Список использованных источников

29 
INSTABILITY OF PROGRAM MANIFOLD, WITH A COMPACT  
NEIGHBORHOOD OF CONTROL SYSTEMS  
Zhumatov S.S. 
Institute of mathematics and mathematical modellibg, Almaty, Kazakstan 
E-mail: sailau.math@mail.ru  
 
The problem of determining the instability of the program manifo0ld of automatic control systems, with 
a compact neighborhood is investigated. The sufficient conditions of absolute instability of the program 
manifold, which has a compact neighborhood are obtained by means of construction of the infinitely small 
upper limit Lyapunov function.  
We consider the problem of construction of the stable automatic control systems by given  program 
manifold 
   
0
,



x
t
t

 [1]:  
 
,
,
,



T
P
B
x
t
f
x




   
)
,
0
[


I
t
,                                           (1) 
where 
n
R
x

 is a state vector of the object, 
n
R
f

is a vector-function, satisfying to conditions of existence 
and uniqueness of a solution  
 
t
x
x

, 
r
s
r
n
R
P
R
B




,
 are matrices, 


n
s
R
s



is a vector, 
r
R


 is 
a vector-function  of control on deviation from the given program manifold  


.
0
,
,
,
,
0
1
1






T
r
T
K
K
diag
K








                                      (2) 
Taking into account that 
  is the integral manifold of the system (1), and assuming  




A
x
t
F


,
,
 
we have 
 
.
,
,
,
x
H
P
HB
A
T


















                                          (3) 
where 


0
,
0
,

u
t
F
 is Erugin’s s -vector-function [2].  
Definition 1. A program manifold  
 
t
  with a compact neighborhood  is called instable  on the whole  
in relation to vector-function 

, if in phase space there is an unlimited open area 
 , including  a 
neighborhood of  the given program manifold and possessing that property, that all solutions in relation to 
vector-function  

  beginning in this area, unlimited at 


t
. 
Definition 2. A program manifold  
 
t
  with a compact neighborhood is called absolutely instable in 
relation to vector-function 

, if it is instable on the whole  at all functions 
 


 satisfying to the conditions 
(2). 
Problem Statement: To obtain the condition for absolute instability of program manifold with a 
compact neighborhood 
)
(
t


 of automatic control systems. 
To construction of the systems of equations for a given variety, possessing the properties of stability, 
optimality and establishing evaluation indicators of quality of the transition process in the neighborhood of 
program manifold, devoted a lot of work. A review of these works carried out in [3 - 5]. 
We will investigate a case, when 
))
(
,
(
t
x




.  
Theorem. The  program manifold of automatic control systems (1),  with a compact neighborhood 
)
(t


, is absolutely  instable if the following conditions are hold, at all functions 
 


 satisfying to the 
conditions (2) 
 
 
,
,
2
2
2
2
1




R
R
h
l
V
R
h
l
s
                                                             (4) 




















z
z
Q
z
r
s
T
,
2
2
2
2
1
.                                        (5) 
 
References 
1. 
Maygarin
 
B.G. 
Stability and quality of process of nonlinear  automatic control system. Аlma-Ata. 1981. – 316 p. 
2. 
Galiullin A.S., Mukhametzyanov I.A., Mukharlyamov  R.G. and other.
 Conztruction program motion’s system. 
M., 1971. – 352 p. 
3. 
Galiullin A.S., Mukhametzyanov I.A., Mukharlyamov  R.G.
 Review of researches on the analytical construction 
of the systems programmatic motions, \\ Vestnik RUDN, 1994, No.1, pp. 5 – 21. 
4. 
Zhumatov S.S., Krementulo B.B., Maygarin B.G
.  Lyapunov second method  in the problems of stability and 
control by motion. Almaty, 1999. – 228 p. 
5. 
Zhumatov S.S
. Frequently conditions of convergence of control systems in the neighborhoods of program 
manifold\\  Nelineinye kolebania.–Kiev. 2016 . V.28. No 3. pp. 367-375. 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

30 
ПРИМЕНЕНИЕ  ГРУППОВОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ  
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 
Исина Н. 
Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, г.Астана,  
E-mail: isina_nafisa@mail.ru  
 
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений существует определенная группа задач, 
которые  в  силу  ряда  причин  не  разрешаются  существующими  методами.  Это  обстоятельство  и 
привело  к  более  детальному  изучению  элементов  нелокальности — преобразований  повышения  и 
понижения  порядка  дифференциального  уравнения.  Одним  из  таких  методов  явился  метод RF-пар, 
название  которого  происходит  от  названий  используемых  нелокальных  преобразований rise- 
повышение  и fall-понижение  и  использует  введение  в  преобразование  производных.  Этим  методом 
строятся  дискретные  группы  преобразований,  инвариантные  образующие  которых  позволяют 
находить частные решения  исследуемого уравнения, неразрешимого в квадратурах. Необходимость 
создания  метода  возникла  в  связи  с  тем,  что,  если  для  любого  уравнения  порядка k>2: 
y
⁽ᵏ⁾=F(x¸y¸yʹ¸….,y⁽ᵏ⁻¹⁾)  можно  алгоритмически  находить    нелокальные  преобразования  Бэклунда,  то 
для нахождения их для уравнений второго порядка такого алгоритмического метода нет. К тому же 
данный  метод  позволяет  без  громоздких  выкладок  исследовать  уравнение  на  уровне  точечных 
преобразований.  При  этом  для  заданного  класса  уравнений  вводятся  стандартные  зависимости  от 
производной,  которые  мы  называем    RF-парами,  и  затем  ищется  точечное  преобразование, 
переводящее  преобразованное  уравнение  в  исходное.  Но  с  другим  вектором  параметров.  Так, 
например,  для  обобщенного  уравнения  Эмдена-Фаулера,  применяемого  в  теплофизике, 
кристаллографии,  удалось  найти  большое  количество  новых  интегрируемых  случаев.  С  помощью 
стандартных  RF-пар  удалось  построить  дискретную  группу  преобразований -D
₃-группу  диэдра  и 
вследствии  всех  преобразований  найти  частные  интегрируемые  случаи  уравнения: (m,m,³/
₂), (m,-
m/
₊ ,2m+1/ ),(m,(-m-3)/2 ,0). Исследования  возможностей  метода    RF-пар  показывает 
универсальность  метода,  связь  его  с  другими  дискретно-групповыми  методами,  что  на  самом  деле 
дает широкие возможности для исследования уравнений. 
 
Список использованных источников 
1. 
Исина  Н.К.,  Зайцев  В.Ф
.  О  нелокальных  преобразованиях  и  инвариантах  дискретных  групп 
преобразований. Дифференциальные уравнения.- Тула.ТулПИ,1988. 
2. 
Зайцев  В.Ф.,  Исина  Н.К
.  О  преобразованиях  с  повышением  порядка.  Дифференциальные  уравнения. 
Саранск, 1990. 
3. 
Исина  Н.К
.  Обоснование  и  алгоритмизация  метода RF-пар  для  исследования  обыкновенных 
дифференциальных уравнений. Ленинград.1991.  
 
 
К ИССЛЕДОВАНИЮ ДРОБНО-НАГРУЖЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ  
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
Искаков С.А., Космакова М.Т., Хайркулова А.А.  
Карагандинский государственный университет им. академика Е. А. Букетова, Караганда 
E-mail: isagyndyk@mail.ru  
 
В области 
 


, ,
0,
0
Q
x t x
t



; рассмотрим краевую задачу  
 


 
t
x
f
t
x
u
D
u
u
t
x
x
xx
t
,
,
1
0








,                                               (1) 
 
0
0
,

x
u
; 
 
0
,
0

t
u
.                                                             (2) 
Подобного  рода  задачи,  в  случае  когда  нагруженное  слагаемое  есть  след  производной  целого 
порядка: 
 


,
,
1
0
t
x
x
t
x
u
D

 
 


,
,
2
0
t
x
x
t
x
u
D

были  исследованы  в  работах [1]-[3]. Здесь 

- 
комплексный    параметр, 
 
t
x
u
D
x
,
1
0


 
-  дробная  производная  Римана-Лиувилля  порядка 




1
, 
,
1
2
1



 [4]. 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

31 
 

 

)
,
0
(
,
1
1
0
2
1







L
t
x
u
D
e
t
t
x
x
t

, 

  
),
,
0
(
,
,
,
1
0 0
1
0
















L
d
d
f
t
x
G
D
e
t
x
t
x
t







  (3)     
)
,
,
(
t
x
G

 - функция Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в четверти 
плоскости.  Решение  задачи  сводится  к  исследованию  особого  интегрального  уравнения  Вольтерра 
второго рода с ядром, имеющим сильную особенность.  
Для задачи (1)- (2) будет справедлива  
Теорема.  Краевая  задача (1)-(2) при 
,
,
1
2
1
C






 
0
Re


  является  нетеровой  с 
индексом 1. Если же 
0
Re


, то задача (1)-(2) имеет единственное решение в (3). 
 
Список использованных источников 
1. 
Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И
.  Нагруженные  уравнения – как  возмущения  дифференциальных 
уравнений. Алматы: ГЫЛЫМ, 2010. 334с.  
2. 
Ахманова  Д.М.,  Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И
.  Об  особом  интегральном  уравнении  Вольтерра 
второго рода со спектральным параметром // Сибирский математический журнал, 2011. T. 52. № 1. С.3-14. 
3. 
Нахушев  А.М
.  Обратные  задачи  для  вырождающихся  уравнений  и  интегральные  уравнения  Вольтерра 
третьего рода // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 1.  С. 100–111. 
4. 
Нахушев А.М
. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с. 
 
 
ЕКІНШІ РЕТТІ ЖҮКТЕЛГЕН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН ШЕТТІК  
ЕСЕПТІ ШЕШУДІҢ САНДЫҚ ЖҮЗЕГЕ АСЫРЫЛУЫ 
Қадырбаева Ж.М., Момынжанова Қ.Р. 
Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университеті, Алматы, Қазақстан 
E-mail: apelman86pm@mail.ru, kymbat_momynzhanova87@mail.ru 
 
 
T
,
0
  аралығында  екінші  ретті  жүктелген  дифференциалдық  теңдеу  үшін  төмендегідей  шеттік 
есебі қарастырылады: 
 
 
   
   
 
,
2
1
2
1
2
2
t
f
dt
dz
t
m
z
t
m
z
t
a
dt
dz
t
a
dt
z
d







                              (1) 
 
 
 
 
1
12
11
0
12
11
0
d
dt
t
dz
c
T
z
c
dt
t
dz
b
z
b
T
t
t






,                                     (2) 
 
 
 
 
2
22
21
0
22
21
0
d
dt
t
dz
c
T
z
c
dt
t
dz
b
z
b
T
t
t






,                                   (3) 
мұндағы 
 
t
a
1
, 
 
t
a
2
, 
 
t
m
1
, 
 
t
m
2
 функциялары жəне 
 
t
f
 вектор функциясы 
 
T
,
0
аралығындағы 
үзіліссіз, 
2
1
22
21
12
11
22
21
12
11
,
,
,
,
,
,
,
,
,
d
d
c
c
c
c
b
b
b
b
 – берілген сандар, 
T



0
. 
)
(t
z

  функциясы (1) – (3) шеттік  есебінің  шешімі  деп  аталады,  егер  ол   
 
T
,
0
  аралығында 
үзіліссіз  екінші  ретке  дейін  дифференциалданып, (1) екінші  ретті  жүктелген  дифференциалдық 
теңдеуін жəне (2), (3) шеттік шарттарын қанағаттандыратын болса.  
Екінші  ретті  жүктелген  дифференциалдық  теңдеулер  үшін  шеттік  есептер  химия,  биология, 
экология жəне т.б. салалардағы əралуан процестерді математикалық модельдеу кезінде пайда болады 
[1, 2]. Осындай  шеттік  есептерді  шешудің  жəне  бірмəнді  шешілімділігінің  əртүрлі  терминдердегі 
шарттары  тағайындалған.  Жүктелген  дифференциалдық  теңдеулер  жəне  олар  үшін  шеттік  есептер 
көптеген  еңбектерде  қарастырылған. [3, 4] еңбектерінде  жүктелген  дифференциалдық  теңдеулер 
жүйесі  үшін  екі  нүктелі  шеттік  есептерді  шешуге  параметрлеу  əдісі [5] қолданылған.  Параметрлеу 
əдісінің  көмегімен  жүктелген  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін  екі  нүктелі  шеттік  есептің 
бірмəнді  шешілімділігінің  қажетті  жəне  жеткілікті  шарттары  бастапқы  берілімдер  терминінде 
тағайындалып, оның шешімін табудың қос параметрлі алгоритмдері ұсынылған. 
Ұсынылып  отырған  жұмыста (1) – (3) есебін  шешу  үшін  де  параметрлеу  əдісі  қолданылады. 
Алдымен жаңа белгілеулер енгізіп (1) – (3) есебінен жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі 
үшін  шеттік  есепке  көшеміз.  Жүктелген  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін  шеттік  есепті 
жүктеу  нүктесінде  қосымша  параметр  енгізу  арқылы  параметрлі  пара-пар  есепке  келтіріледі. 
Параметрлі  пара-пар  есеп  жəй  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін  Коши  есебінен,  шеттік 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

32 
шарттан жəне  үзіліссіздік шартынан  тұрады. Параметрлі жəй дифференциалдық теңдеулер жүйесі 
үшін Коши есебінің шешімі дифференциалдық теңдеудің фундаменталдық матрицасының көмегімен 
түрғызылады. Тұрғызылған шешімнің сəйкес нүктелерінде мəндерді шеттік шартқа жəне үзіліссіздік 
шартына  қоя  отырып,  параметрлерге  қарасты  сызықтық  алгебралық  теңдеулер  жүйесі  құрылады. 
Қарастырылып отырған есепті шешудің құрылған жүйені жəне ішкі аралықтарда Коши есебін 4-ретті 
Рунге-Кутта əдісін қолданып шешуге негізделген сандық тəсілі ұсынылады. 
 
Əдебиеттер тізімі 
1.
  Нахушев А.М
. Уравнения математической биологии. -М.: Высшая школа, 1995. - 205 с. 
2.
  Нахушев А.М.
 Нагруженные уравнения и их применение. -М.: Наука, 2012. - 232 с. 
3.
  Бакирова  Э.А
.  О  признаке  однозначной  разрешимости  двухточечной  краевой  задачи  для  системы 
нагруженных дифференциальных уравнений // Известия НАН РК. Сер. физ-матем. - 2005. - №1. -С. 95-102. 
4.
  Кадирбаева Ж.М
.  Об одном алгоритме нахождения решения линейной двухточечной краевой задачи 
для нагруженных дифференциальных уравнений // Математический журнал. - Алматы, 2009. - Т.9, №2(32). –С. 
25-34. 
5.
  Джумабаев Д . С
.  Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного 
дифференциального уравнения  / / Ж .  вычисл. матем. и матем. физ. - 1989. - Т .   2 9 ,   № 1 .   –С. 50-66. 
 
 
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКО
-КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИВЕДЕНИЯ ИХ К БОЛЕЕ 
ПРОСТЫМ СИСТЕМАМ 
Кенжебаев К.К., Сартабанов Ж.А. 
Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, Актобе, Казахстан 
 
Рассмотрим  вопрос  о  периодических  решениях  линейной  системы  дифференциальных 
уравнений вида 
 
 
 
 
 
(1) 
с  непрерывными  и  -периодическими  при 
∈
∞, ∞
-матрицей 
  и   – вектор – 
функцией 
, путем приведения её к более простой системе того же вида 
       
 
 
 
(2) 
с непрерывными и -периодическими 
-матрицей 
 и   – вектор – функцией 
. 
Пусть  и   – матрицы монодромии систем (1) и (2), соответственно, причем они связаны между 
собой соотношением  
, 
 
 
 
 
 
(3) 
где  - единичная матрица.  
При условии (3) доказывается основная лемма о существовании непрерывно дифференцируемой 
неособенной -периодической матрицы 
 такой, что преобразование вида 
 
 
 
 
 
 
(4) 
приводит систему (1) к системе (2), причем 
. 
Заметим, что, в частности, матрица   может быть либо квазидиагональной, либо постоянной. 
Далее, предположив 
det
0  
 
 
 
 
(5) 
выводится  интегральное  представление  единственного  периодического  решения 
∗
  системы (2) 
вида  
∗
.   (6) 
В заключении на основе связи (3)-(5) из соотношения (6) получим интегральное представление 
периодического  решения  линейной  системы (1). В  докладе  также  обсуждаются  вопросы  о 
распространении  этого  подхода  на  случаи: 1) нелинейной  системы  обыкновенных 
дифференциальных уравнений и 2) многопериодической системы с дифференциальным оператором 
, состоящим из суммы частных производных по всем независимым переменным [1-3]. 
 
Список использованных источников 
1.
  Кенжебаев  К.К.  Сартабанов  Ж.А.
  Периодические  по  многомерному  времени  решения  матричных 
уравнений  типа  Ляпунова  с  оператором  дифференцирования  по  диагонали.  Евразийский  математический 
журнал. – 2008. –№3.–С. 63-67. 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

33 
2.
  Кенжебаев  К.К,  Сартабанов  Ж.А.,  Бекбауова  А.У
.  Многопериодические  решения  квазилинейных 
гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. Математический журнал ИМ 
МОН РК, 2010. Т.10. №1 (9). С.46-52 
3.
  Мухамбетова  А.А.,  Сартабанов  Ж.А
.  Многопериодические  решения  квазилинейной  системы 
уравнений в частных производных первого порядка. Фундаментальные исследования, 2014 год, №12, -С.95-98. 
г. Москва (Россия). 

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: