Халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 9-10 желтоқсан

34 
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ 
e
D
-УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ НА ДИАГОНАЛИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ИХ МНОГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 
Кульжумиева А.А.
1
, Сартабанов Ж.А.
2 
1
Западно-Казахстанский государственный университет им. М. Утемисова, Уральск, Казахстан, 
2
Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, Актобе, Казахстан 
E-mail: aiman-80@mail.ru 
 
Рассматривается задача об интегрировании уравнений 
)
,
(
)
(
)
(
...
)
(
1
1
1
t
f
x
e
t
a
x
D
e
t
a
x
D
e
t
a
x
D
n
e
n
n
e
n
e














                           (1) 
с дифференциальным оператором 








m
j
j
e
t
D
1

 и коэффициентами постоянными на диагонали 

e
t

 
пространства 
переменных 
)
,...,
,
(
)
,
(
1
m
t
t
t



, 
где 
)
,...,
(
1
m
t
t
t

, 
)
1
,...,
1
(

e
, 
const
m


)
,...,
(
1



 – 
m
-векторы,  в  предположении 
)
,
(


-периодичности  и  гладкости 
коэффициентов и правой части уравнения (1): 
m
m
t
j
j
Z
k
R
C
t
a
k
t
a




),
(
)
(
)
(
)
1
(

,                                                     (2) 
m
m
t
Z
k
R
R
C
t
f
k
t
f






),
(
)
,
(
)
,
(
)
1
,
0
(
,





.                                           (3) 
Для  интегрирования  уравнения (1) предполагается,  что  корни 
)
(



j
j

, 
n
j
,
1

 
характеристического уравнения  
m
n
n
n
R
a
a











,
0
)
(
...
)
(
1
1
                                                      (4) 
удовлетворяют условиям: 
1
0
. Непрерывной дифференцируемости: 
)
(
)
(
)
1
(
m
j
R
C




, 
n
j
,
1

. 
2
0
. Периодичности с периодом 
)
,...
(
1
m




: 
)
(
)
(





j
j
k


, 
n
j
,
1

, 
m
R


, 
m
Z
k

. 
3
0
. Знакоопределенности 
)
(


j
 для каждого 
n
j
,
1

:  
a) либо 
0
)
(



j
, 
m
R



, 
б) либо 
0
)
(



j
, 
m
R



, 
в) либо 
0
)
(



j
, 
m
R



. 
4
0
. Разделенности: 
а) либо 
)
(
)
(




l
j

, 
m
R



, для 
l
j

, 
б) либо 
)
(
)
(




l
j

, 
m
R



, для 
l
j

, 
т.е. собственные значения имеют постоянную кратность для всех 
m
R


. 
Положив 
1
y
x

,     
2
y
x
D
e

,     , …,     
n
n
e
y
n
D

                                                        (5) 
систему, соответствующую уравнению (1) можно представить в виде 
)
,
(
)
(
t
y
e
t
A
y
D
e






,                                                                   (6) 
где 
)
(

A
 – сопровождающая матрица многочлена (4), 
))
,
(
,
0
,...,
0
(
)
,
(
t
f
t




 - вектор-функция. 
В  работе  в  соответствии  с  простыми  и  кратными  собственными  значениями,  включая 
комплексный случай, определены структуры решений системы (6) путем приведения ее к системам с 
жордановыми  нормальными  матрицами  в  обычном  смысле,  причем  даны  виды  матриц 
преобразования. 
Введены понятия частоты и периода, постоянных на диагонали 


e
t


. 
Указан  случай  отсутствия  многопериодического  решения  однородной  системы,  отличного  от 
нуля. Показано существование единственного многопериодического решения неоднородной системы 
(6), а, следовательно, уравнения (1). 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

35 
О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГУРСА 
Орумбаева Н.Т., Майканов Р.Н., Шаукенова К.С. 
Карагандинский государственный университет имени академика Е.А.Букетова 
E-mail: rauan_31.08.93@mail.ru,  OrumbayevaN@mail.ru  
 
На 
   
Y
X
,
0
,
0



 рассматривается краевая задача для нелинейного уравнения Гурса
  
,
)
,
(
2
2
y
z
x
z
y
x
f
y
x
z








                                                         (1) 
,
0
)
,
0
(
)
,
0
(




x
y
z
y
z
                                                           (2) 
,
)
,
(
)
0
,
(
x
Y
x
z
x
x
z





                                                            (3) 
где 
)
,
( y
x
f
 - заданная функция зависящая от 
x
 и 
y
. 
Уравнение Гурса было исследовано в работе Е.И.Ганжы [1].  
Для  нахождения  решения  задачи (1)-(3) произведем  дифференциальные  подстановки,  т.е. 
введем функции 
)
,
( y
x
u
u

 и 
)
,
( y
x
v
v

 по формулам: 
,
x
z
u



   
.
y
z
v



 Дифференцируя эти 
соотношения, соответственно,  по 
x
  и 
y
  исключая 
z
  с  помощью  уравнения (1), получим  систему 
,
)
,
( y
x
f
v
y
u 


     
.
)
,
( y
x
f
u
y
v 


  Исключая 
w
,  приходим  к линейному  уравнению  для функции 
:
)
,
( y
x
u
u

 
),
,
(
)
,
(
2
y
x
f
y
u
y
x
g
y
x
u







                                                (4) 
,
0
)
,
0
(

y
u
                                                                 (5) 
),
,
(
)
0
,
(
Y
x
u
x
u

                                                            (6) 
,
)
,
(
)
,
(
0
2


x
d
y
u
y
x
z


                                                        (7) 
где 
).
,
(
ln
2
1
)
,
(
y
x
f
x
y
x
g



  
В  работе [2], с  помощью  метода  параметризации [3], был  предложен  алгоритм  нахождения 
приближенного  решения  полупериодической  краевой  задачи  для  системы  гиперболических 
уравнений со смешанной производной и в терминах исходных данных установлены коэффициентные 
признаки однозначной разрешимости задачи (4)-(6).  
Таким  образом,  ввиду  эквивалентности  задач (1)-(3) и (4)-(7) следует  однозначная 
разрешимость краевой задачи для нелинейного уравнения Гурса (1)-(3). 
Работа  выполнена  при  поддержке  грантового  финансирования  научных  исследований 
Комитетом науки МОН РК (проект №1164/ГФ4 КН МОН РК). 
 
Список использованных источников 
1. 
Ганжа Е.И
. "Об одном аналоге преобразования Мутара для уравнения Гурса" Теор. и Матем. Физика, 
122:1 (2000), 50–57. 
2. 
Орумбаева  Н.Т.,  Сабитбекова  Г.О.
  разрешимости  периодическиой  краевой  задачи  для  системы 
квазилинейных  гиперболических  уравнений  со  смешанной  производной.  Вестник  Карагандинского 
университета. Серия Математика. 2012. – № 1(65). – С.65–75. 
3. 
Джумабаев  Д.С
.  Признаки  однозначной  разрешимости  линейной  краевой  задачи  для  обыкновенных 
дифференциальных  уравнений // Журнал  вычислительной  математики  и  математической  физики. 1989. Т.29, 
№1. С.50-66. 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

36 
О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ПОЛУПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 
Орумбаева Н.Т.
1
, Ильясова Р.
1
, Сабитбекова Г.
1 
1
Карагандинский государственный университет имени академика Е.А.Букетова 
2
Аркалыкский государственный педагогический институт имен И.Алтынсарина  
E-mail: OrumbayevaN@mail.ru
,
 gulmira_76_29@mail.ru 
 
На 
   
Y
X
,
0
,
0



  рассматривается  полупериодическая  краевая  задача  для  нелинейного 
дифференциального уравнения счастными производными
  
)
,
(
)
,
(
2
y
x
f
x
z
y
x
a
y
z
x
z
k
y
x
z















                                           (1) 
),
(
)
,
0
(
y
y
z


                                                                  (2) 
),
,
(
)
0
,
(
Y
x
z
x
z

                                                                (3) 
где 
const
k

, 
)
( y

-  заданная  функция  зависящая 
y
, 
)
,
( y
x
a
, 
)
,
( y
x
f
 - произвольные  функции 
зависящие  от 
x
  и 
y
.  В  работе G.B.Whitham [1] были  рассмотрены  уравнения  содержащие 
произвольные параметры вида 
y
z
m
x
z
s
y
z
x
z
k
y
x
z


















2
. 
Такие уравнения встречаются в некоторых задачах химической технологии и хромотографии. Замена 
kz
e
u

 в задаче (1)-(3) приводит к линейной полупериодической краевой задаче 
,
)
,
(
)
,
(
2
u
y
x
kf
y
u
y
x
a
y
x
u







                                                  (4) 
,
)
,
0
(
)
(
y
k
e
y
u


                                                             (5) 
),
,
(
)
0
,
(
Y
x
u
x
u

                                                            (6) 
).
,
(
ln
1
)
,
(
y
x
u
k
y
x
z

                                                        (7) 
В  работе [2] задача (4)-(6) исследовалась  методом  параметризации [3]. В  терминах  матрицы 
)
,
( h
x
Q

,  элементы  которой  определяются  через 
)
,
( y
x
a
,  были  установлены  достаточные  условия 
однозначной  разрешимости  задачи (4)-(6). В  сообщении  исследуются  вопросы  существования, 
единственности  решения  данной  задачи  и  сходимость  алгоритма  нахождения  ее  решения. 
Справедливо утверждение 
Теорема. 
Пусть 
при 
некотором 
шаге 
,...
2
,
1
,
:
0



N
Y
Nh
h
, 
числа 
подстановок


N
N


,...,
2
,
1
,


 - матрица 
)
,
( h
x
Q

 обратима при всех 


X
x
,
0

 и выполняются 
неравенства: 1) 


);
,
(
)
,
(
1
h
x
h
x
Q





 2) 




,
1
!
)
(
)
,
(
1
!
)
(
)
,
(
1





















j
j
j
h
x
h
x
h
x
h
x
q
 
где 
,
const


 
)
,
(
max
)
(
,
0
y
x
a
x
Y
y



. Тогда существует единственное решение задачи (1)-(3). 
Работа  выполнена  при  поддержке  грантового  финансирования  научных  исследований 
Комитетом науки МОН РК (проект №1164/ГФ4 КН МОН РК). 
 

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: