Избранные работы

Постулат А.
Если
 а
и
 b
— элементы
 S,
то
 р(а, Ь)
—
действительное число и выполняется следующая ак-
сиома:
А
 (Ее) (Ed)
 p (а, Ь)Фр (с, а).
Постулат В.
Если
 а
и
 b
— элементы S, то
 ab
— эле-
мент
 S,
и при условии, что
 с
(следовательно,
 be)
и
 а
также являются элементами
 S,
выполняется следующая
аксиома:
В
 (р(а,а) = р (be, d) &p (be, c) = p(d, с))
—
 -
- >·
 p (ab, с) = р(а, d) p (b, с)
<
 p (a, c).
Постулат С.
Если
α —
элемент
 S,
το α —
также эле-
мент S, и при условии, что
 Ь, с и d
также являются
элементами 5, выполняется следующая аксиома:
С
 ρ (α, α) Φ ρ
 (Ь, с)
-
 >
 ρ
 (а, с)-\-р (a, c)--=p(d, d).
Аксиомы В и С являются непосредственными след-
ствиями (используются только подстановка и modus
ponens) следующих более сложных формул BD и
CD, которые, однако, имеют то важное преимущество,
что они могут рассматриваться как
 явные определения
соответственно произведения
 ab
и дополнения
 а.
(Фор-
мула BD представляет собой улучшенный вариант со-
ответствующей формулы из [12, с. 336]):
BD
 p (ab, d) = p (с, d) ^=* (el
(E/)
 (p
 (a, d)
 ^
^p(c,d)^p (b, d) &.(p (a, d)^p (a, a)
<
<
 ρ (d,
/) -
 > p (a, a)
<
 p (e,
/))) —
 >·
-
 - p(a,e)p(b,d) = p ( c , d ) ) ) .
CD
 p (a, d) = p (b, d)
ч=^
 (e) (p (c, d)
 Φ
Φ p
 (с, с)
--
>-
 p (а, с) -\-р (b, c) = p (с, е))
.
С эстетической точки зрения оба этих определения
страдают некоторой громоздкостью — ровно половина
двойных стрелок является излишней. При выведении
аксиом В и С нам необходимы только стрелки, направ-
436
ленные слева направо. Определение Cd, которым мож-
но заменить CD, свободно от этого недостатка
6
:
Cd
 p
 (ä, b)
 = p(c,
 с)—p
 (a, b)
-ι—ν
 (Ed)
 p
 (с, с)
 Φ p (d, b).
В определении BD можно подставить
 «р(е, е)»
вме-
сто второго вхождения
 «p (а, а)
». (При этом A3 из
[12, с. 332] становится выводимой из BD.) В этом Слу-
чае можно упростить CD и Cd, записывая
 «р(а, а)»
вместо
 «р(е, е)»
или
 «р(с, с)».
По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332]
 т
постулаты В и BD включают в себя А2. Наличие в си-
стеме А2 вместе с
 любой
из других аксиом имеет то
преимущество, что получающаяся в результате система
является «полностью метрической» в том смысле, что
независимость всех ее аксиом можно доказать при по-
мощи примеров, удовлетворяющих законам булевой
алгебры.
(Таким образом, «полная метричность» яв-
ляется более сильным свойством, чем «автономная не-
зависимость» в смысле [12, с. 343—344].) Полностью·
метрическую систему можно получить, не жертвуя при
этом «органичностью» (в том смысле этого термина, в-
котором он использовался в польской логической шко-
ле) наших аксиом, если сохранить все аксиомы (в том
числе В1 из [12, с. 332]), за исключением А2. Действи-
тельно, аксиома А2 органически . включается в В2 при
помощи, например, исключения
 «^р(а, с)»
из форму-
лы В. Можно также сохранить В2 в се первоначальной
форме и органически включить А2 в постулат АР [12,
с. 333] следующим образом:
АР
 p(a) = p(a,b)—p(a,c)-{-p(a,d)
при условии, что
 p(b,c)=p(c, b)=p(d, e)
для каждого
е
из S.
6
Причиной этого является то обстоятельство, что Cd логически
сильнее С, поскольку оно позволяет заменить А логически более сла-
бой условной формулой. При наличии Cd к А можно добавить ого-
ворку: «при условии
 (Ee)(Ef)p(e,
/)=^0» (или в словесной формули-
ровке: «при условии, что не все вероятности равны 0»). Своей логи-
ческой силой Cd обязано тому факту, что при наличии стрелки только
справа палево оно было бы эквивалентно С, тогда как наличие стрел-
ки слева направо позволяет дополнительно вывести H3*Cd, что не все
вероятности равны 0.
Следует отметить, что условие В в том виде, в каком оно сфор-
мулировано в тексте, можно заменить (более сильным) условием
«(e)p(bc,
 e)—p(d, e)».
(Эта замена соответствует переходу от фор-
мулы А2+ [12, с. 335] к А2 [12, с. 332].)
437
i
v
i

В этом случае АР, то есть определение абсолютной
вероятности, становится существенной и неотделимой

жүктеу/скачать 3,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: