЫМ, 2010. 334 с. 
6. 
Калитвин А.С., Калитвин В.А
. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными 
интегралами. – Липецк: Изд-во ЛГПУ, 2006. 177 с. 
7. 
Бицадзе А.В.
 Уравнения математической физики. – М: Наука, 1976. 296 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

39 
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ НЕИЗВЕСТНОЙ ГРАНИЦЫ ЗОНЫ МАЛОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ В 
КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
Султанов М.А., Баканов Г.Б., Косанова С.А. 
Международный казахско-турецкий университет имени Х.А.Ясави, Туркестан, Казахстан 
E-mail: smurat-59@mail.ru 
 
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности: 
 
  
 
  
 




2
2
2
0
0
0
0
,
,
,
\ ,
0,
0,
lim
, ,
,
0, ,
,
x
y
x y
P
P
f t
x x
y y
x y
R
t
t
P
P t x y
P
P
x y
P
n






  












                              
(1) 
 
где 
    односвязанная  область  в  плоскости  с  гладкой  границей     , 
n


единичный  вектор 
нормали к 
  направленный внутрь   , 


2
0
0
0
,
\ ,
x y
R
P


  фиксированная точка. 
Пусть решение задачи (1) 


, ,
P t x y
 известно при всех 
0
t
 для точек 

 

1
1
,
,...,
,
n
n
x y
x y
из
2
\
R
  .  
Обратная задача.  
По функциям 
  



1
1
,
, ,
,...,
, ,
n
n
f t P t x y
P t x y
 найти границу области (контур) 
 . 
Такие  обратные  задачи  возникает  при  поиске  полезных  ископаемых  и  их  скоплений    по 
измерениям  давления  в  работающих  скважинах[1].  Зонами  малой  проницаемости  называется  такие 
области пласта, где бурение новых скважин нецелесообразно или это требует значительных затрат. 
При этом считается, что давление не изменяется поперек пласта, а проницаемости в нем постоянна, 
за  исключением  области 
  полной непроницаемости. В точках с координатами  

 

0
0
,
,...,
,
n
n
x y
x y
 
расположены 
1
n
   скважины,  и  будем  считать,  что  в  скважине 


0
0
,
x y
  создается    давление,  закон 
изменения  которой  задается  функцией
 
f t
.  Предполагается,  что  перед  началом  работы скважины 


0
0
,
x y
и  на  достаточно  удаленном  расстоянии  от  расматриваемой  области 
   давление  в  пласте 
будем считать постоянной и оно равно 
0
P
. В этом случае давление 


, , y
P t x
 в точке  
 
,
x y
 в момент 
времени  t  вне области непроницаемости будет решением задачи (1). 
Применяя  методы  теории  потенциала  и  граничных  интегральных  уравнений[2-3]  обратная 
задача сведена и интегральному уравнению относительно неизвестной границы области и построен 
итерационный численный метод его восстановления.  
Работа проводилось при финансовой поддержке Министерство образования и науки Республики 
Казахстан, проект 0115PK00681. 
 
Список использованных источников 
1.
  Дмитриев В.И
. Обратные задачи геофизики. – М.: МАКС Пресс, 2012. 
2.
  Тихонов А.Н., Самарский А.А
. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1973. 
3.
  Колтон Д., Кресс Р
. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. - М.: Мир – 1987. 
 
 
ОБ ИЗОЛИРОВАННОМ РЕШЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИС 
ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
Тлеулесова А. 
Евразийскийнациональный  университет имени Л.Н.Гумилева,, Казахстан 
E-mail: agila_72@ mail.ru 
 
Системы  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  с  импульсным  воздействиями  часто 
встречаются в задачах приложения.На отрезке [0,T] рассматривается  периодическая краевая задача 
для нелинейных  систем обыкновенных дифференциальных уравнений импульсным воздействием 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

40 
),
,
( x
t
f
dt
dx 


,
,...,
,
\
]
,
0
[
2
1
m
T
t




,
n
R
x

,
...
0
1
1
0
T
m
m











        (1) 
),
(
)
0
(
T
x
x

   
 
 
 
 
 
(2) 
,
)
(
lim
)
0
(
)
0
(
0












t
x
J
x
x
i
t
i
i
i



 
,
,
1 m
i

   (3) 
 
где 
,
]
,
0
[\
:
n
n
R
R
T
f


кусочно-непрерывная  вектор-функция  с  возможными  разрывами  первого 
рода в точках
,
i
t


.
,
1 m
i

.
),
(x
J
i
,
,
1 m
i

кусочно-непрерывные   вектор-функции.  
Вопросы  разрешимости  и  построения  приближенных  методов  нахождения  решения  задачи 
(1)-(3)  рассмотрены  во  многих  работах[1-2].Для  нелинейных  краевых  задач  свойственно 
существование нескольких решений. Поэтому изолированность решений имеет важное значения для 
приложений. Существование изолированного решения имеет такую же смысл, как единственность в 
линейных  задачах.  При  построений  приближенных  методов  нахождения  решения  и  при 
моделирований  реальных  процессов,  как  правило,  требуется  непрерывная  зависимость  решения  от 
изменений  правых  частей  дифференциальных  уравнений  и  граничных  условий.  Однако 
изолированное  решение,  рассматриваемое  как  изолированный  элемент  множество  решений  не 
обладает этим свойством.  
Взяв 
,
0
0


 
,
1
T
m



произведем разбиение  





1
1
1
,
,
,
0




m
r
r
r
T


  так  чтобы  точки 
скачка являлись точками разбиения. Через 
)
(t
x
r
 
 обозначим сужение функции 
)
(t
x
  на

r
ый 
интервал 


.
,
1
r
r
t




Значение функции  
)
(t
x
r
 в точках 
1


r
t

 обозначим через 
r

 и на каждом 
интервале  


.
,
1
r
r
t




,  произведя  замену 
r
r
r
t
x
t
u



)
(
)
(
получим  эквивалентную  задачу  с 
параметрами 
),
,
(



r
r
u
t
f
dt
du


,
,
1
r
r
t




,
0
)
(
1


r
r
u

,
1
,
1

 m
r
                           (4) 
0
)
(
lim
1
0
1
1







t
u
m
T
t
m


,   
 
 
 
             (5) 
,
0
)
(
lim
0
1






 





t
u
J
i
t
i
i
i
i
i




 
.
,
1 m
i

. 
 
 
 
(6) 
Применение м.п.[2]  к исследованию периодической краевой задачи для систем нелинейных 
обыкновенных  дифференциальных  уравнений  с  импульсным  воздействием  начинается  с  выбора 
начального приближения по параметру, т.е.- 
.
)
0
(

 В общем случае, когда нет информации об области 
принадлежности  решения  рассматриваемой  краевой  задачи,  основываясь  на  начальных  условиях   
,
0
)
(
1


r
r
u

,
1
,
1

 m
r
компоненты  параметра  предлагается  определить  из  следующей  системы 
уравнений 
,
0
)
0
,
(
~
,




Q
.
)
1
(


m
n
R

   
 
 
 
(7) 
Пусть 
)
~
,
(
0


f
Z

  решение  уравнения (7) и 


.
],
[
],
[
,
)
0
(
)
0
(
W
t
V
t
u



  Таким  образом  
устанавливаем  оценку  разности  между 
)
0
(

-решением (7) и  параметром 
*

,  компоненты  которого 
составлены из значений решения задачи (1)-(3) в точках разбиения интервала [0,T], а также получено 
необходимые и достаточные условия существования изолированного решения исследуемой задачи. 
 
Список использованных источников 
1.
  Джумабаев Д.С., Темешова С.М
. Необходимые и достаточные условия существования изолированного 
решения нелинейной двухточечной краевой задачи. //Нелінійні коливання, 2012, т. 15, №4. 
2.
  Джумабаев  Д.С.,  Тлеулесова  А.Б
.  О  разрешимости  периодической  краевой  задачи  для  систем 
нелинейных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Изв. МОН РК НАН Р. Серия физико-
математическа.-Алматы: НАН РК, 2006. - №1. - С.3-7. 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

41 
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО 
ПОРЯДКА МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА 
Шаймардан Р. 
(Научный руководитель — к.ф.-м.н., доцент кафедры МАиДУ Орумбаева Н.Т.) 
Карагандинский государственный университет имени академика Е.А.Букетова 
E-mail: shaymardan.rauan@mail.ru 
 
Пусть задана задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка: 
),
(
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
c
y
x
b
y
x
a





                                                    (1) 
,
)
0
(
1
g
y

      
,
)
0
(
2
g
y


    
.
)
0
(
3
g
y


                                        (2) 
Неизвестной  является функция 
)
(x
y
.  Сведем  уравнение (1) с  начальными  условиями (2) к системе 
трех  дифференциальных  уравнений  первого  порядка.  Для  этого  введем  дополнительную  функцию 
)
(
)
(
x
y
x
v


, 
)
(
)
(
x
y
x
w


. Подставляя ее в задачу (1), (2), получим 
),
(
)
(
)
(
)
(
x
f
y
x
c
w
x
b
v
x
a




      
3
)
0
(
g
v

, 
,
0


 v
w
     
,
)
0
(
2
g
w

 
,
0


 w
y
       
,
)
0
(
1
g
y

 
Для нахождения численного решения системы используем метод Эйлера. 
 
Пример. Найти приближенное значение решения уравнения  
,
)
8
5
(
)
1
3
(
2
2
x
x
e
x
e
x
xy
y
x
y








   
,
2
)
0
(

y
      
,
3
)
0
(


y
    
.
5
)
0
(


y
 
Введем  функции   
)
(
)
(
x
y
x
v


, 
)
(
)
(
x
y
x
w


.  Тогда  получим  систему  уравнений  первого 
порядка  
),
,
,
(
w
y
x
F
v


     
5
)
0
(

v
,       
,
0


 v
w
       
,
3
)
0
(

w
       
,
0


 w
y
       
2
)
0
(

y
. 
где 
xy
xw
e
x
e
x
w
y
x
F
x
x






2
)
8
5
(
)
1
3
(
)
,
,
(
2
.  Разделим  отрезок 
]
5
.
0
;
0
[
  на 10 частей. 
Следовательно, 
05
.
0

h
. Значения 
1

k
v
, 
1

k
w
, 
1

k
y
, 
10
,
0

k
  будем искать используя формулы: 
,
0
0

x
        
,
5
0

v
       
,
3
0

w
       
,
2
0

y
  
h
w
y
x
F
v
v



)
,
,
(
0
0
0
0
1
,       
h
v
w
w



0
0
1
,      
h
w
y
y



0
0
1
, 
h
w
y
x
F
v
v



)
,
,
(
1
1
1
1
2
,       
h
v
w
w



1
1
2
,      
h
w
y
y



1
1
2
, 
…             …             … 
h
w
y
x
F
v
v
k
k
k
k
k







)
,
,
(
1
1
1
1
,       
h
v
w
w
k
k
k





1
1
,      
h
w
y
y
k
k
k





1
1
, 
В процессе решения составляем таблицу: 
 
k
 
k
x

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: