Халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 9-10 желтоқсан

24 
ПРЕДЕЛЬНОЕ ПРИ 


t
 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НАГРУЖЕННЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕГО СВОЙСТВО 
1,2
Джумабаев Д.С., 
1,3
Темешева С.М. 
1
Институт математики и математического моделирования МОН РК, 
2
Международный университет информационных технологий, 
3
Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан 
E-mail: dzhumabaev@list.ru, nur15@mail.ru 
 
На 
∞, ∞   рассматривается  нелинейное  нагруженное  обыкновенное  дифференциальное 
уравнение  
,
,
,
, … ,
, … ,
,    ∈
, || ||
max| |,  1  
где 
:
→
, 
:
→
 непрерывны, 
m
m
m





<
...
<
<
0
=
<
...
<
<
1
0
1



 
Вопросы,  связанные  с  существованием  и  построением  приближенных  методов  нахождения 
решений  уравнения (1), удовлетворяющих  заданным  условиям  на  бесконечности,  рассмотрены 
многими авторами [1–5].  
Применяются  обозначения: 
,
 – пространство  непрерывных  и  ограниченных  на 
⊆  
функций 
: →
, 
|| ||
sup
∈
||
||; 
,
 – множество непрерывных на    функций;  
,
∈
: ‖
‖
; 
, ,
∈
,
:
∈
,
, ‖
‖
, 
где 
∈
,
; 
, ,
, : ∈ , ‖
‖
, 
, ,
,
, … ,
:  ∈ , ‖
‖
,
,
. 
При  изучении  поведения  решений  при 
→ ∞  оказывается  полезным  использование  свойств 
нагруженного дифференциального уравнения на бесконечности.  
Определение. Непрерывно дифференцируемая на 
 функция 
 называется предельным при 
→ ∞ решением уравнения (1), если   
lim
→
,
,
,
, … ,
, … ,
0. 
Это определение является обобщением определения [6, c. 15] для нелинейного обыкновенного 
дифференциального уравнения 
Следующая теорема устанавливает притягивающее свойство предельного при 
→ ∞ решения.  
Теорема. 1) Пусть  функция 
,   имеет  равномерно  непрерывную  производную  по    в 
,
, ,  где 
 - предельное  при 
→ ∞  решение  уравнения (1), и  линеаризованное 
уравнение 
,
, ∈
,  э.д.  на 
. 2) Для  всех 
,
, … ,
∈
,
,   имеет 
место  предельное  соотношение 
→
‖
,
, … ,
‖
0.  3) Для  всех 
,
, … ,
∈
0 0 ,
,
 имеет место предельные соотношения 
→ ∞ 0 ,
,…,
′  0,
,
. Тогда 
существуют числа 
0,  ∈ 0, , при которых в 
,
, ∞ ,
 уравнение (1) имеет хотя бы 
одно  решение,  и  для  любого 
  (решения  уравнения (1), принадлежащего 
, , ∞ ,
,  где 
) имеет место предельное соотношение 
lim
→
‖
‖
0.  
 
Список использованных источников 
1. 
Далецкий  Ю.А.,  Крейн  М.Г. 
Устойчивость  решений  дифференциальных  уравнений  в  банаховом 
пространстве. М.: Наука, 1970.  
2. 
Конюхова Н.Б.
 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1970. - Т. 10, № 5. - С. 1150-1163.  
3. 
Конюхова Н.Б
. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1974. - Т. 14, № 5. - С. 1221-1231.  
4. 
Мухамадиев Э
. // Матем. заметки. - 1981. - Т. 30, Вып. 3. - С. 433 - 460.  
5. 
Абрамов А.А., Конюхова Н.Б., Балла К
. // Comput. Math. Banach Center Publ. Warsaw: PWN Polish Scient. 
Pubis. - 1984. - V. 13. - P. 319-351. 
6. 
Джумабаев Д.С
. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.–1992. – Т. 32, №1. – С. 13-29. 
 
 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

25 
О КЛАССАХ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ  
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ 
Ергалиев М.
1
, Токешева А.С.
2 
1
Институт математики и математического моделирования КН МОН РК, Алматы. 
1
Карагандинский государственный университет им. академика Е. А. Букетова, Караганда,  
E-mail: tokesheva.a@mail.ru 
 
Рассматривается первая краевая задача теплопроводности в вырождающейся угловой области: 
 
T
t
mt
x
x
u
a
t
u
,
0
,
0
;
0
2
2
2









 ,                                                (1) 
 
0
~
;
0
0










t
u
k
x
u
x
u
mt
x
x
,                                                 (2)
 
где 
   


t
mt
u
t
x
u
t
u
mt
x
,
,
~



, 
k
 и  m  - заданы [1].  
Решение  уравнения  теплопроводности  может  быть  представлено  в  виде  суммы  тепловых 
потенциалов простого слоя [2]: 
 


 











t
t
a
m
x
t
t
a
x
d
e
t
a
d
e
t
a
t
x
u
0
4
0
)
(
4
,
)
(
1
)
(
1
,
2
2
2
2













                    
(3) 
где функции 
)
(
),
(
t
t


необходимо определить.  
Известно,  что  функция  определенная  данным  равенством  удовлетворяет  уравнению (1) для 
любых     
   
t
t


,
  для  которых  существуют  интегралы  в (3). Удовлетворяя  граничные  условия  и 
выполнив  необходимые  преобразования,  краевую  задачу (1)-(2) сведем  к  решению  интегрального 
уравнения: 
 
 


 
 
 
 
 














t
t
a
t
m
a
t
m
t
a
t
m
d
e
t
m
a
d
e
t
t
a
m
t
0
0
4
4
2
/
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
















 
 
 
 
.
0
1
1
0
4
2
2
2
2

























d
e
e
t
ka
t
t
a
t
m
a
t
m
                                            (4) 
Для  данного  псевдо-Вольтеррового  интегрального  уравнения    второго  рода  строится 
характеристическое, решение которого найдено в явном виде.  
Используя метод регуляризации решением характеристического уравнения сводим уравнение (4) 
к  интегральному  уравнения  Вольтерра  со  слабой  особенностью,   которое  решается  методом 
последовательных приближений.  
Показано, что поставленная однородная краевая задача имеет ненулевое решение.  
 Классы единственности для граничной задачи (1)-(2) определяются следующим утверждением. 
Теорема.  Классами  единственности  решения  для  граничной  задачи (1)-(2) являются 















1
2
/
2
/
1
2
/
1
;


t
x
G
L
, 
0


. 
 
Список использованных источников 
1.
  Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И
.  Нагруженные  уравнения  как  возмущения  дифференциальных 
уравнений. – Алматы: Ғылым, 2010. – 334 с. 
2.
  Тихонов А.Н., Самарский А.А
. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 734 с. 
 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

26 
ВНУТРЕННИЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ В ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЯХ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ 
Ескараева Б., Калимбетов Б.Т., Темирбеков М.А.  
Международный казахско-турецкий университет им.А. Ясави, Туркестан, Казахстан 
eskaraeva79@mail.ru, bkalimbetov@mail.ru, marat_temirbekov@mail.ru  
 
При асимптотическом анализе решений сингулярно возмущенных уравнений в случае кратного 
спектра необходимо: выделить алгоритм описания сингулярной зависимости от возмущения, описать 
алгоритм  определения  степеней  малого  параметра,  по  которым  можно  строить  аппроксимации 
решений,  и  точно  описать  пространство  решений,  соответствующих  кратному  спектру.  Построение 
асимптотического  решение  фундаментальной  системы  решений  линейной  дифференциальной 
системы  второго  порядка  в  случае  тождественнократных  корней  характеристического  уравнения 
впервые появились на печати в работе Я.Д. Тамаркина [1]. Дальнейшее развитие исследований задач 
с кратным спектром отражены в работах В.С. Тржидзинского [2], Н.И. Шкиля [3]. 
Все  перечисленные  исследования  были  посвящены  изучению  решений  в  основном  линейных 
однородных  дифференциальных  систем  и  изучалась  структура  или  одного  решения,  отвечающего 
точке спектра (корню характеристического уравнения), с определенными свойствами и описательно 
сообщалось,  как  построить  остальные  решения,  или  изучалась  структура  каждого  решения 
фундаментальной системы решений. И только в работах В.А. Треногина [4], А.Б. Васильевой и М.В. 
Фаминской [5], изучалась  более  общая  задача.  В.А.Треногиным  была  решена  задача  Коши  для 
неоднородной  системы  дифференциальных  уравнений  в  банаховом  пространстве  в  случае 
постоянного  неограниченного  оператора  типа  Фредгольма.  Им  был  разработан  метод  Вишика-
Люстерника [4] для  случая,  когда  нулевой  точке  спектра  отвечает  жорданова  цепочка  векторов,  и 
была  получена  асимптотика  погранслойного  типа,  т.е.  нерегуляризованная,  которая  в  обычном 
смысле сходиться не может.  
Метод 
регуляризации [6] для 
решения 
сингулярно 
возмущенной 
неоднородной 
дифференциальной  системы  с  кратным  спектром  в  условиях,  когда  предельный  оператор 
эквивалентен  жордановой  структуры,  разработан  А.Г.  Елисеевым [7]. Им  разработан  алгоритмы 
описания  пограничного  слоя  и  составления  уравнений  разветвления  для  определенных  степеней 
малого  параметра,  по  которым  следует  строить  аппроксимации  для  решения  исходной  задачи. 
Обобщая  результаты  работ [7], А.М.  Джураев  строить  специфическую  пространства  векторов 
экспоненциального  типа,  где  асимптотические  ряды  решения  задачи  в  условиях  кратного  спектра 
представляют собой сходящиеся ряды Лорана [8]. Некоторые случаи неограниченности предельного 
оператора (постоянный или переменный) изучены в работе А.А. Бободжанова [9].  
В работе производится регуляризация задачи, обосновывается асимптотический инвариантность 
интегрального  оператора  относительно  пространство  безрезонансных  решений,  доказываются 
нормальная  и  однозначная  разрешимость  итерационных  задач,  изучаются  появления  внутреннего 
пограничного  слоя  в  решениях  и  равномерная  сходимость  приближенных  решений  к  решению 
предельной системы.  
 
Список использованных источников 
1.
  Тамаркин  Я.Д.
  О  некоторых  общих  задачах  теории  обыкновенных  линейных  дифференциальных 
уравнений.- Петроград, 1917. - 308 с. 
2.
  Trjitzinsky W.S.
 Analytic theory of linear differential equations // Acta Math. 1934. V. 62. P. 167-226. 
3.
  Шкиль  Н.И.
  Асимптотическое  поведение  решений  линейных  систем  в  случае  кратных  корней 
характеристического уравнения // Укр. матем. журн. 1962. Т. 14, № 4. - С. 383-392. 
4.
  Треногин В.А
. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика //Успехи матем. 
наук. 1970. Т. 25. № 4. - С.123-156.  
5.
  Васильева  А.Б.,  Фаминская  М.В.
  Критический  случай  с  жордановой  цепочкой  в  сингулярно 
возмущенной нелинейной задаче // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, № 10. - С. 1806-1816. 
6.
  Ломов С.А
. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.- М.: Наука, 1981. - 400 с. 
7.
  Елисеев  А.Г.
  Теория  сингулярных  возмущений  для  систем  дифференциальных  уравнений  в  случае 
кратного спектра предельного оператора. I, II // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1984. Т. 48, № 6. - С. 992-1042. 
8.
  Джураев  А.М.
  Об  аналитических  решениях  сингулярно  возмущенных  задач  с  кратным  спектром // 
Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1987. Вып. 21. - С. 240-244. 
9.
  Бободжанов  А.А.,  Ломов  С.А.
  Асимптотическое  интегрирование  задачи  Коши  со  счетно-кратным 
спектром // Матем. заметки. 1984. Т. 35, Вып. 1. - С. 63-82. 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

27 
К ВОПРОСУ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 
ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЕНИЕМ АРГУМЕНТА 
Жанбусинова Б.Х., Космакова М.Т., Шаяхметова Б.К.,Шаукенова К.С. 
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
E-mail:bagdat.60@mail.ru 
 
Рассмотрим  дифференциальное уравнение первого порядка с отклонением аргумента 
)
(
)
(
)
(
t
q
t
x
t
p
dt
dx



                                                                              (1) 
где 
)
,
(
)
(
),
(


C
t
q
t
p
, 
)
(
)
(
t
p
t
p




, 
)
(
)
(
t
q
t
q




, 
0


. 
Для того, чтобы решение
)
(t
x
было периодическим необходимо и достаточно, чтобы 
)
(
)
0
(

x
x

. 
Найдем общее решение уравнения (1), сделав предварительно замену переменной 
s
t


, 
ds
dx
dt
dx


, 
тогда уравнение (1) примет вид 


















s
q
s
x
s
p
ds
dx
1
)
(
1
,  
общим решением которого будет 












































du
u
p
C
du
d
p
u
q
s
x
s
s
u
0
0
0
1
exp
1
exp
1
)
(








. 
В силу эквивалентных преобразований общее решение уравнения (1) имеет аналогичный вид 












































du
u
p
C
du
d
p
u
q
t
x
t
t
u
0
0
0
1
exp
1
exp
1
)
(








. 
В  дальнейшем  для  краткости  записи  будем    обозначать  через 














du
u
p
t
E
t
0
1
exp
)
(


.  
Используя условие периодичности решения 
)
(
)
0
(

x
x

, найдем постоянную  C : 
du
u
E
u
q
E
E
C
)
(
))
(
1
(
)
(
0














. 
Таким образом, периодическое решение уравнения (1) имеет вид  
)
(
)
(
))
(
1
(
)
(
)
(
1
)
(
0
0
1
t
E
du
u
E
u
q
E
E
du
u
E
u
q
t
x
t































.                          (2) 
Теорема 1. Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом вида (1): 
а) имеет единственное периодическое решение (2), если 
0
0








dt
t
p


; 
б) не имеет периодических решений, если  
0
0








dt
t
p


 и 
0
)
(
0








dt
t
E
t
q


; 
в) имеет множество периодических решений, если 
 
0
0








dt
t
p


 и 
0
)
(
0








dt
t
E
t
q


 
 
Список использованных источников 
1. 
Трикоми Ф
.
 
Численно-аналитические методы исследования периодических  решений.- Киев: Вища шк., 
1976 
2. 
Митропольский  Ю.А.,  Самойленко  А.М.,  Мартынюк  Д.И
.  Системы  эволюционных  уравнений  с 
периодическими и условно-периодическими коэффициентами.- Киев: Наук. Думка, 1984.
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

28 
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  
ОПРЕАТОРА НА КОМПАКТНЫХ ГРАФАХ 
Жанузакова Д.Т., Коныркулжаева М.Н. 
Казахский Национальный Университет имени Аль-Фараби, Алматы, Казахстан 
Е-mail: taupihovna@mail.ru, maralkulzha@gmail.com 
 
Задача  Штурма-Лиувилля  на  компактном  графа  возникает  при  расчете  электронных  колебании 
сложной молекулы в рамках модели свободных электронов [1]. В работе [2] изучена задача рассеяния 
на компактном графе, полученном присоединением бесконечных лучей. 
В  предполагаемом  докладе  изучается  аналитическая  природа  резольвенты  дифференциального 
оператора  на  компактном  графе.  Приведена  формула  резольвенты  и  выяснены  положения  ее 
полюсов.  
В заключенной части доклада доказана сверточное представление резольвенты. В случае отрезка 
сверточное представление резольвенты можно найти в работе [3]. 
 
Пусть задан какой-либо компактный граф, скажем граф, изображенный на рис.1. 
 
 
 
 
 
 
    Рис 1. 
Рассмотрим  семейство  симметричных  операторов 
,
1,2,3,4c  вещественно  локально 
ограниченными измеримыми потенциалами 
,
: ∈
,
. 
Далее  мы  изучаем  лишь  расширение,  задаваемое  следующей  системой  граничных  условий  в  узлах 
исходного графа: 
0
0 ,
0
0
0,
0,
0
,
0
,
0,
0
0 
С помощью заданного уравнения и граничных условии мы находим формулу резольвенты в виде:  
I

 
Находим 
F
A


,  где 
)
,
,
,
(
),
,
,
,
(
4
3
2
1
4
3
2
1







f
f
f
f
F
, 

A
матрица  размерности 
4
4

элементы, которого являются определители. В итоге общий вид формулы: 
 
dt
f
f
f
f
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
s


























4
3
2
1
0
44
34
24
14
43
33
23
13
42
32
22
12
41
31
21
11

. 
 

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: