І бөлім Үлес және бөлшек ұғымдарының теориялық негіздері
Рационал бөлшектер және олардың қасиеттерін оқытудың жолдары
жүктеу/скачать 263,48 Kb.
|
Манат Ләйля курсовой 1
2.2. Рационал бөлшектер және олардың қасиеттерін оқытудың жолдарыАлымы мен бөлімі көпмүше болып келетін бөлшек рационал өрнектің дербес түрі болып табылады. Мұндай бөлшектерді рационал бөлшектер деп атайды Жоғарыда біз бір ғана кесіндіге таңдалып алынған е өлшем бірлігінде оның ұзындығын өрнектейтін шексіз тең бөлшектер жиынын сәйкес қоюға болатындығын тағайындадық. Бірақ та кесіндінің ұзындығы тек бір ғана санмен берілуі тиіс. Сондықтан тең бөлшектерді бір ғана санның әр түрлі түрде жазылуы деп есептейді, ал санның өзін оң рационал сан деп атайды. Жалпы, оң рационал сан дегеніміз – бұл тең бөлшектер жиыны, ал осы жиынға тиісті әрбір бөлшек осы санның жазылуы. Мысалы, { ,,,,....} жиыны қандай да бір оң рационал сан, ал ,,,,....және т.б. –бұлар осы санның жазылулары. { ,,,,...} жиыны басқа бір рационал санды анықтайды. Жоғарылағы берілген анықтамаға сәйкес жазуын бөлшек деп, немесе бөлшегі түрінде жазылған оң рационалдеп есептейміз. Көпшілік жағдайда: « түріндегі оң рационал сан берілген» деп айтады. жазуы нені білдіреді? Бұл сұраққа жауап әртүрлі болады: «Бұл – бөлшек », «Бұл – оң рационал санның жазылуы» жазуын - бұл оң рационал сан деп айтуға бола ма? Болады, бірақ тек қысқалық үшін ғана айтуға болады. Қандай да бір оң рационал санның барлық жазуларының ішінен қысқартылмайтын бөлшекті, яғни алымы мен бөлімінің ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең болатын бөлшекті бөліп алады. Мысалы, ,,,,...бөлшектернің ішінде рационал санды анықтайтын бөлшек бөлшегі. Жалпы алғанда, кез келген оң рационал сан үшін осы санның жазылуы болып табылатын бір жіне тек бір ғана қысқартылмайтын бөлшек бар болады. Рационал сөзі латынның «ratio» - қатынас деген сөзінен шыққан, яғни бұл жерде рационал сан бүтін сандардың қатынасы деп түсіндіріледі. Біз оң рационал сан ұғымын анықтауда кесіндінің ұзындығын өлшеуді қолдандық. Кесіндінің ұзындығын бір ғана санмен дәл өрнектеуге оң рационал санның пайда блоуына алып келеді. Енді кері процесті қарастырайық, қандай да бір рационал санның жазылуы болсын. Ұзындығы осы санмен өрнектелетін кесінді бар бола ма? Таңдалып алынған е ұзындық бірлігінде бөлшегімен берілген кез келген оң сан үшін, ұзындығы осы санмен өрнектелетін кесінді бар болатындығы дәлелденген. Мысалы: Ұзындығы санымен өрнектелетін кесінді салайық. Ол үшін 1) е ұзындық бірлігін таңдап аламыз; 2) е кесіндісін тең етіп 4 бөлікке бөлеміз; 3) ОХ сәулесінің бойынан әрқайсысы е-нің төрттен бір бөлігіне тең 13 кесінді саламыз. Нәтижесінде ұзындығы санымен өрнектелетін ОА кесіндісін аламыз. О А е Оң рационал сандар жиынын Q+ түрінде белгілейді. Барлық натурал сандар осы жиынның ішінде, яғни N Q+ болатындығын көрсетейік а е
кесіндісін бірдей n бөліктерге бөлеміз. Сонда, е кесіндісінің бойына түріндегі бөлшекпен өрнектеледі, (сонда а кесіндісінің ұзындығы түріндегі бөлшекпен өрнектелген). Бірақ мұндай бөлшектердің жиыны оң натурал сан. Ендеше, а кесіндісінің ұзындығы бір жағынан m натурал санмен, екінші жағынан түріндегі оң рационал санмен өрнектеледі. Бірақ бұлар бір ғана сан болуы тиіс. Сондықтан түріндегі бөлшекті m натурал санының жазылуы деп есептеген дұрыс. Сонымен, біз кез келген m натурал санын түріндегі бөлшекпен жазып көрсетуге болатынын шығарып алдық, ендеше, NMQ+ Мысалы: Натурал 7 санын ,,,,... бөлшектер түрінде көрсетуге болады. Сонымен, барлық натурал сандар оң рационал сандар жиынының ішіне кіреді. Натурал сандар жиынын оң рационал сандарды бөлшек сандар деп атайды. Егер рационал а және b сандары бөлімдері әр түрлі бөлшектерімен берілсе, онда бұл бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, сонан кейін (1) ереже бойынша қосады. Мысалы: Кез келген екі оң санның қосындысы бар және ол жалғыз. Бұл тұжырымдарды біз дәлелдеусіз қабылдаймыз. Оң рационал сандарды қосу ауыстырымдылық және терімділік заңдарына бағынады. Сонымен, оң рационал сандарды қосудың ауыстырымдылық заң осы сандарды қосу анықтамасынан және натурал сандарды қосудың ауыстырымдылық заңынан шығады деп айтуға болады. Терімділік заңы осыған ұқсас дәлелденеді. Рационал сандарды қосудың анықтамасына байланысты 3 ,12 түріндегі жазулардың маңғынасын нақытлауға мүмкіндік пайда болады. Бөлшектерді дұрыс және бұрыс бөлшектер деп екі түрге бөлуге болады. Егер бөлшегінің алымы бөлімінен кем болса, онда мұндай бөлшектерді дұрыс бөлшектер деп атайды, яғни m |