І бөлім Үлес және бөлшек ұғымдарының теориялық негіздері
І Бөлім Үлес және бөлшек ұғымдарының теориялық негіздері
жүктеу/скачать 263,48 Kb.
|
І Бөлім Үлес және бөлшек ұғымдарының теориялық негіздері1.1. Үлес және бөлшек ұғымдары туралы түсінікАдамзаттың бөлшек сандар туралы түсінігі ерте замандарда –ақ қалыптасқан, сондықтан бөлшек ұғымының пайда болу процесін өте дәл сипаттау мүмкін емес. Бөлшек сандар әр түрлі шамаларды - ұзындықты, массаны, ауданды және т.с.с. өлшеу процесіне байланысты пайда болуы ықтимал. Барлық халықтарда теңдеу бөлуге байланысты бөлімі екіге тең болатын бөлшектер ерекше орын алған. Біздің заманымызға дейін жеткен ежелгі вавилон жазбаларында алпыстық бөлшектердің қолданылғаны туралы мәліметтер кездеседі. Ежелгі мысыр папирустарынан Мысыр елінде алымы 1-ге тең бөлшектер қолданылғаны белгілі. Сондай-ақ, Грецияда да алымы 1-ге тең болатын бөлшектер қарастырылған. Үнділер мен арабтар бөлшекті оның алымын бөлімінің үстіне (бірақ бөлшек сызығынсыз) орналастыру арқылы жазған. Үнділер енгізген позициялық санау жүйесі бөлшектерге қолданылмаған. Бөлшек санды жазып көрсетуде бөлшек сызығын пайдалану Леонарда Пизонскийдің (ХІІІ ғасыр) еңбектерінде кездеседі. Алайда, бөлшекті бөлшек сызығы арқылы жазып көрсету ХҮІ ғасырдан бастап қана жаппай қолданыла бастады. Самарқанд қаласындағы астрономиялық обсерваторияның негізін салушы Әл – Кәши бөлшек сандарды жазудың, барлық түрлендірулер мен есептеулерді айтарлықтай ықшамдайтын түрін, яғни ондық бөлшектер деп аталатын жаңа түрін ашқан. Бұл жаңалықтарын ол 1427 жылы «Санау өнерінің кілті» деп аталатын еңбегінде баяндаған. Дәл осы жаңалықты, Әл-Кәшиден жүз елу жылдан астам кейініріек, Европада Нидерланд ғалымы Симон Стевин ашты. Ол мұны 1585 жылы «Ондық санау жайында» атты еңбегінде баяндады. ХҮІІ ғасырдың басында ондық бөлшектерді жазуда айыру таңбасы ретінде, үтір немесе нүкте қолданыла бастады. Өзінің еңбектерінде ондық бөлшектер теориясын баяндаған. Дж. Непер (1550-1617) де осындай белгілеуді ұсынған. Ондық бөлшектерді белгілеудегі ең бір қолайлы таңбасы Австрия астрономы Иоганн Кеплер (1517-1630) ұсынған бірліктер разряды мен ондық үлестер разряды арасын үтір арқылы айыру болып табылады. Европада көп уақыт бойына, тек ХҮІІІ ғасырда бөлшектер ығыстырып шығарған алпыстық бөлшектер қолданылып келді. Россияда ондық бөлшектер жайындағы алғашқы жүйелі мәліметтер Магницкийдің «Арифметикасында» (1703ж.) кездеседі. Ондық бөлшектер Француз буржуазиялық революциясынан кейін 1789 жылы өлшем және салмақ бірліктерінің ондық жүйесінің енгізілуімен байланысты математикада толығынан орын тапты. Үнді, Таяу және Орта Шығыс математиктері алгебраны, тригонометрияны және астрономияны дамыту барысында иррационал шамалармен амалдай тұрғаны түсінікті. Бірақта олар көп уақыт бойына иррационал шамаларды сан ретінде қарастырмаған. ХҮ ғасырда «Арифметиканың кілті» атты еңбегінде Әл-Кәши ондық бөлшектерді енгізді және оны түбір табудың дәлдігін жетілдіруде қолданды. Европада оған байланыссыз тура осы жолмен Симон Стевин 1585 жылы ондық бөлшектерді ашты. Ол өзінің «Алгебраға қосымшалар» (1594) атты еңбегінде ондық бөлшектерді нақты санға шексіз жақын жуықтауларда қолдануға болатындығын көрсетті. Сонымен, ХҮІ ғасырда онлық бөлшектер иррационал сан ұғымын енгізу және оны негіздеудің табиғи құралы болып табылады деген пікір туындады. ХҮ ғасырдан бастап және ХҮІ ғасырда алгебралық теңдеулерге деген қызығушылықтың артуына байланысты математиктер сандардан түбір табу сияқты амалдар қолдану арқылы алынатын өрнектермен жиі істес бола бастады. Ал мұндай өрнектердің мәні рационал сандар бола алмайтындығы түсінікті еді. Бұл шаманың нені сипаттайтындығы жөніндегі айқын түсініктері қалыптаспағанымен, математиктер оларға үйреншікті жалпы ережелерге негізделген амалдарды қолданды. Шын мәнісінде, мұның өзі ( айқын болмаса да) иррационал сандардың негізіле бастауын көрсетеді. Декарттың «Геометриясының» жақрықа шығуы кез келген кесінділерді (жалпы алғанда геометриялық шамаларды да) өлшеу мен рационал сан ұғымын кеңейту қажеттілігі арасындағы байланысты түсінуді жеңілдетті. Мәселе иррационал сандарды рационал сандар сияқты сан осінде нүктелер арқылы кескіндеуге болатындығында еді. Ирационал сандардың бұл геометриялық мағынасы олардың табиғатын түсінуге және оларды мойындауға игі әсер етті. Координаталық жүйені енгізу (ХҮІІ ғ.) арқылы сандар мен нүктелер арасындағы байланыстың игілікті және терең негізде тағайындалуы тек жекеленген иррационал өрнектерді (сандарды) ғана емес, сонымен бірге наты сандардың барлық жүйесін қарастыруды қажет етті. Сонымен, ХІХ ғасырда нақты сандардың қасиеттерін және олардың толық теориясын негіздеу жүзеге асырылады. Осыған сәйкес анықтамалар мен ой қорытындылардың толық жүйесін құруды ХІХ ғасырдығ екінші жартысында неміс математигі Дедекинд (1831-1916) «Үздіксіз және иррационал сандар» (1872ж.) атты еңбегінде іске асырды. Бұл еңбек небары 21 парақтан тұрады, алайда ол математика тарихына осы ғылымның классикалық туындыларының бірі ретінде енді. Мұнымен бір уақытта кейбір математиктер (Мере, Кантор, Вейерштрасс) нақты сандарды басқа көзқарас тұрғысынан негіздеуді жүзеге асырды. Олардың әрқайсысы басқа бір ұғымдарға сүйене отырып, шын мәнінсінде Дедекинд теориясына эквивалентті болатындай теорияны құрғандығын ескертуге тиіспіз. Иррационал сандар – рационал бола алмайтын нақты сандар. Иррационал сан ұғымы түбір табу, кесіндінің ұзындығын өлшеу мен кейбір функцияларды зерттеу барысында пайда болды. Иррационал сандардың І жиыны Q рационал сандар жиынының нақты сандардың R жиынына дейінгі толықтауыш жиыны болып табылады. Иррационал сандарды Дедекинд қимасы немесе шексіз периодты емес, ондық бөлшек арқылы анықтауға болады. жүктеу/скачать 263,48 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|